книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления
.pdf40 |
НЕКОТОРЫЕ |
ВОПРОСЫ АНАЛИЗА |
|
|
|
|
|
[ГЛ. I |
||||
Так как дельта-функция 8 (t) |
рассматривается как предел Пт |
8(£, |
а), |
|||||||||
то естественно приписать ей это же свойство. |
|
|
|
а->-0 |
|
|
||||||
Выше мы имели дело с дельта-фуикцией обращающейся |
в нуль |
|||||||||||
при всех |
t, за исключением |
t |
0. Дельта-функцию, |
обращаю |
||||||||
|
|
|
щуюся |
в |
|
нуль |
при |
всех |
t, |
|||
|
|
|
за |
исключением |
t — 10, |
мы |
||||||
|
|
|
будем обозначать, естественно, |
|||||||||
|
|
|
через 8 (/— /0). |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Итак, можно дать следую |
|||||||||
|
|
|
щее определение: |
дельта-фуик |
||||||||
|
|
|
цией 8 (t—/0) |
называется |
функ |
|||||||
|
|
|
ция, равная нулю при всех |
|||||||||
|
|
|
значениях |
|
t, |
кроме |
значения |
|||||
|
|
|
t — 10, |
при |
котором она обра |
|||||||
|
|
|
щается в бесконечность причем |
|||||||||
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
o(i — t0) d t — |
\. |
|
||||
|
|
|
|
— СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- Покажем, что если f(t) — огра |
|||||||||
|
|
|
ниченная и непрерывная функ |
|||||||||
|
|
|
ция, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г /(/)S (/ — /о) dt = f ( t Q). |
||||||||
|
|
|
- t |
|
|
|
|
|
|
(1-55) |
||
|
|
|
Действительно, обозначая че |
|||||||||
|
|
|
рез Д очень малую величину, |
|||||||||
|
|
|
выбранную так, что на интер |
|||||||||
|
|
|
вале t0 ± |
Д функция /(/) могла |
||||||||
|
|
|
бы рассматриваться как по |
|||||||||
|
|
|
стоянная |
|
величина |
|
|
мы |
||||
|
|
|
можем |
написать: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ |
f ( t ) b ( t - t 0)dt = |
|
|
||||||
|
|
|
— со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
f |
f(t)o (t — tQ)dt = |
|
||||||
|
|
|
|
t o - Ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/n + Д |
|
|
|
|
||
|
|
|
= |
/(/„) |
/ |
|
3 (t— t0)dt = f ( t 0). |
|||||
|
|
|
|
|
to - |
А |
|
|
|
|
|
|
Найдем |
преобразование Фурье |
Fb(уш) для дельта-функции 8(/): |
||||||||||
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fb ( » = |
/ |
1 |
|
dt |
|
|
|
|
|
(1.56) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
— СО
71 |
ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЯ |
41 |
Принимая во внимание уравнение (1.55), получаем:
/78С/ш) = в -7 °= 1. |
(1.57) |
т. е. спектром дельта-функции является постоянная величина. Подставляя (1.57) в интеграл Фурье (1.33), получим следующее
выражение для дельта-функции:
|
|
СО |
|
Ь(() = |
~ |
j ' e W d u |
(1.58) |
|
— СО |
|
|
ИЛИ |
|
со |
|
|
|
|
|
= |
J |
cosftflrfu) |
(1.59) |
F8( » = |
J 3 (t) e~iwt dt. |
(1.60) |
|
Из приведенных выше рассуждений ясно, что выражения (1.58), (1.60) следует рассматривать просто как сокращенную запись выра жений
СО
о(/) = lirn |
[ F (у'ш, <x)eJ,otdu> |
(1.61) |
а■>0^ |
* |
|
|
—со |
|
И |
|
|
|
со |
|
F8(y'(o)= lim |
Г о (/, а)e~-/wldt, |
(1.62) |
а-> О J |
|
|
не содержащую явного указания на предельные переходы, имеющиеся в (1.61), (1.62).
