Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 666 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

50 Н Е К О Т О Р Ы Е В О П Р О С Ы АНАЛИЗА |ГЛ. I

Предположим

теперь,

что

функция

Ф (s) имеет

кратные

полюсы,

т. е. что

ф ( 8 ) =

^ш

_________________ш

__________:_____

(1.100)

D (s)

(s — Xj)*- (s — XJ** ... (s — l ,S " ‘

Тогда можно

показать *),

что

У.1

Кы

( 1. 101)

= 1 (s — h)

* ,-ч 4 1

где р — число

неравных

корней и

дГ1- 1

—

( 1. 102)

(м — 1)!

rfs7-1

D(s)

’

Выражение

для

k (t)

этом

случае имеет

вид

Кы

/ > 0 .

(1.103)

(*/ — 7)!

/= 1V-1

Перейдем

теперь

вычислению

k (t )

при

( <

по-прежнему

имея в виду, что все полюсы функции

Ф (s)

расположены

в левой

полуплоскости, т. е. что

функция

Ф (s) является ограниченной и ана

литической в правой полуплоскости.

Рассмотрим

интеграл

щ f ®(s)e*'rfs,

(1.104)

с*

взятый по полуокружности С +, имеющей радиус г

и расположенной

в правой

полуплоскости

(см. рис. 1.7).

стремится к

нулю2)* .

При

/ < 0

и при

| г | —»- оо интеграл (1.104)

Поэтому мы можем написать:

4 J00

+ £ »

J Ф (s) estds

k ( t ) = 2^7

Ф (S) esl ds =

-^7

ф (s) esl ds

или

_j°°

-j°°

c +

k (/) =

^ Ф (s) esl ds,

t < 0,

(1.105)

где интегрирование производится no замкнутому контуру, состоя щему из мнимой оси и полуокружности бесконечно большого ради уса, расположенной в правой полуплоскости.

1)См. сноску на стр. 33.

2)См. сноску 2) на стр. 48.

12]

Г Р А Ф О А Н А Л И Т И Ч Е С К О Е О П Р Е Д Е Л Е Н И Е П Е Р Е Х О Д Н Ы Х Ф УНК Ц И Й

Согласно теории вычетов значение этого интеграла равно сумме вычетов подынтегрального выражения во всех полюсах, находящихся внутри контура, умноженной на 2тс/. Но функция Ф (s), по предпо ложению, не содержит полюсов в правой полуплоскости. Поэтому

Ф (s) est ds = 0,	t < 0,
или
СО
	/ < 0 .	(1.106)

— с о

На основании (1.106) можно сделать следующий вывод:

Если функция Ф (у'ш) является аналитической и ограничен

ной

в нижней полуплоскости, то ей соответствует

преобразо

вание Фурье

k(t),

обращающееся

в нуль при — с о < £ < 0 .

Обратное утверждение, очевидно,

также справедливо,

т. е. если

имеет место

равенство (1.84),

то функция Ф (у'ш)

является

аналити

ческой и ограниченной в нижней полуплоскости,

функция

Ф (s) —

в правой полуплоскости.

Действительно,

если

равенство

(1.84) удовлетворено,

то

инте

грал

(1.106)

равен

нулю

при

t <

а это может

иметь

место, как

мы

только

что видели,

лишь

том

случае,

если функция

Ф (s)

является аналитической и ограниченной в правой полуплоскости. Заметим, что точно так же можно было бы показать, что если функция Ф (у’ш) является аналитической и ограниченной в верх ней полуплоскости, то ей соответствует преобразование Фурье,

обращающееся в нуль при 0 < t < со.

12. Приближенный графоаналитический способ определения переходных функций по заданной передаточной функции Ф (уш)

Изложенный в § 11 способ вычисления импульсной переходной функции имеет то неудобство, что он связан с необходимостью пред варительного определения полюсов функции Ф (s).

Ниже излагается приближенный графоаналитический способ ') определения переходной функции и (t), а также импульсной переход ной функции, не требующий знания полюсов функции Ф (s).

Для применения метода достаточно располагать графиком веще ственной характеристики Р { ш), который, конечно, всегда может быть построен, если известна передаточная функция Ф (s), поскольку

Р(ш) = Re [Ф (у'ш)].

1)С о л о д о в н и к о в В. В., Частотный метод анализа динамики следя щих и регулируемых систем, Диссертация, Москва, 1948.

