Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 664 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

НЕКОТОРЫЕ

ВОПРОСЫ АНАЛИЗА

[ГЛ. I

Отделяя

в числителе и знаменателе выражения

(1.22) вещественную

часть от

мнимой,

мы можем написать:

Ф ( »

д(м)+у7;(т)

(1.23)

с(“Н -jd

(“) ’

где

а (со):

&2со2 -|- 64со4 — . .

Ь(и)) — 6jCO — 63Ш3

Ьъш5

. . . .

(1.24)

с (со) = а0— а2со2 -f- я4со4 — . . . .

d (со) = Д,СО— о3ш3 -|~ яьсо5 — . . .

Выражение (1.23)

может быть также записано в следующем

виде:

где

ф (уш) = Р (со) + JQ (со) = А (со) еМ*),

(1.25)

ас -)- bd

Р(со) =

’

c2 +

be — ad

Q (ш) — c2 +

’

(1.26)

Л (со)

a2 +

5 C2 +

r f 2

cp (со) =

arctg ( be —a d '

,ac-\-bd )'

Подставляя

(1.25) в (1.20), получим:

Xu, (t ) = ^ - A

(со) eJ

(“И,

(1.27)

Точно так

же,

если положить

в (1.4)

/( /) =

e-yW,

(1.28)

то для вынужденных колебаний

x 2B(t)

найдем:

*2в(0 =

Jiot

4 - ф ( — ■Мв"/

ИЛИ

Х2в (ty— А А (со) e -j 1^+т (“)1.

Итак,

если

(t) имеет вид (1.18),

то

* в (t) = XlB {t) +

x , в (0 = 4

Л (ш) [*/" '«+Мв) + е -7 “' е - М “>] =

/И (со) cos К

+ ? (со)].

(1.29)

Выражение (1.29) показывает, что вынужденные колебания, вызываемые в линейной динамической системе гармоническим воздействием, пред-

31			ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ				31
31
ставляют собой			также	гармоническую функцию		времени,	имеющую
ту	же	угловую	частоту		со, что и воздействие, но отличающуюся от
последнего по амплитуде					и по фазе.
	Функции А (со) и <р(со), определяющие относительную амплитуду
и	фазу	вынужденных		колебаний в зависимости		от частоты	со, назы

ваются соответственно амплитудной и фазовой частотными характе ристиками системы. Функции Я (со) и Q(co) связаны с функциями А (со)

и ср (со),	как это	ясно из (1.25),	соотношениями
		Я (со) =	А (ш) cos ср (со),	(1.30)
		Q (со) =	А (со) sin ср (со) }	(1.30)
и		Q (со) =	А (со) sin ср (со) }
и
		А (со) — У^Р2 (со) -}- Q2 (со),		(1.31)
				(1.31)
Функции	Я (со)	и Q (со) называются соответственно вещественной

и мнимой частотными характеристиками J).

Как мы видели, частотные характеристики системы могут быть определены при помощи формул (1.26), если известна функция Ф(у‘со), называемая передаточной функцией динамической системы. Выражение же для Ф (у'со), как показывает формула (1.22), весьма просто может быть найдено из дифференциальных уравнений системы.

Необходимо заметить, что частотные характеристики				системы
могут быть	определены не только из		ее дифференциальных	уравне
ний, но и экспериментально.
Способ определения амплитудной А (со) и фазовой ср(со) частотных
характеристик		ясен из формулы (1.29) и заключается в следующем.
Приложим к системе гармоническое воздействие, имеющее угловую
частоту со.	В	результате в системе	возникнут переходный	процесс

и вынужденные колебания с частотой со. Через некоторое время, достаточное для затухания переходного процесса, — а такое затухание всегда произойдет, если только система устойчива, — останутся лишь вынужденные колебания. Последние будут иметь частоту со, равную частоте воздействия.

Предположим, что мы располагаем измерительной аппаратурой, позволяющей измерить все указанные выше величины, а именно, час тоту со приложенного воздействия, его амплитуду, амплитуду коле баний интересующей нас переменной х и сдвиг фазы между обеими амплитудами.

