Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 6617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

160

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

[ГЛ. IV

получим для М [#2.(т)] следующее выражение:

				г	г
	М [R* (т)] =	j	?	f	f	М [z (/,) z (/2)] dt, dt2=
			О о
				т т
	=	f	i	f	f	R A k - t , ) d t xdt2,
			о		6
где /?г (/2— /[) — корреляционная						функция процесса 2 (f)-
Полагая	t2— 7, = О и принимая						во внимание, что Rz (0 )— четная
функция от	0, получим:				т
					т
					(l		- l )	. / ? 2(0).rfO.	(4.25)
				о
Подставляя	(4.25) в (4.24),			получаем:
		г
	=2(0 = y / ( l								(4-26)
	о
Однако в	общем случае		использовать					формулу (4.26) не	представ

ляется возможным, так как для этого необходимо знать момент четвертого порядка случайного процесса x{t).

Рассмотрим два случая, когда удается применить выведенную

формулу.
П е р в ы й с л у ч а й .	Оценка ошибки в определении	начальной
ординаты корреляционной функции (- = 0).		накладывая
В этом случае можно	применить формулу (4.26), не	накладывая

дополнительных ограничений на распределение вероятностей слу

чайного процесса x(t).
Действительно,	когда т =	0, имеем:
	*(0 =		**(0.
и корреляционную	функцию	Rz {т) процесса			z (/) можно выразить
через корреляционную функцию R (т) случайного процесса x{t).
Легко показать, что если
	R (т) =	с ■е~аITI		• cos (Зт,	(4.27)
то
/?г (х) = еа • (1 -\-е-			+	е - а*\|т '	• cos2[3t).

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ

ФУНКЦИИ

161

Формула для оценки средиеквадратической ошибки в определении R ( т)

для

т =

0 будет иметь

вид

°8(0)==т / (

1 - т ) [ «

2( б ) - ^ 2(0 )]^ .

(4.28)

Используя (4.27)

и пренебрегая

членами

по формуле

(4.28)

находим:

—

-g

)

•

а'- +

ва )

Накладывая

на з2(0) условие

о2(0 )< 0 ,0 5

• R2(0)

учитывая,

что

R (0) =

с,

имеем

следующее

неравенство для

оценки

Т :

20 •

рз ~f —) •

(4.29)

Пусть,

например,

а =

0,2,

(3 =

у . Тогда 7’^,102 сек.

Перейдем

теперь к

рассмотрению второго случая.

В т о р о й

с л у ч а й .

Оценка

ошибки

в определении произвольной

ординаты корреляционной функции, когда распределение вероятно стей стационарной случайной функции выражается законом Гаусса.

Несмотря на это ограничение, второй случай имеет широкую область применения, так как во многих задачах распределение веро ятностей стационарных случайных функций близко к нормальному.

Для оценки о2(т) зададимся корреляционной функцией Д(т).

Предварительно			преобразуем выражение (4.26). Выразим Rz {0)				через
корреляционную			функцию процесса x(t) следующим образом1):
	Rz (Q) =			M \z (t)z(t - { - 6)1 =
где			=	R2(т) + R°- (6) +	R (6 + т) R (0 — х) — 2гп\		(4.30)
где				m = М \х (01-
				m = М \х (01-
Подставляя		(4.30) в (4.26), получим:
	т
32(T) =	cL у	(T _ 0 )[/? 2(O)-f-^(0 +				^ )/? (0 -t)]rf0 — 2от*.	(4.31)
	о
!) В la s s e l		Р., Erreur due а иле			dur£e	d’integration finle dans la	deter
mination des	functions			d’autocorreiation,	Annales des Telecommunications, V. 8,

№ 12, 1953; К у т и н	Б. Н„ О вычислении корреляционной функции стацио
нарного случайного	процесса	по экспериментальным данным, Автоматика
и телемеханика, т. XVI11, № 3,		1957.