52 Н Е К О Т О Р Ы Е В О П Р О С Ы АНАЛИЗА [ ГЛ . I

Идея метода состоит	в том,	чтобы представить кривую Р(со)
в виде суммы некоторых	типовых	кривых р к (со)

р О)= /2е= 1Рк (“)
так, чтобы при вычислении выражений вида
с »
sin /со rfco	(1.107)
«а(9= тг fl/ РкЬ°)

можно было бы пользоваться таблицами и, таким образом, свести определение переходного процесса и (/) к суммированию табличных

функций uk (t):

«(9=2 «*(9-

*=i

Ниже предполагается, что каждая из функций р к (со) определяется следующим образом:

		Рок'		0 <	Ш<	(Odk,
		шпк — со							(1.108)
Рк(ш) =		Рйк шпк — ыкк	шс1к <		ш <	“ «»■			(1.108)
		0,
т. е. имеет вид	трапеции (рис. 1.8). Функцию р к (ш),						определяемую
			(1.108), условимся называть тра
			пецеидальной			частотной			характе
			ристикой.
			Всякая кривая Р (со) может
			быть	представлена			в	виде		сово
			купности		из	некоторого				числа
		трапецеидальных частотных								ха
			рактеристик вида (1.108) следую
		щим		образом.		Заменим			кривую
		Р(со)		(рис. 1.9) достаточно мало
			отличающейся от нее кривой Р (со),
			состоящей из сопрягающихся друг
с другом прямолинейных отрезков, и проведем						через		каждую из
точек сопряжения прямую линию, параллельную оси со.
Легко видеть,	что	в результате	указанного приема				кривая			Р ( ш)

может быть заменена некоторым числом трапецеидальных характе

ристик рк (ш). Так, например, кривая	Я (со) на рис.	1.9 может быть
заменена четырьмя такими характеристиками. Итак,
Р(со)^Р(со) =	2 Рк(ш)-	(1.109)

А= 1

12]	Г Р А Ф ОА Н А Л ИТ И Ч Е С К ОЕ О П Р Е Д Е Л Е Н И Е		П Е Р Е Х О Д Н Ы Х ФУ НК Ц И Й	53
	Подставляя (1.109) в (1.94),	получим:
	"	?
	2	/	dw-

ft= 1 о

Из этого выражения ясно, что приближенное вычисление u(t) сводится к определению переходных функций uk (t), соответствующих, трапецеидальным частотным характеристикам (1.108).

Функции uk {t) могут	быть найдены следующим образом, Под-
ставляя (1.108) в (1.107),	получим:

dk	rift
ak {l)=*SSL J i l l +	f . <!>„£ ---- Ш	S in t CD dш,
	ank — “rfft	“

( 1. 111)

54	Н Е К О Т О Р Ы Е В О П Р О С Ы АНАЛИЗА					[ Г Л . I
откуда, после несложных		преобразований,		пользуясь		обычным обо-
значением интегрального		синуса
			sin iu>	,
			-------ао),
			о)
получим:
		“ и*			Si(u)(/;0] 4“
=	Si («0**0	“ л* — adk [Si (шпкО			Si(u)(/;0] 4“
		1	^ COS	—	COS adkt j \|
	Ч- “ л* — “ dft					( 1. 110)
Функции	uk (t), определяемые		(1.110),	так	же как	соответствую

щие им трапецеидальные характеристики (1.108), зависят от трех параметров: р0к, шак, шпк или р0к, и>пк, хк, где хк — величина, назы ваемая коэффициентом наклона,

adk

шпк

Поэтому, имея в виду табулировать функции uk (t), введем в рас смотрение единичные трапецеидальные частотные характеристики, для которых

	Рок — 1•
	шпк	^'
а коэффициент наклона v.k может быть любым. Согласно				(1.110)
этим характеристикам соответствуют переходные функции
К (0 = 4 { Si (*0 +	т = 7 [ Si (0 -	Si W	+ -cosA t cos Ч ] } .	( 1. 112)
Функции (1.112)	зависят только	от	одного параметра •/	и могут
быть затабулированы ').
При помощи таких таблиц можно приближенно определить пере
ходную функцию ик (1), соответствующую трапецеидальной				характе
ристике с любыми значениями ее трех параметров р0к, шпк,				/.к. Сле

довательно, этими же таблицами можно пользоваться для прибли женного вычисления переходных процессов по формуле (1.94).

Для того чтобы пояснить правила пользования таблицами, пред варительно необходимо доказать одну теорему, которую можно на звать теоремой подобия или теоремой изменения масштаба. Эта теорема заключается в следующем.