Произведем ряд таких измерений, постепенно повышая частоту воз

действий от со = 0 до такого значения со =			со0, при котором амплитуда
*) С о л о д о в н и к о в В. В., Об		одном	приближенном методе анализа
динамики	следящих и регулируемых	систем. Изв. АН СССР, ОТН, № 12.
1945, стр.	1179.

32	НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА	[ГЛ. I
колебаний	переменной х сделается настолько малой,	что окажется

уже вне пределов точности нашей измерительной аппаратуры. Кривые отношения амплитуды переменной х к амплитуде воздей

ствия f(t) и сдвига фазы между ними в зависимости от частоты, найденные изложенным способом, и будут представлять собой соот ветственно амплитудную и фазовую частотные характеристики системы.

4. Применение интеграла Фурье к расчету переходных процессов

Как известно '), абсолютно интегрируемые функции /((), т. е. функции, удовлетворяющие условию

	СО
	/	1/(01 л <		00,		(1.32)
	— СО
могут быть	представлены в	виде	интеграла		Фурье:
			ОО
	/ (0 =	f	F (y'u>) ejmt da,			(1.33)
где		— СО
где
			с о
	F (ja ) = J f ( t ) e ~ f wtdt.					(1.34)
		— СО
Функция F (jш) называется		преобразованием			Фурье или	комплексным
спектром функции / ( / ) .
Найдем	переходный процесс		x(t)	в линейной динамической си

стеме, вызываемый воздействием /(<), которое может быть пред

ставлено в виде (1.33).				в динамической	системе,	как	это мы
Воздействие	eju,t	вызывает
видели в § 3,	реакцию		вида	^>{ja)eiu>t. Воздействие		вида	(1.33)
можно рассматривать		как	бесконечную сумму		воздействий вида

тр- da F (ja) eJult.

Вследствие линейности системы и применимости к ней принципа суперпозиции воздействие (1.33) вызовет изменение переменной x(t), определяемое следующим выражением:

	ОО
х (/) =--	У Ф {ja) F (ja)	da	(1.35)i)

i) См., например, Т и т ч м а р ш Е., Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, 1948.

5]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ	ЛАПЛАСА	33
или
	f х и ш ) е ^ Ы ш ,		(1.36>
где
		00
X (у‘ш) =	Ф (/ш) F (/ш) =	J х (/) e~ja,> dt.	(1.37),

Таким образом, преобразование Фурье X(jw) для функции х (1)^ характеризующей переходный процесс, вызванный воздействием / (/)_ равно произведению передаточной функции Ф(/ш) системы на пре образование Фурье или комплексный спектр F (/ш) воздействия / ( 0 -

5. Преобразование Лапласа

Преобразование Фурье вида (1.33) применимо лишь для пред ставления таких функций f ( t ), которые удовлетворяют условию аб солютной интегрируемости (1.32).

Следует, однако, заметить, что условие (1.32) не удовлетворяется для многих функций, вводимых в рассмотрение при анализе пере ходных процессов. Так, например, ему не удовлетворяют: единичная функция, синусоида sincoC функции, возрастающие как некоторая

степень от /, а также показательные		функции вида eat, где а > 0.
Рассмотрим теперь преобразование Лапласа О-
Преобразование Лапласа	применимо	для функций /(/),	удовлет
воряющих условию
/ ( 0	= 0, / <	О,	(1.3S)

не только в тех случаях, когда функция /(О является абсолютно интегрируемой, но и тогда, когда можно выбрать такое положнтельное число с, чтобы

СО

			J	\|/ ( 0		\| е~с/ dt < оо.		(1.39)
			О
Предположим,		что	интеграл
				со
				/	\ f( t) \e - ° l dt
				О
О К р у г	К.	А.,	Переходные			процессы в электрических цепях, Гос-
эиергоиэдат,	1948; Л а у р ь е			А.	И.,	Операционное исчисление, Гостехиздат*
1950; Г р д н е р М.			Ф. и Б эр нс			Дж. Л.,	Переходные процессы в линей1-
ных системах, Гостехиздат,				1949; Д и т к и н			В. А., К у з н е ц о в П. И.. Спра
вочник по операционному исчислению, Гостехиздат,								1951.