Ш) Ffjw)
|
|
|
|
- ш |
|
Если |
спектром для дельта-функции 8(/), |
расположенной в нуле, |
|||
является |
постоянная |
величина |
(рис. 1.4), |
то спектром |
F (Jto) для |
двух дельта-функций |
о (t — 10) |
и S (^ —}—^0), симметрично |
расположен |
||
42 |
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА |
[ГЛ. I |
ных относительно начала координат (рис. 1.5), является косинусоида. Действительно, воспользовавшись формулой (1.55), получим:
ОО
Д ( » = / [8(/ — а д - и (f + g ] в-*>'<*/ =
_ e-yW0— еМ 0 = 2cos*0o). (1.63)
Обратное преобразование Фурье для суммы двух дельта-функций
S |
F(jco) |
~i„ 0 со
может быть получено |
с помощью формулы (1.33) |
и имеет следую |
|
щий вид: |
СО |
|
|
|
|
|
|
8 (*• *0) + |
8 (*4" *0) =■— J cos *0 (о cos |
dco. |
(1.64) |
8.Производные от дельта-функции
Выше дельта-функция была определена как предел при а —>0 производной от функции (1.50).
Точно так же производную от дельта-функции можно определить
как предел при а -> 0 производной |
от |
функции (1.52), т. е. |
|
||
8 (* )= |
Urn |
[и (Р 4 а » ) ] |
(1.65) |
||
или |
а 0al |
|
|||
|
2 |
at |
|
||
8(0 = |
— Hm |
(1.66) |
|||
тс(А 4«о3V |
|||||
Вид функции |
а•> 0 |
|
|
||
|
2 |
at |
|
||
8(0 |
а) — |
(1.67) |
|||
тс(<!>4aS)a |
|||||
изображен на рис. 1.3, б. Функция 8(0 а), так же как и функция 8(0 а), стремится к нулю для всех t Ф 0 при а —>0, но ее поведение в окрестности * — 0 существенно отличается от поведения 8а(0»
8] |
|
|
ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ |
|
|
43 |
||||||
Пересекая |
ось t |
в точке t — Q, |
функция |
оа (^) |
имеет |
слева.и |
справа |
|||||
от начала |
координат в |
, |
а |
и |
, |
а |
соответственно |
|||||
точках t |
= — |
|
г = у = |
|||||||||
максимум |
и |
минимум, |
по абсолютной |
величине |
равный |
|
9 |
|||||
----- у=.— . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У За” |
При а —>■0 |
оба |
пика возрастают |
по абсолютной |
величине |
и прибли |
|||||||
жаются к началу координат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, производной Ь(() от дельта-функции 8(7) является |
||||||||||||
функция, |
равная |
—(—оо |
при ^ = |
равная |
— со |
при |
/ = |
0+ |
и рав |
|||
ная 0 при всех остальных t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Производную |
8 (/) |
приближенно можно |
представить в |
виде двух |
||||||||
прямоугольных, достаточно узких и противоположных по знаку импуль сов, расположенных справа и слева от точки t = 0 (рис. 1.6, а).
т
О |
t |
/ |
|
|
о) |
|
6) |
|
|
Рис. |
1.6. |
|
Найдем преобразование Фурье |
для 8(7). Имеем: |
||
|
|
ОО |
|
8 (0 = |
2^ f |
e/a>(du>. |
(1.68) |
|
— ОО |
|
|
Дифференцируя обе части формулы (1.68) |
по 7, найдем: |
||
|
ОО |
|
|
8 (t) = |
f |
jiaeW da |
(1.69) |
|
—СО |
|
|
щ следовательно,
(1.70)
44 |
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА |
[гл. I |
Аналогичным образом можно определить и производные высших порядков от дельта-функции. Приближенный вид второй производной от дельта-функции показан на рис. 1.6, б.