Пусть

	СО
* ( /) =	-?- У P(<o)i!l*irfu>,	,	(1.113)
	6
>) См. С о л о д о в н и к о в	В. В., Топчеев Ю.	И., К ру т ико ва Г. В.,
•Частотный метод построения переходных процессов,		Гостехиздат,	1955.

55-

12] Г Р АФ ОА Н А Л И Т И Ч Е С К О Е О П Р Е Д Е Л Е Н И Е П Е Р Е Х О Д Н Ы Х ФУ НК Ц И Й

тогда

СО

<1Л14>

х { ^ ) =

т. е. при увеличении (уменьшении)

масштаба кривой Р(ш) вдоль

оси ш в /г раз масштаб кривой

x(t)

вдоль оси

t уменьшается (уве

личивается) в то же число раз.

Доказательство

теоремы

весьма

просто.

Заменяя

(1.113)

t через — , получим:

sln — “

^ = ( 4 ) = т У

0 - 4 5 )

Произведем

интеграле

(1.115)

замену

переменной,

положив

и/ == — . Тогда

(

t \

со

sin Ы’ ,

Г D,

x ( n ) = * J

—j — d*',

откуда сразу же следует (1.114), если

заменить и/ через ш.

На основании

теоремы

изменения

масштаба

можно

сделать сле

дующий вывод.

Для того чтобы найти переходную

функцию uk (t),

соответствую

щую

трапецеидальной

характеристике,

с параметрами

р 0к,

шпк, v.kt

зная

переходную

функцию

соответствующую единичной тра

пецеидальной

характеристике с

тем

же

коэффициентом

наклона v.k,

необходимо:

умножить

ординаты

функции /гх(<) на p0k; 2) значе

ния аргумента t, приведенные в таблице, разделить на шпк.

Таким образом, мы приходим к следующему правилу приближен

ного

построения

картины

переходного

процесса по заданному гра

фику функции Р ( ш):

1)раскладываем Р(ш) на трапецеидальные частотные характери

стики;

2)находим соответствующие им переходные функции, пользуясьтаблицами Лх-функций при помощи только что изложенного правила;

3)производим алгебраическое сложение ординат кривых, соответ ствующих переходным функциям uk (t). Полученная кривая и будетпредставлять искомую приближенную картину переходного процесса.

Покажем теперь, каким образом можно, пользуясь трапецеидаль ными характеристиками, найти импульсную переходную функцию позаданному графику функции Р(ш).

В§ 10 было показано, что

	СО
*(/)=■£■	f P(w)costudu,	i > 0,	(1.116),
где	О
где	Р (ч>) = Re [Ф С/о>)].

Н Е К О Т О Р Ы Е В О П Р О С Ы АНАЛИЗА

[ Г Л . I

Предположив, что функция Р(ш) задана в виде кривой, заменим ее

.некоторым числом трапецеидальных характеристик P t (со) (см. рис. 1.9):

									“)•		(1-117)
									i=i
						Подставляя (1.117) в (1.116), полу
						чим:		п	0
								п	0
							/е(/) =	-^-У ^У P[(w) cos tw du>,
								1 = 10
								t > 0.			(1.118)
Выражение (1.118) показывает, что							вычисление импульсной			переход
ной функции сводится к				вычислению интегралов вида
				—		Pi И cos tu йш.					(1.119)
где	(рис. 1.10)		p0l =	const,			0 < со	< ш1 —	Aj,
			p0l =	const,			0 < со	< ш1 —	Aj,
		Р / Н =	Ш1 + Д/ — 1				wt — Д; < to< о), 4-Дг,				(1.120)
		Р / Н =	Poi	2Д,			wt — Д; < to< о), 4-Дг,				(1.120)
			0,				Д/ -Ь ш1 <C ш-
Принимая во			внимание (1.120), вместо					(1.119)	получим:
		“Г “1				" Г “1
	=	p0lcostw du				J	Poi1 1 3 1 — -cos7torfu) =
		0				Д^
= = ““	У	COS 7t0 tftU -\|-2^ 0<		----—		J '	c o s /to rfu)—		У U)COS/(Ot/u\
или
ki (0	=	[sin /ш ]-г * 1 + ^ ^			+	^	- [sin	-
				_	Ж	[l0 sin / шр + ^ -			-PSL, [cos /u)]“i+ .
После подстановки пределов все члены, содержащие синусы, со-'
кращаются, и выражение для					k t (t)		принимает вид
k t V =		-	[C0S (Шг + W		-	cos (со, -		Д<) /] =	?Р01 Sl"		^
или									я А р
или
			k t (0 =						.		(1.121)

12]

ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ФУНКЦИЙ

ЪТ

Подставляя (1.121) в (1.118). окончательно получим:

/= 1

Вычисление k(t) при помощи формулы (1.122), очевидно, не пред ставляет собой каких-либо затруднений, особенно, если под руками,

имеются таблицы функции — (см. приложение I).

