Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.10.2023

Размер:

19.04 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 6624 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

230 ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА ЧЕРЕЗ ДИНАМИЧ. СИСТЕМУ [ГЛ. V

Найдем решение системы (5.113) в частотной области. Для этого,

проделывая	выкладки, аналогичные				выкладкам			§ 7,	представим сис
тему (5.113) в частотной области следующим образом:
Sxm{ (ш) —		5 Ш] (ш) Ф, (у'ш)		. . .		+	5т„Ш \|	(ш) ф„ (У10).
									(5.117)
Sxmn (	ш ) =	S/n^n,, ( ш ) (1 \	( У 'ш ) 4		"	•	• • S m+ n ( ш )		( У ш )>
где ФДуш),	. . . ,	Фл (у'ш) — передаточные					функции,		соответствующие
импульсным	переходным функциям				/еД/), . . . .			£„(/)
	Ф Д М = Ф, (уш) е - /а‘*					( 1 = 1 ,		2.......... п)
Ф,(уш) — передаточная функция				соответствующего					идеального звена
без запаздывания.			+ оо
			+ оо
		(<*>) =	f	e ~ ^ R xmi(x). dx,					(5.118)
		— СО
			+ oo
		s mimk (ш) =	f				(x) • dx,		(5.1 19)
		— CO
			4 CO
		Sm<(m )=	f	e~J^Rm.(x)dx.					(5.120)
Решая систему (5.117) относительно Ф^У'ш).........								Фп(у'ш), находим
передаточные функции объекта
		2	( - l ) * +y-S™* («)Д*,
		Ф , 0 ) = —	------------			з----------------		•	(5-121)
где
		5 т , ( ® )			. . . 5 т л т , ( ш )
		Д =							(5.122)

Sm,mn (<■>) . . . Smn (&>)

— определитель системы (5.117); Д#/— минор определителя, полу чающийся из него вычеркиванием &-й строки и у'-го столбца.

Применяя затем преобразование Фурье, получим решение и во временной области:

+ С О
Ay ( Q = i J Ф; (уш) е1ш1 dm	(у = 1 . 2 ..........	п). (5.123)

— СО

8] ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЪЕКТОВ С НЕСКОЛЬКИМИ ВХОДАМИ И ВЫХОДАМИ 231

Повторяя	рассуждения,	приведенные в § 7, легко показать, что
найденное решение удовлетворяет физическим условиям (5.116).
Перейдем	теперь к рассмотрению		еще одного	способа получения
динамических	характеристик	объекта	с п входами и одним выходом.
Б. О п р е д е л е н и е		д и н а м и ч е с к и х		х а р а к т е р и с т и к

о б ъ е к т а со м н о г и м и в х о д а м и м е т о д о м п о д б о р а не


к о р р е л и р о в а н н ы х			в о з д е й с т в и й . Как				было показано,		при
некоррелированных		воздействиях			. . . ,	mn (t) динамические			ха
рактеристики объекта определяются из уравнений (5.115).
Это значительно		сокращает			объем вычислений, так			как характе
ристики по отношению к каждому отдельному							входу	определяются
независимо	от остальных		п — 1		входов.
Однако	можно	показать,		что и в общем		случае,		когда воздей
ствия m x(f)......... /?/.„(/) взаимно				коррелироваиы,			задачу	определения

динамических характеристик можно свести к решению уравнений,

аналогичных уравнению (5.76).
Действительно,	пусть	задалось подобрать		воздействие е,-,				корре
лированное с г-м входом		и не	коррелированное		с	остальными		п — 1
входами. Тогда, умножая		уравнение (5.112)		на	et (t — т)		и интегри
руя по t, получим:
СО
R „ { СО = /	Rm, et (* -		&) k, (&) a	(i =		1......... я). (5.124)
6
Эти уравнения отличаются		от	уравнения (5.76)		только тем, что под
интеграл входит взаимная		корреляционная функция					(т).
Поэтому решение этого уравнения в частотной					области может быть

получено аналогично уравнению (5.76) простым делением спектраль ных плотностей. Однако следует заметить, что, несмотря на эту простоту, изложенный метод, по сравнению с предыдущим, обладает