11 Зак. 1083. В. В. Солодовников

162

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

ГЛ. IV

При помощи этой формулы можно, задаваясь корреляционной функцией на основе опыта статистической обработки аналогичных процессов и исходя из заданной среднеквадратической ошибки, вы брать значения величины Т. Пусть, например, корреляционная функ ция случайного гауссова процесса имеет вид

				R (т) =		се~а1х I cos (Зт.
Полагая т — 0 и пренебрегая						членами с		по формуле (4,31)			по
лучим:
°2 (О = 5т= {— -Ь			: р +
	+	Н	^	( 2 * +	т	+	я т р ) +	™ 2 <*' ( I	-		•'
Как легко видеть, с			увеличением т дисперсия стремится к значению
^j , •	“Ь	• а верхняя оценка для среднеквадратической ошибки
получается при т — 0 и в два					раза превышает это предельное значение.
Таким		образом,	для	уточнения			интервала	интегрирования		доста
точно	ограничиться		рассмотрением				только	первого	случая	и	оце

нить Т, исходя из среднеквадратической ошибки определения началь ной ординаты корреляционной функции.

Как было показано выше, в этом случае имеем следующую

оценочную формулу для Т:
Т	(4.29)
«* +	р )

Для удобства пользования формулой (4.29) параметр а, характери зующий быстроту затухания корреляционной функции, можно при ближенно связать с ттах и шн. Действительно, на основании опре

деления Tmaj!, данного выше, имеем: e-aTmas = 0,05 или

	л =	(4.32)
	max
Полагая	2я	(4.32) можно
Полагая	тП1ах = — (неравенство 4.21), соотношение	(4.32) можно
записать	“н
записать	в виде
	а = ^ ш 1= 0,477т„.	(4.33)

Параметр (3, характеризующий колебательные свойства корре ляционной функции, заключен в пределах

10ц Р ШВ'

Пусть, например, ш„ = 0,001 гц — 0,00628

тогда ттах =

2и

9]	МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ	КОРРЕЛЯЦИОННОЙ		ФУНКЦИИ	1 6 3
	На основании формулы (4.29)	Т >	2	0	у )..

Полагая (3 = 0, получаем следующую оценку для Т:

Т13 320 сек.

4)Выбор шага интегрирования Д.

На рис. 4.13 показаны «корреляционные» функции синусоиды

-- X	X ж	Ж	Л —»»
-- X	X ж	Ж	Q
--------------------		4
АА .	АА	. .	л=П-
АА .	АА	АА \|	A-i ^
			Рис. 4.13.
jc(^) = sinf, вычисленные при			различных Д. Как видно из рис. 4.13,

при вычислении корреляционной функции можно ограничиться шагом

Таким образом, исходя из частотных соображений, шаг интегри рования Д может быть определен следующим образом.

164	ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК		[ГЛ. IV
Задаемся верхней частотой спектра ш„.
Находим шаг по формуле
	Д =	20	(4.34)
	1<Ч
Шаг Д можно определить также непосредственно по записи слу
чайного	процесса.
При	этом, как уже отмечалось,	шаг выбирается таким образом,
чтобы функция мало изменялась на протяжении интервала Д.
5) Определение числа ординат R(~) на интервале			0 ^ т ^ т П)ах.
Пусть на интервале 0 т ^ т\|пах известны значения			R ( т), соот

ветствующие (2/i — 1) значениям независимого переменного т. Есте ственно поставить вопрос: с какой точностью по вычисленным 2п-\- 1

ординатам корреляционной функции можно определить

промежуточ

ные значения /?(т).

2/1 + 1

Составляя

систему

линейных

уравнений,

принципиально

можно

найти

2 //+ 1

коэффициент

разложения

R ( т) в ряд

Фурье и

приближенно

записать:

А'“ "

fi-k ——

Я СО—

(4.35)

ск -в

1,пах.

Если спектр корреляционной функции ограничен,

т.

е.

в ее со

ставе нет

частот

выше

2-л

шв =

(4.36)

;—

max

то

при

0 ^ т ^ т тах

приближенное

равенство

(4.35)

превращается

точное,

т.

е.

для

точного

представления

/?(т)

на

интервале

0 - ^ т - ^ т тах рядом Фурье, в случае ограниченного спектра достаточно знать

N _ ■Vmax	{		(4.37)
ординат. Расположение ординат при	этом	безразлично. С	увеличе
нием верхней предельной частоты спектра сов число ординат N растет
п становится равным бесконечности	для	неограниченного	спектра.