Пример.	Пусть
,т,/:	\	61
’ (•/“) -		(0,0015/со + 1) (0,027> + 1) (0,01> + 1) + 6Г

Соответствующая вещественная частотная характеристика Р ( ш) изобра:- жена на рис. 1.11.

Р(ш)

HSV

Выражение для импульсной переходной функции k (t), определенное методом, изложенным в § 8, имеет вид

k(t) = — 0,244<Г710' + 10,92<r113' + 35,86г_1ал' cos (27,4/ — 107,6°). (1.123)

График функции (1.123) изображен на рис. 1.12 сплошной кривой. Найдем теперь приближенный вид функции k (t), воспользовавшись

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА

[ГЛ. I

формулой (1.122). Если аппроксимировать кривую /3(м) так, как это изо бражено на рис. 1.11 пунктиром, то мы получим

( sin 2,6/ \ (	sin 30,2/	пп , ( sin 18/ \ ( sin 58/ \		(1.124)
\ 2,6/ Д	30,2/	18/ Д	58/ )'

График функции (1.124) изображен на рис. 1.112 пунктиром.

13. Приближенный графоаналитический способ определения частотных характеристик по заданной импульсной переходной функции

На практике существенный интерес представляет также задача, ■обратная той, которая была рассмотрена в предыдущем параграфе. Эта задача состоит в графическом определении частотных характеристик системы Я (со), Q(w) по заданной импульсной переходной функции /е(/).

Так как

ОО

	Ф ( » = Р (со) + j Q (ш) = J k (0 е~№ dt,		(1.125)
или		о
или	оо
	оо
	Р(ш) = J £(/)cosu>tdt,		(1.126)
	о
	со
	Q (со) = — J	k (/) sin со/ dt,	(1.127)
	о
то	сформулированная задача сводится к приближенному		вычисле
нию	интегралов (1.126), (1.127).	Рассмотрим выражение	(1.126).

ikift)

Очевидно, для его вычисления можно применить метод, которым мы пользовались при вычислении интеграла (1.116). Для этого необ

ходимо	лишь	разложить заданную кривую	k (/) на трапеции так же,
как это	мы	делали выше применительно	к заданной кривой Я (со).

13] ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК 59

Пользуясь обозначениями на рис. 1.13, при помощи выкладок, ничем не отличающихся от аналогичных выкладок в предыдущем параграфе, получим:

Р (« ) = 2 л	А	> ( ^ ) ( т ^ ) -	(1128)
1= 1
Перейдем к вычислению интеграла (1.127). Разлагая k(t) на
трапеции k t (t), получим:	со
п	со
Q (ш) == — ^ J		k l (t) sin dt.	(1.129)
1=1 о

Выражение (1.129) показывает, что вычисление мнимой частотной характеристики Q(u>) сводится к вычислению интегралов вида

							СО
					?/(“) =		/	k t (t) sin uit dt,			(1.130)
							о
где		(см. рис. 1.13):
					' k0l =	const,			0 < t < t i — A,.
			*,(Q = i		■oi	2Д			tt — дг <c ^ <c		(1.131)
			*,(Q = i		■oi	2Д			Д / - 1-
					0,				Д / - 1-
		Принимая		во внимание (1.131),					вместо	(1.130) получим:
			i	t			t		// —\|—Д/ —t . , ,,
	(ш) k0l		I	sin tui dui -j- k0l			J		// —\|—Д/ —t . , ,,
Qi	(ш) k0l		I	sin tui dui -j- k0l			J	-*■ 1— -----sin ta) dt =
Qi						V 4/*2			2Д,
						V 4/*2
		=		[— cos to>}[r		i-r		k°l (OA~t-—		t - c o s H ^ +
									2
									&0/	Л+Д#.
=		11 -	cos (f, -		Д,) Ш]	+ * m (2 ' +			A<) [co s (tt—Дг) ui-cos ( ^		) u)]-h
		^01 (0 4~ Ai) cos (7,4- Д,) U) — k°l (2^ MA;) cos (/; — Д,) O) —
			2Д;Ш

- 2 V * [Sin (<i +

~ sin ^ ~ ^ “J-

^ •132>

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 666 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