существенными				недостатками. К таким недостаткам относятся труд
ности		подбора		воздействий ег(/),					не коррелированных с		(i Ф j),
и отсутствие уверенности в их некоррелированности.
	Поэтому описанный способ целесообразно применять лишь в тех
случаях,			когда	из физических условий задачи можно сравнительно
просто		подобрать			некоррелированные воздействия et {t).
	Остановимся			теперь		на методе			определения динамических харак
теристик			во временной			области,			основанном на выделении из вход
ных воздействий некоррелированных компонент.
	Определение динамических характеристик объектов со мно
гими		входами		во временной				области.		Как было отмечено выше,
при	определении				характеристик			объектов		со многими входами инте
рес	представляет				только		случай		взаимно	коррелированных	входных
воздействий. В				частном		случае, когда воздействия статистически неза
висимы,			задача	решается			как для		объекта	с одним входом.

232 ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА ЧЕРЕЗ ДИНАМИЧ. СИСТЕМУ [ГЛ. V

Рассмотрим поэтому только случай взаимно коррелированных входных воздействий.

При определении временных характеристик — импульсных пере ходных функций используем метод выделения некоррелированных компонент.

Для лучшего уяснения сущности этого метода решим задачу

сначала

для

объекта с

двумя входами,

затем

дадим

обобщение

метода

на случай объекта с п входами.

А.

О б ъ е к т

с д в у м я в х о д а ми .

Для

определения

динами

ческих

характеристик объекта с двумя входами

и одним выходом

необходимо найти

две

импульсные

переходные

функции.

m(t)

На

рис.

5.26

они

обозна

x(t) ^

чены через

k (t)

и / (t).

Если

т (/) и г (t) — возму

r(t)

з - - —"■fti f

щения

на входе,

то

выходной

сигнал х (t) можно представить

mft)

виде:

x(t) ч

rlt1

x ( t ) =

m(t — Д) /е (O)rfO -f-

w;t)

- - " " l i t ) '

_|_ f r ( t

— f»)Z(f))db.

(5.125)

Рис. 5.26.

Для

общего

случая

коррелированных т и г

аналогично

(5.113)

получим:

*ri»C0 = /

flm(T-H)£(&)rfO+J /?гт( .- 0 ) /(»)<*».

(5.126'

Лт<.( т - 0 ) й ( П ) </!) +

]■ flr (T -l))/(!))rf& .

Таким образом, в случае коррелированных т и г для определе ния импульсных переходных функций необходимо решить систему (5.126). В линейной постановке эта задача решается следующим образом х).

Одно из воздействий, например г выражаем линейно через дру гое т и какую-то, пока неопределенную функцию vo(t), не корре лированную с m(t) (рис. 5.26),

		4- СО
	г (t) = w (/) -j- J m(t — 9)/(9)d9,		(5.127)
9	G o o d m a n	T. P., Determination of the Characteristics of	Multi — In
put and Nonlinear		Systems from normal operating Records, Transactions ASME,
v. 79,	№ 3, 1957, pp. 567—575.

8] ХАРАКТЕРИСТИКИ ОБЪЕКТОВ С НЕСКОЛЬКИМИ ВХОДАМИ И ВЫХОДАМИ

2 3 3

Бде

/(9 ) — линейная

весовая

функция,

выражающая связь

и г.

В правой части уравнения (5.127) интеграл берется от

— со до -f-oo,

чтобы

учесть

влияние

т (t — 0)

на

г(/)

при В >

а также

воздей

ствие

г (t)

на

m{t — Я) при

& < 0.

Учитывая

выражение

(5.127),

а также

некоррелированность т (t)

w(i),

имеем:

+ СО

Rrm W =

Rm( * - b ) f ( b ) d b

(5.128)

—оо

4 ОО

Rr„ ( ? ) =

« m(x +

0)/(n)d& .

(5.129)

— СО

Одно из этих уравнений может служить для определения f(t).

Из

уравнения

(5.127),

используя

уравнение

(5.128),

получаем:

4 СО

Д,С0

/?в ( т ) +

£ rm(T +

n)/(&)d&,

(5.130)

— со

+СО

(x+f>)/(fl)d& .

