книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

г

lim

f т (t -f- т — т)) т (t — X) d£ =

Т + 00 1 1

Т

= lim J=r

f

m (t-\-T -it- \ — Tl) m ( t) d t = Rm( x ^ - \ — yi).

T +oo

y T

Поэтому

вместо (5.7)

можно написать:

СО

с о

Я , С 0 =

/

d\ f k (7|) k (X) (т + X- 7J) rfTj.

(5.8)

— CO

— CO

входного

и выходного

сигналов.

Имеем:

СО

Sx (ш )=

f

Rx (T.)e-i™dx.

(5.9)

Подставляя (5.8) в (5.9),

найдем:

с о

СО

о о

Sx iш ) =

f dr J dX J e - ^ f t ( 7 | ) * ( X ) / ? w ( x 4 - X - 7 ]) d 7 , =

— CO

—со

— с о

о о

с о

CO

=

J" dt

J

dX

J

e~Jm(T+^—1л) g/ш). g-/u)T| X

— CO

— CO

— ГХ1

X Rm(* +

X— 7)) ft (X) ft (7)) dT) =

C O

C O

— J k (у) е~/шг>d7)

J

k (X) e^u)) dX X

— CO

— 0 0

CO

3]

ОБЩЕЕ

БЫРАЖЕНИЕ

ДЛЯ

СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ОШИБКИ

191

3.

Общее

выражение

для

спектральной плотности ошибки })

Рассмотрим теперь

более

общий случай, когда линейная

дина"

мическая

система

находится

под

влиянием двух стационарных слу­

чайных воздействий: управляющего

т (() (полезный сигнал) и возму­

щающего

п (t) (помеха),

приложенных к

различным ее точкам.

Согласно

(1.93)

имеем:

СО

00

X (/) =

J* т (f — X) ft (X) d\ 4 -

[ ft (t — X) l (X) rfX.

(5.11)

о

()

Подставляя (5.11) в выражение

(3.12) для корреляционной функ­

ции

Rx (i) переменной х (t), получим:

j"

Т

со

со

Rx {x) =

lim

f dt

f

т — ti) k (tj) dr\ f m (t— X)6(X)dX4~

T

i

о

со

со

- T O

0

T

со

oo

4*

f d

t f

m{t+

i — 7|) k (-ф dfj j n (t — X) l (X) dX -|-

- r

о

о

T

со

oo

1

4 -

f

dt f

m (t — X) к (X) d\ j n (t + 1 — ц) l (д) d-ц 1

и,

следовательно,

-

Г О

0

J

Rx (t) =

CO

CO

=

/ л

/{л(Х)/гт (т+ х-71)Л(11) + /(Х)/гя(х + х - 1,)/(1о+

--С О

— с о

+ LO') Rmn(-C

X— T|) k (7]) -f - k (X) Rnm(t + X - 1]) / (I))} rfT).

(5.12)

Перейдем к определению спектральной плотности Sx (со).

Умножая обе

части

(5.12) на

e~iwc и интегрируя по т от — оо

до + со, при помощи выкладок,

аналогичных тем, которые были

применены при выводе формулы (5.10) в конце предыдущего

пара­

графа, получим:

(®) =

I Ф О )

I2

(Ш) ■+ I V (Jio) Р S„ (со)

+

ф * ( М Srnn(со) Y ( » 4 - Ф (/ш) S am(cu) Y* С/т).

(5.13)

где

Y (/’со) — передаточная функция

сигнала помехи.

4 См. цитированную книгу X. Джеймса и др.

3]

ОБЩЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ОШИБКИ

193

ось рефлектора,

причем

антенна вновь

направляется на

цель так,

чтобы последняя

попала

в ось конуса.

Ошибка слежения

за целью

как по углу места, так

и по азимуту не превышает в обычных ус­

ловиях 4 угловых минут.

Огибающая отраженных импульсов

выделяется

в приемнике при

помощи детектора и соответствующего фильтра.

Эта огибающая

может быть представлена в виде

Т I1 +e(O sin(u)/-f-tp)],

(5.19)

1 9 4

ПРОХОЖДЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО СИГНАЛА ЧЕРЕЗ ДИНАМИЧ. СИСТЕМУ [ГЛ. V

положение цели относительно оси рефлектора

(случай, когда ср — О,

соответствует

наличию только азимутальной ошибки).

Для упрощения рассуждений предположим, что цель движется

по

прямой,

проходящей непосредственно

над радиолокатором.

исходит лишь в зависимости от

расположения цели относительно

оси конуса, описываемого лучом,

т. е. что коэффициент отражения

функцию

времени.