Так как реально можно вычислить лишь конечное число ординат,

возникают следующие	вопросы.
1. Каким N можно ограничиться на		интервале 0 + т ^ т шах?
2. Как надо расположить ординаты, чтобы по ним с			наперед
заданной точностью	аппроксимировать	/?(т) гармоническим	полино
мом на всем интервале 0 ^ т ^ т : тах?

Рассмотрим сначала первую задачу.

Сточки зрения гармонического приближения сформулируем ее сле

дующим образом.	разбит	на 2/г равных интервалов.
Промежуток 0 + т < + ,пах	разбит	на 2/г равных интервалов.
В точках деления известны	значения	корреляционной функции, по

91	МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ		165
которым	определен	2/t —(—1 коэффициент разложения R ( т)	в ряд
Фурье.	Требуется	определить, какую ошибку мы допускаем,	если

в случае бесконечного спектра корреляционной функции представ ляем /?(т) рядом Фурье, ограничиваясь 2 п - \- \ первыми членами разложения.

Для оценки ошибки рассмотрим корреляционную функцию

R (т) = е~а1Т1• cosfk.

Соответствующая		спектральная плотность
CU
S (и>) = 2 У	R (т) costu) d x = a -			[а1+ (* _ р), +	а2 + (1 +	р)2] •
О
По условию спектр R(x) ограничен частотой о)в, определяемой
соотношением	(4.36).		Этому ограниченному спектру соответствует:
		“ в
=	Т	f	[аЗ + (со — Р)2	в2 4 - (ш + Р)J	c o s тш du>•	( 4 .3 8 )
		о

Ошибку аппроксимации /?(т) конечным числом гармоник можно оце

нить	по формулам:
		абсолютная ошибка =	\| R (т) — /?*(т)\|,	(4.39)
	относительная ошибка		100% .	(4.40)
			Л(0)
На рис. 4.14 приведены R(x),			подсчитанные по формуле (4.38)
для	различных	шв.
Сплошная		линия соответствует	точному значению R(x).	Легко

видеть, что с увеличением шв точность гармонической аппроксимации повышается. Каждой паре шв и тшах на основании соотношения (4.37) соответствует определенное N.

Как и следовало ожидать (рис. 4.14), при наличии у Rx (-) острого центрального пика ограничение верхней частоты спектра сказывается главным образом на точности вычисления R (т) в окре стности т = 0.

Это непосредственно следует из свойства преобразования Фурье. Действительно, если R ( т) имеет спектр 5 (ш), то R(ax) имеет

спектр

■t СО

S a = a - J R ( a t ) e - ia->dx = s ( ? p j ,

т. е. ширина спектра возрастает во столько раз, во сколько су жается функция.

Рассмотрим теперь вторую задачу.

166

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

[ГЛ. IV

Оценим, какой частотой спектра и, следовательно, каким числом ординат можно ограничиться в окрестности т — 0, чтобы ошибка определения R (т) в окрестности центрального пика не превышала

заданного значения, Аппроксимируем R (т) в окрестности т = О экспонентой

Я(т) = е—1Ч

Для t =	0 по формуле (4.38) получаем:
	ш
	В	dm
	«•(0) =	dm	■arctg	(4.41)
	«•(0) =	0)2 -р д2	■arctg	(4.41)
Точное	значение /?* (0 )= 1	получается при шв — оо.		С умень-
шением шв точность определения /?(0) понижается.
Обозначая		-2 a rc tg - .
	_у =	-2 a rc tg - .		(4.42)
	X	(В		(4.43)
	X			(4.43)

91	МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ	КОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ	1 6 7
можно	построить график (рис.	4.15) для определения	частоты шв

по допустимой величине ошибки и значению а. Способ пользования графиком следующий. Задаемся у и ши. По у из выражения (4.42)

находим х. Подставляя ш„ в формулу (4.33), получаем а и, наконец, по х и а из формулы (4.43) находим шв.

Пусть например, величина ошибки 5%. Тогда _у = 0,95, а соот ветствующее х = 12,35.