(5.131)

— СО

Уравнения

(5.130),

(5.131)

могут служить

для

определения

R w{\)

Rxw{i). Из

выражений (5.129), (5.130)

и из

второго уравнения

системы

(5.126) находим:

оо-fСО

Rxr (т) = / / Rm(х + &- X)/ (&) k 00 dft dv. -(-

О — со

	CO		+ CO + 0 0
- Ь	/		+ /	/	Rrm( X		+ - & - * ) / ( & ) l{y)dbdx.
0			0	— со				(5.132)
								(5.132)
Из	первого уравнения		системы		(5.126)		и выражения (5.131) по
лучаем:
	СО	+ С О
Rxr (х) = Rxw (X) + J		f	Rm(x +		&-	x)/ (&) k ( X ) db dx +
	0	— oo
		(JO	+ C O
	+	/	/	ЛгтСх +		в — x)/(ft)/Wd&rfx.		(5.133)
		0 — со
Из сравнения формул		(5.132)		и (5.133) имеем:
			СО
	R „ (х) =		/	(х -		9) I (&) db.		(5.134)
			0

234 ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА ЧЕРЕЗ ДИНАМИЧ. СИСТЕМУ [ГЛ. V

Таким образом, /(&) оказалась изолированной от /е(Э) и опре деление ее свелось к решению ранее изученного уравнения. Эта «изоляция» 1ф) получена выделением из r{t) части w(t), не кор релированной с т (t). Меняя местами т п г н выделяя из т (t) ком поненту v(i'), не коррелированную с /•(/), можно также изолиро вать ft (t) и получить для его определения уравнение, аналогичное уравнению (5.134):

				СО
	я ,, СО =		/	Я„ (X - ft) ft (O')db.			(5.135)
			о
Однако получение k(t) упрощается, если использовать 1(() и одно
из уравнений системы (5.126).
Другое уравнение тогда может служить для проверки							правиль
ности найденных импульсных переходных функций.
Обобщим теперь		изложенный			метод на	объекты с п	входами.
Б.	О п р е д е л е н и е		д и н а м и ч е с к и х			х а р а к т е р и с т и к
о б ъ е к т о в с н е с к о л ь к и м и					в з а и м н о к о р р е л и р о в а н
н ыми	в х о д а м и и	од н им		в ы х о д о м. Вышеизложенный метод

выделения некоррелированных компонент легко обобщается на объекты с п взаимно коррелированными входами и одним выходом.

Пусть	fflj, т2,	— взаимно коррелированные входы, a ft, (/),
ft2(/), . . . .	k n (t) — импульсные переходные		функции, характеризую
щие динамические свойства объекта (рис. 5.25).
Заменяя в уравнениях		(5.113) нижний	предел нулем, перепишем
систему
	СО	СО

Rxm>СО =	/	Я», (X -		0) fti (&) db + f		Rmjmi (X -				0) ft2 (&) db + ...
	0				0
								CO
					...	+		/	Kmj,mi(x — 0)ft„ (»)<*&.
								0
		CO				0 0
RxmnCO =	/	ЯЯ1Я1д(х-8)Л,(&)<Ю-+- f					ЯтаЯ1л(х — ft) ft2 (&)d& +
	0					0
									CO
							+	f	Rma (? — b ) k a (b)db.
								°		(5.136)
Для определения ft, (t),					. . . . ft,, (t)		необходимо решить систему
(5.136).			несколько		упрощается,			если		применить описанную
Это решение			несколько		упрощается,			если		применить описанную
выше процедуру			изоляции.		задача	решается				следующим образом.
В линейной			постановке		задача	решается				следующим образом.
У каждого	из п — 1			фиксированных		входов			выделяем компоненту^,

9]	НАЛИЧИЕ В СИСТЕМЕ			ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ И	ВНУТРЕННИХ ПОМЕХ	235
не коррелированную			с	остальными п — 1	входными воздействиями.
Не нарушая		общности,		будем считать фиксированные выходы пер
выми	п — 1	входами	объекта. Индекс i тогда будет пробегать			зна
чения	от 1 до п — 1.

Решая после			изоляции	п — 1 интегральных уравнений				вида
				— ОО
			RxHСО = / RH (х -			А) К (»)	■	(5-137)
				о
найдем	п — 1	импульсную		переходную		функцию	объекта.
Подставляя		найденные		&Д9) ( / = 1 ,		. . . . п — 1) в одно из урав
нений системы (5.136) и разрешая					его,	определим &л (9).		Остальные
п — 1	уравнений		системы	могут	быть	использованы для		проверки

правильности найденных импульсных переходных функций. Перейдем теперь к определению динамических характеристик объектов, замк нутых обратных связью.