Можно написать:

T = To +

Ti(0 =

T o[l-|-«(01 .

(5-20)

где 7о =

const

и

п (() =

1о

_

ю

Типичный

вид

функции

n(f),

полученный при помощи

экспери­

Учитывая

(5.20),

огибающая

(5.19) может быть представлена

с точностью до постоянной 7„ в следующем виде:

[1+ п (0][1+ е(081 п (а)^Н -« р )] =

=

1 +

» (0 ■+■ е (0 sin К * +

<Р) 4 - и (0 е (0 sin (ш/ +

ср). (5.21)

Так

как

согласно

эксперименту | е ( 0 1

0,05 J) и

стандартное

значение

величины n(t) (предполагаемой

стационарной

случайной

1 9 6

ПРОХОЖДЕНИЕ

СЛУЧАЙНОГО

СИГНАЛА ЧЕРЕЗ ДИНАМИЧ. СИСТЕМУ [ГЛ. V

e(t)cos2ust

через

фильтр не

проходит и может не приниматься

во

внимание.

Найдем корреляционную функцию /?п(-с) и спектральную плот­

ность

S n (x)

флуктуаций n(t).

Корреляционная функция Rn (х) может быть найдена из экспери­

ментальной

кривой на рис.

5.3, как это изложено в § 12 гл.

III.

В

результате

обработки

мы получим кривую, показанную

на

изложенным в § 12 гл. I,

или

аналитически,

если

известен вид

функции р„(т).

Кривая р„ (т) на рис. 5.6

приближенно может быть

представлена

в виде

рп (х) яь е-0,831

[cos 2х —(—0,106sin2|x|],

(5.25)

График функции (5.25) изображен

на рис. 5.6

пунктиром. Под­

ставив (5.25) в выражение для ап (со),

получим:

(ш)

1,44

—[—11,11

(5.26)

о)4 — 6,27 о)2-|-23,64

3]

ОБЩЕЕ

ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ОШИБКИ

197

По

определению

Rni (т) =

4п (t) n{t-\-z ) sin w j sin cos (t + x).

(5-27)

Так

как

n(t)

не

зависит от положения

луча при

развертке,

то сиг­

налы

2«(£)sinco^,

отличающиеся

лишь

фазой, одинаково вероятны.

Поэтому

запишем (5.27) в виде

Rn, СО =

4п (t)n(t-\- х) sin (со^ -|-ср) sin [со4

—)—х) —)—ср].

(5.28)

Усредняя в (5.28) по всем возможным значениям фазы ср, получим:

2тс

^ f

sin (wsf +

ср) sin [cos (t -(- x) -f- cp] dcp =

j cos coyt

0

и, следовательно,

Rn, (0 = 2 cos wsxRn (x).

(5.29)

Спектральная плотность S„, (со):

Sn, (u>) =

2 J

R„t (x) cos cox dx = 4 J Rn (x) cos co^x cos cox di =

о

о

с о

o o

=

2 J

Rn (x) cos (со — coj x dx -f- 2J

Rn (x) cos (co -(- “ 0 x dx =

О

0

— S a (to — “ s) Ч -5 Я(со -f- ®s).

(5.30)

Нормированная

спектральная

плотность

коммутированного

сигнала,

вычисленная

по

формуле (5.30),

изображена

на

рис.

5.8.

к

вычисле­

Перейдем

нию спектральной плотности

ошибки е (/).

Ввиду

отсутствия

кор­

реляции

между траекторией

движения цели и флуктуа­

циями ti(t) взаимные корре­

ляционные функции в (5.17)

равны

нулю,

и

выражение

jfo

для

спектральной плотности

51(ш) = |ФС/«о) |25„, (ш),

(5.31)

ошибки 5 е(ш) нам осталось найти передаточную функцию

Ф (ус)

К Щ М

(5.32)

1 + KW

(у'ш)

[см. формулу (1.174)1.

функцию следящей

системы

Для того чтобы найти передаточную

в разомкнутом состоянии KW (у'ш), входящую в (5.32), рассмотрим

упрощенную структурную схему, изображенную на рис. 5.9.

Как мы видим, она состоит из блока

1, служащего для

выделе­

3]

ОБЩЕЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ ОШИБКИ

199

М«а(01

kd

(5.33)

L[eAt)}

~

(7> + l)(7Vs + l)a’

где е ,(0 — напряжение на

входе фильтра, пропорциональное ошибке;

L[lc (t)\ = 1 ^ ^ L \ e 2 { t ) \ - T ^ L { e J(t)\,

(5.34) •

L[* (01

N

Гб.35)

£ ['е(0]“

« ( ^ s + lH ^ s +

l) *