3 Зак. 1083. В. В. Солодовников

3 4

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА

[ГЛ. t

существует для всех с > с0 и не существует при с ^ с0. Число с0 называется абсциссой абсолютной сходимости функции /(/). Так, например, для единичной и для синусоидальной функции абсцисса абсолютной сходимости с0 — 0, так как при всех с > О

сто

			J	e~cl dt <	оо,
а	также		о
а	также
		СО
		J	\| sin Ы \| e~cl dt		< оо.
		о
	Для	функции еа/( а > 0 )		абсцисса абсолютной сходимости с0= а,
а	для	функции е- “'( а >	0)с0= — а. Функция е'“ не имеет абсциссы

абсолютной сходимости, так как для нее нельзя выбрать такое зна чение с, чтобы интеграл (1.39) существовал.

Заметим, что ограничение (1.38) необходимо по следующей при чине: как это мы сейчас увидим, преобразование Лапласа для функ ции /( 0 . которая может не удовлетворять условию (1.32), полу чается как естественное обобщение преобразования Фурье для функ ции

/ ■ ( 0 = / ( 0 * ““ .	(1-40)
в которой число с должно быть выбрано таким образом,	чтобы

функция /, (t) была абсрлютно интегрируемой. Очевидно, что такое

число найти было бы нельзя,

если

бы функция f(t)

не удовлетво

ряла

условию (1.38).

Действительно, в

этом

последнем

случае множитель е~с1 (с >

0),

обеспечивающий

сходимость интеграла (1.32)

при / >

привел

бы

•к тому, что этот интеграл перестал бы существовать при

t < 0.

Эта математическая трудность обходится блаюдаря тому, что

нижний

предел

интегрирования

смещается

(1.32)

из

— со в 0.

При рассмотрении переходных процессов такое

«сужение»

пределов интегрирования обычно вполне допустимо, поскольку

нас

интересует то, что происходит

с системой

не

«до», а «после» того

момента времени, в который

к ней прикладывается воздействие,

так

как

очевидно,

что в

реальных

физических системах следствие

не может предшествовать причине, его вызвавшей.

Сделав эти вводные замечания, перейдем

к вопросу

о том, ка

ким

обрагом от преобразования

Фурье для функции /,( 0

вида (1.40)

можно перейти

к преобразованию

Лапласа

для функции /(/).

Представим

функцию

f 1 (t)

виде интеграла Фурье.

Согласно

(1 .33) и (1.34) имеем:

ОО

—

j* du)0-'w

f x{x) dx

— CO

5] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 3 5

или, принимая во внимание		(1.40),
	со		СО
/ ^ 0 =	^ - J	due^ 1	J е-и»+с)*/(х)<1х.		(1..41>
	— со		О
Произведем теперь	в (1.41)	замену	переменной, положив:
		s = с + > .
Мы получим:
			C + J СО	со

/,( 0	= е - ^ / ( 0 =		~	/	dsesl f f(b)e~Sx dx
				с —/со
ИЛИ
		1	г + / о о		СО
	/(О	1	f	dsest f	f ( x ) e - s'd t .
	/(О	2*У	f	dsest f	f ( x ) e - s'd t .
		2*У		О
		с—/со		О
Вместо (1.42)	можно также		написать:
				С + / с О
		/ ( 0 = - 2=y		У F(s)e*‘ ds,
где			с —/со
где
		F(s) = J		f { t) e ~ stdt.