Рассмотрим интегралы свертки ^ f { t ) b n(t — x)dt непрерывной
—СО
функции f (t) и производных от дельта-функции. Предположим, что
8(/) = Игл 8а(^)— 1пп —j=e |
(1.71) |
|
о->0 |
в о а V я |
|
Тогда
f |
т) " |
— J / ( Q 8 e (f — x)dt. (1.72) |
|
— СО |
—со |
Переходя к пределу при а -> 0 и принимая во внимание, что оа (7— т) = а->О
= 0 при t =£-, получим в силу основного свойства дельта-функ ции (1.55;:
J / ( r ) 6 ( / - T ) r f / = - / ( 0 . |
(1.73) |
Аналогично для любой функции, имеющей непрерывную производ ную п-го порядка, интегрированием по частям получим формулу
СО
/ /(О 2(я) (t — х) dt = ( - 1)«/ (л) (/). |
(1.74) |
—X) |
|
Легко также видеть, что |
|
СО |
|
/ / (Л) С^) S — х) rfx = / (п) (/). |
(1.75) |
—СО |
|
9.Импульсная переходная функция
Найдем реакцию k (I) линейной динамической системы на воздей
ствие в виде дельта-функции. |
|
|
|
Учитывая (1.60), мы можем на основании (1.49) |
и (1.56) написать: |
||
|
C+jco |
|
|
k (0 = |
f |
(D (s)^ d s, |
(1.76) |
|
г —/со |
|
|
|
со |
|
|
Ф (s) = |
J k(Qe~s‘ dt |
(1.77) |
|
|
О |
|
|
9] ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ 45,
или, заменяя в (1.76), |
(1.77) |
s через у'ш: |
|
|
|
СО |
|
k |
= |
J ф (уш) е№ tfto, |
(1.78) |
|
|
—оо |
|
|
00 |
|
|
Ф(у'ш) = J |
k (/) e-J'*' dt. |
(1.79) |
|
|
О |
|
|
Функция k(t), которая подобно функции Ф (s) зависит только от собственных динамических свойств системы и не зависит от харак теристик воздействия, называется импульсной переходной функцией.
Формулы (1.78) и (1.79) показывают, что:
1) передаточная функция Ф (уш) и импульсная переходная функ ция k(t) являются преобразованиями Фурье друг для друга;
2)задание одной из них достаточно для определения другой;
3)импульсная переходная функция k (() любой устойчивой дина мической системы должна удовлетворять условиям
СО |
|
|
J \ k ( l ) \ d t < |
оо, |
(1.80) |
о |
|
|
/г (0 = 0 при |
* < 0 , |
(1.81) |
из которых первое представляет, по существу, условие устойчивое™ системы, а второе — то очевидное обстоятельство, что в любой ди намической системе эффект (т. е. переходный процесс £ (/)) не может возникнуть раньше причины, его вызвавшей (импульсного возму щающего воздействия о(/), приложенного в момент времени ^ = 0). В дальнейшем условие (1.81) будем называть условием физической осуществимости системы.
При анализе переходных процессов в линейных динамических: системах наряду с импульсной переходной функцией k(t) часто пользуются функцией и((), характеризующей переходный процесс, вызванный единичным ступенчатым воздействием 1.
Функцию и (0 условимся называть в дальнейшем переходной функцией.
Положив в (1.44)
/ ( 0 = 1 .
можно показать, что преобразование Лапласа F (s) для единичной
ступенчатой функции равно -i-.
Действительно,
ОООО
J 1 e - stdt = j e~stdt = - . |
(Г.52) |
оо
46 НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА [ГЛ. Г
Из (1.82) и (1.43) следует, что |
функция 1 может быть |
пред |
|||||||
ставлена в виде |
интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> = к } |
/ |
т |
" |
8- |
|
с - 83» |
||
|
|
|
С — /0 0 |
|
|
|
|
|
|
Принимая во внимание |
(I .& ), |
для |
переходной |
функции |
и (/) |
||||
можно написать |
следующее |
выражение: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
С + /О О |
|
|
|
|
|
|
|
« (0 = |
2h |
Ц |
<lLr ^ r f s . |
|
(1.84) |
|||
|
|
c —j СО |
|
|
|
|
|
|
|
Импульсная |
переходная |
функция |
|
k (/) является |
производной |
от |
|||
переходной функции и (/). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, диференцируя уравнение (1.84) по i |
полагая с = |
О |
|||||||
и сравнивая результат с (1.76), |
получим: |
|
|
|
|
||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
(L85) |
|
10.Связь между переходными функциями и частотными
характеристиками
Найдем, пользуясь (1.78), связь междуимпульсной переходной функцией k(t) и частотными характеристиками Р(со) и Q(co).
