книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

по результатам опыта, называется реализацией случайной функции. Случайные функции, для которых независимой переменной является время t, обычно называются случайными или стохастическими про­

цессами.

Для характеристики случайной функции служат моменты случай­ ной функции. Для определения моментов необходимо знать много­ мерные функции распределения вероятности случайной величины.

Предположим, что мы располагаем большим числом каких-либо одинаковых устройств, например радиоприемников или следящих систем, работающих одновременно при одинаковых условиях. Будем наблюдать флуктуации величии на выходе этих устройств. Они будут

пределения вероятности. Рассмотрим теперь всевозможные пары

некоторыми функциями распределения вероятности, полностью опре­ деляющими его в статистическом смысле.

в совокупность функций, характеризующих рассматриваемый случай­

делить как m0x(t), Рг*(0 . так и центральный момент второго порядка

СО 0 0

Р2, АА)= / / l*i—тох А)1 Iх2 — Щх А)1 w2(*i.к *2. h) dxi dx2-

— о о — о о

характеризующий связь между значениями случайной функции в раз­ личные моменты времени. Функция р2*АА) называется корреляцион­ ной функцией.

Зная д-мерную функцию распределения вероятности, можно опре­ делить все последующие моменты случайной функции, включая момент п-го порядка:

СО ОО

<*„АА...А) = / ••■ /*1- *2•••XnWn(*1.к •••1*«.A) dxl - ‘ - dxn-

— CO — CO

Если приходится иметь дело не с одной, а с несколькими взаимо­ связанными случайными функциями, то, кроме их собственных момен­ тов, приходится вводить еще и их взаимные моменты.

Так, например, если имеются две случайные функции x(t) и y{t), то простейшим взаимным моментом является момент второго порядка:

Ра,, (A: k = M[[ x — m0x{t^\ [у — т о ,А ) 1} =

• СО с о

называемый взаимной корреляционной функцией случайных функ­ ций х (t) и у (t).

Подводя итог, можно дать следующее определение случайного процесса.

Если в результате различных наблюдений над процессом, произво­ димых при одном и том же комплексе принимаемых во внимание условий, получаются различные последовательности данных x(t), для каждой из которых зависимость переменной х от аргумента /.неиз­ вестна и могут быть определены лишь функции распределения вероят­ ности для значений x(t) в различные моменты времени, то процесс называется стохастическим или случайным.

Так, например, совокупность функций

П

характеризует собой случайный процесс, если известны функции рас­ пределения вероятности коэффициентов аУк, ЬУк для любого момента времени t.

множества в целом при помощи усреднения свойств входящих в него функций.

Таким образом, применяя этот метод к анализу, например, радио­ приемника, следящей системы или системы автоматического регулиро­ вания, мы получаем возможность судить о ее поведении не по отно­ шению к какому-либо одному определенному воздействию, предста­ вляющему заданную функцию времени, а о ее поведении (в среднем) по отношению к целой совокупности воздействий. Очевидно, что это может быть весьма существенно, так как при проектировании систем, служащих для передачи сигналов, необходимо учитывать, что они должны достаточно эффективно работать не только при каком-либо определенном «пробном» или «испытательном» воздействии, но и при воздействиях, изменяющихся по самым различным законам.

3. Стационарные случайные процессы

Общая теория случайных функций, требующая задания много­ мерных функций распределения вероятности случайной величины, обычно оказывается слишком сложной и громоздкой для практических применений. Поэтому на практике обычно стремятся ограничиться рассмотрением лишь первых двух моментов случайных функций. Такого рода теория обычно называется корреляционной теорией случайных функций, так как центральные моменты второго порядка называются корреляционными моментами.

Следует подчеркнуть, что если случайные функции имеют нор­ мальные функции распределения вероятности, то задание их первых двух моментов достаточно для определения всех последующих момен­

движение самолета в пространстве как процесс Маркова, то это, очевидно, означало бы, что мы не принимаем в расчет его инерции.

Среди случайных процессов, в которых предыдущее течение события в существенной мере определяет собой те заключения, кото­ рые мы можем сделать о будущем, нужно в первую очередь выделить стационарные случайные процессы. Основательное изучение этих про­ цессов, без сомнения, должно быть положено в основу всякого более общего исследования в этой области.

Понятие стационарного случайного процесса относится к тем применениям, когда система, в которой протекает случайный процесс, остается неизменной во времени. В этом случае вид функций рас­ пределения вероятности не зависит от смещения начала отсчета вдоль оси времени.

Более точное определение стационарного случайного процесса может быть сформулировано следующим образом *).

Случайный процесс, определяемый совокупностью переменных x k (t),

она может быть определена в течение достаточно долгого промежутка времени из результатов наблюдения над одиой-единственной систе­ мой, а не над многими.

Действительно, так как в этом случае функция «^(х) не зависит от начала отсчета времени, то можно предположить, что экспери­ ментальную запись кривой х (/), полученную из наблюдения над одной

над одной-единственной системой, движение которой представляет

функция x{t) называется стационарной, если ее математическое ожидание постоянно, а корреляционная функция зависит только от одной переменной ■z = t l — ?2.

Такая стационарность называется стационарностью в широком смысле в отличие от стационарности в узком смысле, рассмотренной выше,-

Если случайная функция не удовлетворяет условию стационар­ ности, то она называется нестационарной случайной функцией.

Согласно этому определению в стационарности случайного про­ цесса можно убедиться следующим образом.

Предположим, что мы располагаем рядом осциллограмм случай­ ного процесса. Если найденные в результате обработки осцилло­ граммы плотности распределения вероятности ву, и т , оказываются одними и теми же для любого момента времени t и любого фикси­ рованного т, то процесс является стационарным, если же плотности распределения зависят от момента времени t, для которого они определяются, то процесс является нестационарным.

В заключение отметим еще одно важное свойство стационарных случайных процессов, также вытекающее из эргодической гипотезы.

Вообще говоря, при рассмотрении случайных процессов следует различать «средние значения по совокупности», т. е. средние значе­ ния, определенные на основании наблюдения над многими подобными

одной из этих систем для достаточно большого числа последующих моментов времени.

Однако для стационарных случайных процессов оба способа

СО

Из способа определения х ясно, что эта величина, вообще говоря, зависит от момента времени t, для которого оно определяется.

Среднее же по времени для интервала 2 Т

т

Если приходится иметь дело с двумя стационарными случайными функциями х (() и y{t), то, кроме их математических ожиданий гп0х, т0у и корреляционных функций Rx (т), Ry (т), обычно вводится в рассмотрение корреляционная функция связи или взаимная корре­ ляционная функция

со со

являются значения одной и той же или различных случайных функ­ ций в различные моменты времени. Заменяя в (3.15) интеграл знаком суммы и рассматривая интервал времени О, Т, можем записать:

N

Я ~ ^ д г ^ х 1Уь-

/=1

Легко видеть, что это выражение совпадает с точностью до по­ стоянного множителя с выражением (2.44) для коэффициента корре­

значение х {t -}- т) должно зависеть от значения х (t) в предшествую­ щий момент времени, так как можно считать, что значение д:(^4 _'с) имеет составляющую, зависящую как от начального значения х при t, так и от параметров системы.

Таким образом, если х мало по сравнению с постоянными вре­ мени системы, то Jc(^-j-T) мало отличается от x(t), взаимная связь

1.Корреляционная функция R (х) случайной функции с равным нул

среднему значению квадрата случайной функции и поэтому суще­ ственно положительно, т. е.

R(x) = x ( t - \ - x ) x (t) — x i t ) x (t — x) = R {— т).