(1.42>

(1.43)

(1.44)

Функция	M(s)	от	комплексной переменной s		называется преобразо
ванием Лапласа		для функции /(£)• Формула (1.43) обычно называется
формулой	обращения для функции /(/). Формулы (1.43) и (1.44)
часто записываются			сокращенно в следующем виде:
			/(О = L-i[F{s%		(1.43а)
			F(s) = L[f{t)].		(1.44а)
Заметим,	что если		произвести в (1.43)	замену	переменной:
			s — j w = we	а,	(1.45)

положить с = 0 и ограничиться рассмотрением чисто вещественных значений ш переменной то, то формулы (1.43), (1.44) сводятся к пре образованию Фурье (1.33) и (1.34).

Выражение (1.45), между прочим, показывает, что для того, чтобьг перейти от какой-либо точки плоскости s к соответствующей

■36

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА

[ГЛ. I

точке плоскости w, нужно лишь повернуть радиус-вектор, про веденный в плоскости s к этой точке, на 90° по часовой стрелке (рис. 1.1). Следовательно, мнимая ось /ы в плоскости s переходит

в вещественную рсь ш в плоскости w. Отсюда следует, что правой полуплоскости переменного s соответствует нижняя полуплоскость переменного w.

6. Определение и основные свойства передаточной функции динамической системы

Дадим теперь определение передаточной функции Ф (s), выте кающее из применения преобразования Лапласа к решению урав нения (1.4).

Предполагая для исходной системы уравнений (1.3) случай ну левых начальных условий, умножая все члены уравнения (1.4) на e~st

н интегрируя			по /	в пределах от	0 до оо,		получим *):
	(ап5л -(- . . . +			-+- а0) -^(s) =	(bmsm-(-		. . . -\-bts -\|-60) F (s),
гд е
				с о			с о
		JC(s) =		J x{t)e~stdt,	Г (s) — J f { t) e ~ st dt.
Следовательно,				о		о

			X (s)	bmsm4- ...		+	+ b0	(1.46)
			F(s)	W	+ ...	+ a ts-l-flo

	На основании (1.46) можно дать следующее определение.
	Передаточной функцией линейной динамической системы назы
вается		отношение		преобразования	Лапласа X(s) для.величины x(t)
на	ее	выходе	к преобразованию		Лапласа		F (s) для воздействия на
ее	входе (при		нулевых начальных		условиях).

•1) См. литературу, цитированную на стр. 33.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДЛТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

с—/оо

Если теперь		учесть,	что согласно (1.37)
			X(s) =	Ф (s) F (s'),			(1.43)
то вместо	(1.47)	получим:
			с Ч /со
							(1.49)
			с—/со
Формула (1.49) определяет при нулевых начальных условиях пе
реходный	процесс x(t),		вызванный любым		воздействием f(t),			удо
влетворяющим условиям (1.38) и (1.39).
Из §	4 и 5 и из		выражений (1.49) и (1.35) следует, что					если
известна	передаточная		функция	Ф (s) (или	Ф(у'ш)), то	мы	можем
вычислить	не только вынужденные колебания системы					при	синусо
идальном	воздействии любой частоты ш, но и переходный процесс,
который возникает в системе при любом воздействии f(t)						на ее входе.

Поэтому передаточные функции могут рассматриваться как основ ные характеристики всякой линейной динамической системы.

Передаточные функции устойчивых линейных динамических си стем с сосредоточенными параметрами обладают следующими основ ными свойствами.

1) Передаточная функция Ф (s) представляет собой дробно-ра циональную функцию вида (1.46), причем порядок т числителя не превышает порядка п знаменателя.

Это следует из того, что

Пт | Ф (у'ш) | < оэ.

2)Все коэффициенты Ь0, Ь{, . . ., bm\ а0, av . . . ап передаточной функции вещественны. Это следует из того, что они представляют собой функции от параметров системы, которые могут быть только вещественными.

3)Невещественные нули и полюсы передаточной функции могут быть лишь комплексно-сопряженными.

Действительно, предположим, что Хх есть один из комплексных полюсов передаточной функции. Это означает, что при s = Хх зна менатель передаточной функции обращается в нуль, т. е.

[D (s)]J=x, — (a„sn —(—- -. —J—ats -j- fl0)J=x, — 0.

