книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

Из соотношений (1.25) следует, что передаточная функция Ф (у'ш) всегда может быть найдена, если задана какая-либо пара соответ­ ствующих ей частотных характеристик: амплитудная и фазовая или вещественная и мнимая.

Однако на самом деле для определения передаточной функции Ф (/со) во многих случаях достаточно задания только какой-нибудь одной, а не двух частотных характеристик. Это следует из того, что между вещественной Я (со) и мнимой Q(co), а также между амплитудной И (со) и фазовой с? (со) частотными характеристиками при определенных усло­ виях существует однозначная зависимость и, следовательно, если одна из них задана, то другая может быть всегда определена. Найдем эту зависимость2)* .

Так как P (со) — четная функция, то

ООСО

Р^ш) — ^ ! ’ cos соudu J P(b)zosu% db,

14] УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОЙ связи между частотными характеристиками 61

U->-CO Л 'J

62 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА [ГЛ. I

Итак,

(1.137)

Точно так же можно показать, что

СО

(1.138)

—СО

В(1.137), так же как и в (1.138), подразумевается главное зна­ чение интеграла при и — и>.

Выражения (1.137), (1.138) называются преобразованиями Гиль­ берта.

Напомним, что формулы (1.137), (1.138), получены на основании соотношений (1.90), (1.91), которые, как мы видели, имеют место лишь при удовлетворении условия физической осуществимости (1.81) Но в § 11 было показано, что если

Следовательно, формулы (1.137), (1.138) также справедливы лишь для физически осуществимых систем, передаточные функции которых

Рассмотрим теперь условия однозначной зависимости между амп­

Сравнивая (1.25) с (1.139), мы видим, что логарифмическая ампли­ тудная 1пЛ(ш) и фазовая ср(о>) (со знаком минус) частотные харак­ теристики связаны с логарифмом передаточной функции 1пФ(у'ш) таким же соотношением, как вещественная Р(со) и мнимая Q(cu) ча­

Ы ] УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОЙ СВЯЗИ МЕЖДУ ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ 63

стотные характеристики с самой передаточной функцией Ф (уш).

Поэтому, заменяя в (1.137), (1.138) Р ( ш) через 1п ^4 (ш) и <3(ш)

через <р (со), получим1):

случае, если функция Ф(у'ш)— аналитическая и ограниченная в ниж­ ней полуплоскости. Теперь роль функции Ф (уш) играет ее логарифм 1пФ(уш). Поэтому формулы (1.140), (1.141), позволяющие опреде­ лить 1пЛ(ш) через ср(ш) и обратно, будут справедливы лишь в том случае, если функция 1пФ(у'ш) также является аналитической и огра­ ниченной в нижней полуплоскости. На основании сказанного, учиты­ вая, что нуль функции Ф (уш) является бесконечностью для ее лога­ рифма, т. е. особенностью для функции 1пФ(у'ш), легко видеть, что условие существования однозначной зависимости между логарифми­ ческой амплитудной характеристикой Л(ш) системы и ее фазовой характеристикой ср(ш) заключается в том, чтобы передаточная функ­ ция Ф(у’ш) не имела не только полюсов, но и нулей во всей нижней полуплоскости, включая вещественную ось. Системы, удовлетворяющие этому условию, называются минимально-фазовыми системами2). Физи­

!) Строгое доказательство приводимых ниже формул см. в книге Е. Титчмарша.

2) Боде Г., Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью, ИЛ, 1948.

64 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА [ГЛ. I

где

с,= lim [(а — Х,)Ф (<?)], s ->

причем X, представляют собой полюсы функции Ф (s), и предположим,

или, приводя два первых члена к общему знаменателю:

Рассмотрим теперь функцию ®t(s) и предположим, что она отли­ чается от Ф(я) лишь тем, что не имеет полюсов ± jwl на мнимой оси. Ее разложение на простые дроби имеет вид

Легко видеть, что, в то время как вещественные части обеих функций ®(s) и Ф, (s) при s — jus одинаковы, их мнимые части отли­ чаются друг от друга на функцию

2CJu>

— со2 —|—to2

Таким образом, если две функции Ф (s) и Oj(s) имеют прив = jus одинаковые вещественные части, но не все полюсы этих функций расположены в левой полуплоскости, то, вообще говоря, это еще не означает, что они также имеют и одинаковые мнимые части, т. е. взаимная связь между вещественной и мнимой частотными характе­ ристиками при этих условиях не является однозначной.

Простейшей системой не минимально-фазового типа, которую можно назвать звеном с равномерным пропусканием первого порядка, может служить система, имеющая передаточную функцию

цией является один из двух множителей в прямых скобках в правой части (1.147).

с передаточной функцией следует отождествить первое из этих выра­ жений, т. е.

(1.148)

(“ — xi) •••(“ — К)'

16. Формула для вычисления фазовой частотной характеристики по заданной амплитудной частотной характеристике')

Выражения (1.140), (1.141) представляют собой общие формулы связи между логарифмической амплитудной и фазовой частотными характеристиками минимально-фазовых систем.

На практике, однако, оказывается более удобным пользоваться выражениями (1.140), (1.141). представленными в несколько другом виде.

Имеем согласно (1.141):

СО ОО*