Подставляя (1.25) в (1.78) и учитывая, что
|
|
|
|
e/u>f _ c o s _ | _ j s j n ш)<_ |
|
|
найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
Л (/) = |
^ г |
f |
[Р (со) cos со/— Q (со) sin ш/) rfu) -f- |
|
||
|
—СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
- f |
j" [Р (ш) sin со/ |
Q (со) cos ш/] dсо. |
(1.86) |
Так |
как |
выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р (со) sin о:/ -(- Q (со) cos со/ |
|
|
представляет |
собой нечетную функцию |
от ш, то второй |
интеграл |
|||
в правой части |
(1.86) |
равен нулю и мы можем написать: |
|
|||
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
k(t) = -1- |
j" [Р(ш)cosш /— Q (со) sin со/] с/ш. |
(1.87) |
||
— ОО
10] П Е Р Е Х О Д Н Ы Е ФУ НК Ц И И И Ч АС ТО ТН ЫЕ Х А Р А К Т Е Р И С Т И К И 4 7
Если воздействие приложено в момент времени 7 = 0, то на’
основании условия физической осуществимости (1.81), |
выражение (1.87) |
|||||||||
при отрицательных значениях 7 должно равняться |
нулю, |
т. |
е. |
|||||||
|
|
с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
k{t) = |
2^ |
I |
[Р (w) cos |
— Q(co)sin ш7] rfw = |
0, |
|
7 < |
О- |
(1.88) |
|
|
|
— СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменяя |
в (1.88) 7 через |
— 7, получим: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j ' |
[P (ш) cos ш7 -(- Q (со) sin co7] dw = 0, |
|
/ > 0 . |
(1.89) |
||||
|
|
— CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
Складывая |
(1.87) c (1.89), |
|
будем иметь: |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k (7) = |
f |
P (ш) cos/ш dw, |
7 > |
0. |
|
|
|
|
|
|
— 03 |
|
|
|
|
|
||
Вычитая |
(1.89) |
из (1.87), найдем: |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
k(t) = ---- f |
|
Q (ш) sin 7ш dm, |
7 > |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
OO |
|
|
|
|
|
Таким образом, окончательно мы можем написать:
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k(t) = |
J |
Р (ш) cos 7ш dm, |
|
7 > |
0, |
|
|
(1.90) |
||||
или |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fe(7) = |
---- Тс |
У Q(cu) sin 7ш dw>, |
7 > 0. |
|
|
(1.91) |
||||||
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем теперь связь |
между |
переходной функцией и (7) |
и частот |
||||||||||
ными характеристиками Я(и>) и <3(ш). |
(1.84) |
постоянную |
вели |
||||||||||
Вычитая |
из |
обеих |
частей |
равенства |
|||||||||
чину Ф (у'О) = |
Я (0), |
мы можем, |
пользуясь |
(1.83), |
написать: |
|
|
||||||
|
|
|
|
С + j СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и(7) — Я(0) = |
^ |
f |
Ф(5)~ Ф (Р) |
|
*?. |
7 > |
0. |
|
(1.92) |
||||
|
|
|
С—j со |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Функция [м(7)— Я(0)] |
является |
абсолютно |
интегрируемой, |
и ей |
|||||||||
соответствует |
преобразование Лапласа y [® (s ) — Ф(у'О)], |
не |
содер |
||||||||||
жащее полюсов |
во |
всей |
правой |
полуплоскости, |
включая |
мнимую |
|||||||
ось. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
48 |
Н Е К О Т О Р Ы Е В О П Р О С Ы АНАЛИЗА |
[ГЛ, I |
|
Поэтому мы можем |
положить |
в (1.92) с = |
0 |
и s — jw. Итак, |
||||
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
н (/)— Р(0) = — J |
— |
~ P |
J " |
+ JQ (ш) eiwt Clio, |
t > 0. |
(1.93) |
||
— СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
Мз (1.93) после некоторых преобразований получим: |
|
|
||||||
|
|
Р П |
sin ho (ho, |
t > |
0, |
|
(1.94) |
|
.или |
|
|
|
|
|
|
|
|
: (t) = Р (0) + ~ |
J |
|
cos too duo, |
|
/ > |
0. |
(1.95) |
|
|
|
Oj |
|
|
|
|
|
|
11. Аналитический способ определения импульсной переходной функции k (t) по заданной
передаточной функции
Рассмотрим обычный аналитический способ определения импульс ной переходной функции k (t) по заданной передаточной функции Ф (s), основанный па теории вычетов *). При этом мы будем считать, что все полюсы функ ции Ф (s) находятся в левой полуплоскости.