9. Определение динамических характеристик объекта при наличии в системе обратных связей и внутренних помех

Методы статистического анализа объектов регулирования, рас смотренные в предыдущих параграфах, справедливы для следующих двух случаев:

1) объект изолирован, т. е. не замкнут обратной связью. Внут ренние помехи присутствуют или отсутствуют;

2) объект замкнут обратной связью. Внутренние помехи отсут ствуют.

Как показано в § 6, для первого случая изложенные методы, справедливы в силу принятой гипотезы о независимости внутренних шумов от внешних воздействий.

		Рис. 5.27.
Перейдем	теперь к рассмотрению		общего случая:		объект,	замк
нутый обратной связью,		работает в	условиях	внутренних		помех
(рис. 5.27).
Уравнения	этой системы (рис. 5.27) могут			быть	представлены
в следующем	виде:
	х (() =	ФЛФВ е (0 -4~®в/(^).			'(5-138)

е(^)=ср(7) — Ф с х ( ( ) ,

(5.139)

236	ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО			СИГНАЛА		ЧЕРЕЗ ДИНАМИЧ. СИСТЕМУ [ГЛ. V
где	Ф = ФЛФВ, k(t) — соответственно					передаточная	и импульсная
переходная функции объекта; Фв ,					h{t) — передаточная		и импульсная
переходная функции		объекта		по	отношению к внутреннему			шуму;
Фс ,	/(/) — передаточная		и импульсная			переходная функции		обрат
ной	связи.
	Из уравнения (5.138)		получаем:
	о о					с о
	Rx, (т) = / * . ( , - » ) *			(&)	+	f Rft ( Т — &) h (&)		(5.140)
	о					о
где	£ (7) — воздействие	на	входе объекта.
	Как видно из уравнений (5.138), (5.139), введение обратной связи
приводит к тому, что		возмущение			на	входе коррелироваио		с внут
ренними помехами

Я/.Ю * 0

исоотношение (5.76) не выполняется.

Этот случай как раз и рассматривается в настоящем параграфе. Целью параграфа является изложение возможных методов определе ния динамических характеристик линейных объектов при наличии обратных связей и внутренних помех. В следующих разделах вна чале рассматривается одноконтурная система регулирования.

Косвенный метод определения динамических характеристик объекта, замкнутого обратной связью. Рассмотрим следующий метод определения характеристик объекта, замкнутого обратной связью (см. рис. 5.27). Найдем сначала импульсные переходные функ ции всей замкнутой системы, а затем по ним получим динамические

характеристики			самого объекта.
	Учитывая	выражения		(5.138). (5.139),	имеем:
			x{t) = \ V 4 ( t ) + W f f{t),				(5.141)
где	W :		, k(t) — соответственно		передаточная и		импульс-
	1 +	ФФС			Фв__
ная	переходная		функции	системы;		<7(0-	соответ-
					у - j- ФФ,

ственно передаточная и импульсная переходная функции системы по

отношению к шуму;	Ф = ФЛФВ — передаточная функция	объекта.
Через импульсные переходные функции, соотношение (5.141) запи
шется в виде:
x(t) = fо о Сf>(f — й)Л(&)<*П+ fс о f { t — b)q(b)db.		(5.142)
о	6
Используя выражение (5.142) и физическое условие
	Я/*С0 = 0.	(5.143)

9 ] НАЛИЧИЕ В СИСТЕМЕ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ И ВНУТРЕННИХ ПОМЕХ 2 3 7

получим:

со

,(* ) =	/	R4(x — b)k(b )d b .		(5.144)
Аналогичное соотношение	о
Аналогичное соотношение
		со
Я „(т) =	f	R x(* —		(5.145)
	о
можно записать для обратной связи.
Из уравнений (5.144),	(5.145)		находим k{t)	и l{i) и затем по
ним получаем W и Фс . Передаточная функция объекта определяется
по формуле			W
Ф =			W	(5.146)
Ф =		1-	Ш'ФС	(5.146)

Остановимся теперь на приближенном способе..

Приближенный способ получения импульсных переходных функций объекта. В настоящем разделе рассматривается прибли женный способ получения импульсной переходной функции объекта, замкнутого обратной связью при наличии внутренних помех1).

Рис. 5.28.