Полагая со,, = - g - ,получаем о.= 1 и ш „ = 12,35 — . Учитывая

формулу (4.43) и задаваясь допустимой ошибкой 5%, имеем следую

щую зависимость:			Шв= 12,35а.			(4.44)
По	формулам	(4.44),	(4.37) можно		оценить	число ординат /?(т)
вблизи	т==0.
Предположим		теперь,	что	0 < х < 1	сек.
Пусть а = 1		и допустимая		ошибка	— 5°/0.
На	основании формул (4.37), (4.44)				имеем:
		шв=	12,35 — ;		Л /^ 5 .
				CVК’

168

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

[ГЛ. IV

Из изложенного выше следует, что для повышения точности гармо нической аппроксимации функции с острым центральным пиком число ординат, вычисляемых в окрестности т = 0, необходимо увеличить.

Таким образом, можно рекомендовать следующий приближенный метод оценки числа ординат:

1.Задаемся диапазоном частот спектра случайного процесса.

2.Число вычисляемых ординат оцениваем по формуле

	N =	71	+	1-	(4.37)
		71
3.	По низшей частоте	спектра		находим а и затем	по форм

лам (4.44), (4.37) оцениваем число ординат в окрестности т = 0.

В случае корреляционной функции с пологим максимумом можно ограничиться первыми двумя пунктами.

Итак, на основании вышеизложенного методика определения /?(т)

на коррелографе заключается в следующем:
1.	Записываются на пленку процессы иа входе и выходе объекта.
2.	Задаются диапазоном частот, на котором работает система
(или	который желают учесть). Это всегда может быть сделано, по

скольку заранее всегда известны некоторые сведения о работе объ екта, с которого снимаются динамические характеристики.

3. По формуле (4.21) по низшей частоте спектра выбирается максимальное т. Окончательно ттах уточняем в процессе вычисления корреляционной функции.

4.По формуле (4.22) или (4.23) оценивается Т.

5.Исходя из критерия среднеквадратической ошибки, используя

выражения (4.29), (4,33) уточняется Т, соответствующее выбран ному ттах.

6.По формуле (4.34) или непосредственно по записи случайного процесса выбирается шаг интегрирования Д.

7.Пользуясь формулой (4.37), по верхней частоте спектра оцени


вается число			ординат,			вычисляемых на интервале 0 ^ т ^ т П1ах.
8.	По формулам					(4.7), (4.8) вычисляются на коррелографе	зна
чения корреляционной и взаимно корреляционной функций.
В качестве примера применим изложенную методику к определе
нию	корреляционной					функции кривой изменения температуры	сере
дины	реактора			в процессе каталитического крекинга с пылевидным
катализатором (рис. 4.16).
ттах, Т,			Д	и	число ординат на интервале 0 < т ^ т тах опреде
ляются		следующим			образом:
а)		на основе предварительных сведений о работе объекта задает
рабочий		диапазон			частот; пусть

9]			МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИОННОЙ			ФУНКЦИИ	169
	б)	по	формуле	(4.21) по низшей частоте спектра выбирается -тах,
				Ттах = — = 1.75	часа;
	в)	по	формуле	(4.22) определяется Т,	Т	13,9	часа;
Гс

г) найденное Т уточняется на основе критерия среднеквадратиче

ской	ошибки а — —-—				0,000477 — ; Т ^	2 • 20 • — «	24	часа.
				W	сек
д) по формуле (4.37)					число ординат, вычисляемых на интер
вале	0 <	т < т тах,			i/Pfr/
N =	-МвXniax_ ! _ 21.				80 \
N =	-МвXniax_ ! _ 21.
		71
Вычисленная по фор
муле (4.7)			корреляцион
ная	функция показана на
рис.	4.17.			метод
Изложенный				метод	~20
определения R ( - ) на кор-
релографе			позволяет из
бежать громоздких вычи
слений		корреляционных			Рис. 4.17.
функций.
Некоторым недостатком метода является то, что для							его	приме
нения необходимо				заранее располагать		некоторыми	сведениями

оработе исследуемого или аналогичных объектов.

Всилу того, что точными сведениями мы обычно не распола гаем, интервал интегрирования приходится брать завышенным. Это

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 6617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