Предположим, что t > 0, и рассмотрим интеграл
|
|
|
|
|
- щ |
f Ф (s) est ds, |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
с~ |
|
|
|
|
|
|
|
взятый по полуокружности С~, имеющей |
|||||||
Рис. |
1.7. |
|
радиус г |
и |
расположенной |
в левой |
полу |
|||
|
плоскости |
(рис. |
1.7). |
При |
0 |
и |
при |
|||
|
|
|
||||||||
] /-1—> со интеграл |
стремится к нулю12*). Поэтому можно написать: |
|
||||||||
|
jT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А (0 — - щ |
f |
Ф (s) est ds = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 3е0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф (s) esl ds -t- -nlr.- |
lim |
f <&(s)estds, / > 0 , |
|
|||||
|
|
|
~ |
|
I r 1..v.m |
tf |
|
|
|
|
1) П р и в а л о в И. И., |
Введение в теорию функций комплексного пере- |
|||||||||
.менного, Гостехиздат, |
1948. |
См. также |
Г а р д ме р |
М. Ф., |
Б э р н с |
Дж. |
Л., |
|||
Переходные процессы в линейных системах, Гостехиздат, 1949. |
|
|
||||||||
2) См. К а р с л о у |
и Ег е р , Операционные |
методы в прикладной мате- |
||||||||
а!атике, ИЛ, 1948. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I l l А НА ЛИ Т И Ч Е С К О Е О П Р Е Д Е Л Е Н И Е И МПУЛЬ СНОЙ П Е Р Е Х О Д Н О Й |
ФУ НК Ц И И 4 9 |
|||
ИЛИ |
1 |
|
|
|
■к (О |
Ф (s) est ds, |
(1 .9 6 ) |
||
2ту |
||||
где интегрирование производится по замкнутому контуру, состоящему из мнимой оси и полуокружности бесконечно большого радиуса, расположенной в левой полуплоскости.
Согласно теории вычетов значение этого интеграла равно сумме вычетов подынтегрального выражения во всех полюсах, находящихся внутри контура, умноженной на 2тгу.
Для |
вычисления вычетов |
предположим вначале, что все полюсы |
|||||||||
функции |
Ф (5) |
являются простыми, т. |
е. что |
|
|
|
|
||||
|
Ф(5) |
M (s) |
|
|
М (s) |
|
|
|
(1.97) |
||
|
D(s) |
|
(s — X ,) (s — U) ... (s — |
Х „) • |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Представим выражение (1.9§) в виде |
|
|
|
|
|
||||||
|
М (s) |
|
/< |
i |
К% . |
. |
К п I |
|
(1.98) |
||
|
D (s) |
s — |
Хх |
' |
s — Х2 |
' |
’ ' s — |
' Х „ |
' |
||
|
|
||||||||||
Для вычисления какой-либо |
из постоянных Кь К2, |
. ., |
|
Kn, напри- |
|||||||
мер /чг, умножим обе |
части (1.98) на (s — Хг): |
|
|
|
|
||||||
(S -- X ,) М (S) __ |
s — |
. |
, , |
s — X; |
|
|
|
|
i is s — h |
||
D(s) |
-‘Кг s — |
X j |
-К, |
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая |
теперь |
s — |
найдем: |
|
|
|
|
|
|||
|
r (s - |
ХгM) |
( s ) 1 |
|
|
_ |
|
|
|
|
|
Kt = L |
|
L |
h ~ |
|
|
|
|
|
|
||
|
____________________ м_0ч)____________________ |
||||||||||
|
(X / - |
x , ) (X / - |
Xo) |
. . . k(X-г, )- |
(X ,- Xm |
) . . . (X , |
|
- X „) |
|||
|
|
M (X f) |
|
|
M (kj) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D' M |
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
M (s) _ |
у |
M (h) |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
D ( s ) |
|
L l D' (X ,) |
S --- X; |
|
|
|
|
||
Итак, |
|
|
|
|
( = i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
f® |
|
d s =i; |
■w |
l |
*= |
||||
|
= УU D'M (QH)X ; ) |
|
|
/= 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
7 > 0 . |
|
|
|
|
(1.99) |
|||
4 Зак. 1083. В. В. Солодовников