Не нарушая общности, отнесем помехи, возникающие внутри объекта (рис. 5.27), к его выходу, заменив /(() на

				^ ( 0	=	Фа /(0 .					(5.147)
как показано на рис. 5.28.
Тогда
	е(0 =			1						ф F (О	(5.148)
	е(0 =		1 _!_ ф ф ф		■т	( О - 1	т	I ф	ф	ф F (О	(5.148)
ИЛИ			‘	А В С			т	А	В	С
ИЛИ
		со				со
	е (0 =	/	<р(/ — &)Х (»)</& — f					F (t — ft) [i. (D) db,			.(5-149)
		о				о
*)	Q o o d g i a n	T. P. and		R e s w i c k J. B., Determination of system							charac
teristics from normal operating records,						Transactions			of	the ASME, v. 78, № 2,
1956,	стр. 259—271.

238 ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА ЧЕРЕЗ ДИНАМИЧ. СИСТЕМУ [ГЛ. V

где Х(/), \|i(/) — импульсные переходные					функции,	соответствующие
передаточным	,	f	1	■ ,	фс
	функциям		, -ф-ф		, ф ф j ~ •
Используя	уравнение	‘ т ^ 1а ‘с			^ л в с	0, имеем:
		(5.149)		и условие R fF(т) =
			СО
	R Ft(x) =		— f RF{x-\-b)\>.(b)db.			(5.150)
			о

Если помеха F (t) является «белым шумом», то RF(x) = о(т), где о (-) — дельта-функция.

В этом случае

СО
я л (х) = — f р. (в) S (х Н- ft) rf» = — (JL(— -с).	(5.151)
О

т. е. RFe(x) является «перевернутой» импульсной переходной функ

цией	замкнутой	цепи, как показано на рис.		5.29.		«белым шу
В большинстве случаев, когда			помеха	не	является
мом»,	RF(x), полученная из случайных данных,				имеет большой		цент
ральный пик и стремится к нулю по обе стороны от						т = 0.	Для
этого	случая	уравнение (5.150)	интерпретировано на			рис.	5.29.

♦

			Рис. 5.29.
Вследствие некоторой протяженности RF(т) взаимно							корреляцион
ная	функция	R Fs (т) начинается		на	расстоянии	а справа от т = 0.
Чем	более острый пик		имеет R b (x),		тем ближе	RFe(~)	приближается
к — [х(— т).
Учитывая		уравнение	(5.147),	имеем:
			00

x(t) = f B ( t - % )k ( b )d b - \ - F ( t) .	(5.152)
О

9]	НАЛИЧИЕ В СИСТЕМЕ ОБРАТНЫХ СВЯЗЕЙ И ВНУТРЕННИХ	ПОМЕХ	239
Используя уравнение (5.152), получаем:
	СО
	RXI (т) = J Я .(т — &) ft (&)</» + Я л СО-		(5.153)

Как следует из рис. 5.29, значениями (т) при т > а можно пренебречь и свести задачу определения k(t) к решению уравнения

	СО
Яд-г (т) =	/ я 6(т — Ъ)к(Ъ)с1Ъ	(5.76)
при	о
при	(рис. 5.30).	(5.154)
т > я	(рис. 5.30).	(5.154)

Решение уравнения (5.76) дано в § 7. Однако в силу дополни тельного условия (5.154) описанный метод в данном случае непри меним. Решение уравнения (5.76) при условии уравнения(5.154) мо жет быть получено подбором, методом Гаусса или одним из итера ционных способов. Как легко видеть, чем острее пик у Яр-(т), тем ближе она приближается к дельта-функции и тем меньше а.

Величину а интуитивно можно выбрать достаточно точно. Для проверки уравнение (5.76) можно решать несколько раз, увеличивая

каждый раз а. Решение прекращается,			как только k (t) начнут совпадать.
Метод	подбора	воздействий, не коррелированных с помехами.
Методы,	изложенные в предыдущем		разделе,	могут	быть обобщены
на миогоконтурные		системы.
Однако в этом		случае приходится иметь		дело	с громоздкими

вычислениями. Положение значительно упрощается, если применить метод воздействий, не коррелированных с внутренними помехами !).

Рассмотрим систему, показанную на рис. 5.27. Имеются реали зации процессов &(t) и x{t) на входе и выходе объекта. Пусть,)*

*) W o o d m a n	R.	A.,	Closed-loop	dynamics	from normal	operation
records, Transactions	of	the	Society of	Instrument	Technology,	Sept. 1958,
pp. 101—105.

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 6624 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