Очевидно, что это равенство не нарушится, если в нем все ком плексные числа заменить на сопряженные. Но - все коэффициенты

38	НЕКОТОРЫЕ	ВОПРОСЫ	АНАЛИЗА	[ГЛ. I
а ,	ап_,, . . . . а р а0, будучи действительными,			останутся при этом
без	изменения, и мы приходим	к равенству
	(М " + • • • +	ais -f-	=	О,

где через X* обозначено число, комплексно-сопряженное Xj.

Таким образом, мы доказали, что невещественные полюсы пере даточной функции могут быть лишь комплексно-сопряженными. Оче

видно,	что такой	же вывод при помощи аналогичных рассуждений
можно сделать и в отношении нулей передаточной функции.
4)	Все полюсы передаточной		функции Ф (s) расположены	в ле
вой полуплоскости (условие устойчивости).
Это	вытекает	из того, что для	устойчивости динамической	си

стемы необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характери стического уравнения

D (X) ==; ап\ п -4—- - - Н—etX -(- а0— О

находились в левой полуплоскости.

Заметим, что все полюсы функции Ф(уш), получающейся из Ф (s) в результате замены переменной s по формуле (1.45), в случае устойчивой системы расположены в верхней полуплоскости.

7.Дельта-функция

Впредыдущем параграфе было указано, что основной характе ристикой линейной динамической системы является передаточная функция, если при анализе ее свойств мы пользуемся плоскостью комплексного переменного s. Однако в некоторых случаях может оказаться более удобным производить исследование не в комплек

сной области, а в области		вещественной переменной	/.
В связи с этим весьма		интересно определить ьременную харак
теристику k (t),	соответствующую передаточной функции Ф (s).
Для того	чтобы это	сделать, предварительно	введем понятие

одельта-функции.

Кпонятию дельта-функции удобно подойти, введя вначале в рас

смотрение хорошо известную единичную ступенчатую функцию 1. Единичная ступенчатая функция определяется следующим образом:

1,		t >	О,
1_	’	* =	0.
1 = 2	’	* =	0.
О,		t <	О,

и- может бьпь получена как предел надлежащим образом выбранной непрерывной функции.

ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ

Примером непрерывной функции, превращающейся в результате предельного перехода в единичную ступенчатую функцию, может служить:

f ( t ,		a ) = 4 + I a r c t g i - .				(1.50)
Действительно, если ограничиться рассмотрением главных зна
чений многозначной функции			(1.50)	в интервале
		я	,	t	я
то (рис. 1.2)	— 2" < arctgr— <				2 -
то (рис. 1.2)
lim f(t,	а) =	lim Ц - +		zr arctS —1 =		(1.51)
a -V 0		i +	O ^	“ ■
Определим дельта-функцию 8(/)				как	производную	от единичной
ступенчатой функции.	За	исключением			точки / = 0,	производная

от 1 всюду существует и равна нулю. Однако, если вместо единич ной ступенчатой функции рассматривать соответствующую непре рывную функцию (1.50), то

производная		будет		сущест
вовать	при	всех	t,	включая
и t =	0.
Продифференцировав обе
части	равенства		(1.50), по
лучим:
hit, a) = -df(t' a)			—
		dt

(1.52)

я+ &з)

Подобно тому как единичную ступенчатую функцию 1 можно рассматривать как предел непрерывной функции f i t , а) при a -* 0 , так и дельта-функцию &(/) можно считать пределом непрерывной функции 8(£, а) при а->-0.

Итак-,

8 it) =

lim

8 it, a) =

lim df(j ’ a) .

(1.53)

Функция

(1.53)

равна

нулю

при

( ^ 0

и равна бесконечности,

при

t — 0,

так как

8(0, а) =

— .

Tza

При уменьшении

в уравнении

(1.52)

величина

пика

возрастает

(рис.

1.3, а), но

площадь

ограничиваемой

кривой

8(£,

а) остается

равной единице,

независимо

от а:

СО

bit,

a) dt ~

(1.54)

— СО

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 664 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