книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

244 СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. V!

Из сказанного ясно, что рассматриваемая нами проблема имеет непосредственное отношение к теории динамической точности не только систем автоматического управления, но и вычислительных машин.

3. Задачи фильтрации и упреждения

Возвращаясь к задачам фильтрации и упреждения, остановимся несколько подробнее на сущности этих задач и рассмотрим несколько частных случаев, поясняющих их смысл.

Вслучае задачи фильтрации ошибка

е(() = in (t) — х (/)

состоит из двух составляющих. Одна из них вызывается тем, что система, вообще говоря, не может совершенно точно воспроизводить полезный сигнал даже при отсутствии помех, а другая — тем, что система не может не реагировать на помехи.

Обычно оказывается, что стремление уменьшить первую соста­ вляющую приводит к увеличению второй составляющей, и наоборот.

некоторый компромисс, обеспечивающий наивыгоднейшие условия работы системы.

Известны три способа подхода к решению задачи синтеза следя­ щих систем при наличии помех.

31 ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ И УПРЕЖДЕНИЯ 245

Первый и наиболее простой из них применим в том случае, когда полезный сигнал имеет гораздо более низкочастотный спектр, чем

Другой способ подхода к выбору характеристик следящих систем при наличии помех предназначен для случаев, когда управляющее воздействие имеет спектр частот, очень быстро убывающий при воз­ растании частоты, а помехи имеют спектр, близкий к белому спектру

(рис. 6.3).

Согласно этому способу форма амплитудной частотной характе­ ристики KW (у'ш) разомкнутой системы должна выбираться при низких

fitiu'.Siw)

частотах, где | KW (jw) | 1 и где сконцентрирована основная энер­ гия полезного сигнала, возможно более близкой к форме амплитудной частотной характеристики полезного сигнала, а затем быстро убывать,

сигнала на ошибку и, с другой стороны, уменьшения, насколько удастся, влияния помех благодаря быстрому убыванию модуля пере­ даточной функции KW (у'ш).

привести к уменьшению запаса устойчивости или даже к нарушению устойчивости системы.

Третий способ синтеза применим в общем случае, когда спектры частот полезного сигнала и помехи налагаются друг на друга, как изображено на рис. 6.1, и имеют произвольную форму.

заключающееся в том, что система должна иметь передаточную функ­ цию Ф(/<о), не зависящую от частоты на всем интервале частот 0-+-шо,

значно определяется, если известно ее поведение на любом интервале. 3. Предположим, что т (/) — белый шум и — Тогда задача упреждения не имеет решения, так как в этом случае значение m {t-|-т) совершенно не зависит от предыдущей истории изменения сигнала т (t). 4. Пусть m(t) и п (/) будут любыми аналитическими функциями.

Тогда, очевидно, невозможно отфильтровать т (I) от

Очевидно, что никакое выделение т(() из т (/)+■ n{t) невозможно, если только не известны какие-либо отличительные особенности m(t) и n(t). Точно так же никакое предсказание невозможно, если только m(t) не обладает каким-либо известным свойством, связы­ вающим его прошлое и будущее.

4. Исходная информация о воздействиях

Второй из поставленных выше вопросов связан с исходной инфор­ мацией о полезном сигнале и помехе при решении задачи функцио­ нального преобразования сигнала. Эта исходная информация может быть самой различной, причем в зависимости от полноты данных можно различать следующие три основных случая.

1. Известны наиболее полные в статистическом смысле сведения о входном сигнале, т. е. известные многомерные интегральные функ­

/! = 0

аотносительно помехи может быть известно лишь то, что она при­ надлежит к классу стационарных случайных процессов. ,

3.Имеются менее полные данные, чем в первом случае, и боле полные, чем во втором.

Так, например, могут быть известны первые два момента функций распределения входного сигнала и помехи, но неизвестны сами функ­ ции распределения.

Одна из основных трудностей теории обобщенной фильтрации состоит в разработке методов, позволяющих учитывать всю имею­

разработанными являются в основном лишь методы, требующие со­ вершенно определенной полноты сведений о входном сигнале. Так, например, для определения оптимальной передаточной функции по излагаемому далее методу Винера необходимо знать собственные и взаимные корреляционные функции входного сигнала и помехи. Если мы располагаем меньшей информацией, то этот метод неприменим; если мы располагаем более полной информацией, то она не может быть использована.

б. Динамическая точность и функция риска. Общая формулировка задачи синтеза

Третьим вопросом является вопрос о том, каким образом харак­ теризовать динамическую точность воспроизведения системой задан­ ного закона преобразования сигнала. Очевидно, что, только ответив на этот вопрос, можно оценить относительные преимущества различ­ ных систем и точно определить понятие оптимальной системы.

Не ставя себе здесь задачей дать сколько-нибудь полное изложе­ ние всех известных в настоящее время методов решения сформули­ рованной выше проблемы и ограничиваясь в дальнейшем в основном лишь теми результатами, которые можно довести до практических расчетов, мы все же предварительно изложим некоторые идеи, ко­ торые при дальнейшем своем развитии, по-видимому, будут иметь большое значение для статистической динамики систем автоматиче­ ского управления :).

*) С о л о д о в н и к о в В. В., Б а т к о в А. М., Б р е д и с А. А\ М а т-

применимая в обычном критерии среднеквадратической ошибки. После сделанных выше предварительных замечаний общая проблема

синтеза динамических систем, обеспечивающих наивысшую, в приня­ том смысле, динамическую точность преобразования управляющего воздействия (полезного‘сигнала) при наличии возмущающих воздей­ ствий (помех), может быть сформулирована следующим образом.

1. Известно, что динамическая система будет находиться под влиянием управляющего y{t) и возмущающего n(t) воздействий, ко­ торые могут быть наложены друг на друга и поступать на вход си­

которая в наилучшем случае заключается в знании всех функций

стему, обеспечивающую наивысшую динамическую точность в смысле минимума выбранной функции риска.

Динамические системы, удовлетворяющие этому условию, будем называть оптимальными. Решение сформулированной задачи состоит из двух основных этапов. Первый этап состоит в определении дина­ мических характеристик оптимальной системы. Изложение методов

6. Значение теории игр и решающих функций для теории автоматического управления1)

Для выполнения первого из указанных выше этапов решения

mic behavior, Princeton, 1947.