книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления

Так, например, для нормального распределения

(2.34)

или

Относительное положение характеристик распределения на кри­ вой плотности вероятности в случае нормального распределения

Рис. 2.8.

показано на рис. 2.9. На графике указаны также ординаты, соответ­ ствующие этим особым значениям х и выраженные в долях максимальной ординаты w 0.

Нормальное распределение имеет исключительно большое значение в математической статистике. Следует заметить, что долгое время считалось даже едва ли не аксиомой, что прак­ тически все статистические распреде­ ления должны приближаться к нор­ мальному распределению как к идеаль­ ной предельной форме, если только мы можем располагать большим чис­ лом достаточно точных наблюдений,

Хотя такая точка зрения и преувеличивает роль нормального распределения, однако несомненно, что в большом числе важных

81 РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА 101

приложений встречаются распределения, по крайней мере, приблизи­ тельно нормальные.

Анализ условий возникновения нормального распределения показы­ вает, что оно имеет место во всех тех случаях, когда случайная величина характеризует собой суммарный эффект большого числа независимых причин. Поэтому нормальное распределение весьма часто встречается на практике.

8. Распределение Пуассона

Рассмотрим теперь еще один часто встречающийся тип распре­ деления, называемый распределением Пуассона.

Примерами случайных процессов, характеризуемых распределением Пуассона, могут служить: дробовой эффект в электронных лампах, некоторые случаи передачи телеграфных сигналов, процесс стрельбы, характеризуемый числом попаданий на отрезке заданной длины, и т. д.

Для того чтобы пояснить, каким образом получается распределе­

вать следующим образом. Будем считать число электронов, попадаю­ щих с катода на анод в течение большого числа п достаточно продолжительных промежутков времени Т. В результате мы получим

= 1 - р Г + ^ - р 2 Г 2 - . . . = е - * т .

Точно так же можно показать, что вероятность попадания одного

9. Корреляция. Коэффициент корреляции

Введем понятия о корреляции и коэффициенте корреляции, кото­ рые облегчат нам в дальнейшем переход к понятию корреляционной функции.

Говорят, что между случайными переменными существует корреля­ ционная связь, если каждому значению одной переменной можно привести в соответствие вероятное значение другой переменной, относительно которого наблюденные значения могут быть распре­ делены согласно какому-либо закону распределения вероятности.

Чем ближе наблюденные значения к вероятному значению, тем более определенной является зависимость между переменными или, другими словами, тем сильнее корреляционная связь между ними.

Если каждому данному значению одной переменной соответствует единственное определенное значение другой переменной, т. е. если одна из переменных представляет собой заданную, а не случайнукх функцию от другой переменной, то корреляция между переменными максимальна.

Наоборот, если обе переменные совершенно не зависят друг от друга, то корреляция между ними отсутствует.

Окорреляции между процессами, событиями, признаками ил

рой в один и тот же момент времени в двух различных точках какоголибо пространства, о корреляции между отклонением самолета от прямолинейного курса в данный момент времени и в некоторый дру­ гой момент, отделенный от первого известным промежутком, и т. д.

Корреляционная связь может быть как линейной, так и нелиней­

i-1

и, следовательно.

2 АУ1 Axi i*»l

АУ = Ах. (2.39)

2 ^ i-i

Свяжем теперь величину t. с коэффициентом корреляции р, опре­ деляемым соотношением

(2.40)

где через Су обозначено среднее квадратическое отклонение наблю­

мальное значение р равно единице, что соответствует

Су = 0.

Таким образом, р максимально, когда все наблюденные точки лежат на прямой (2.39), полученной по способу наименьших квадра­ тов (рис. 2.11). Минимальное значение р равно нулю, что соответ­

ствует ( — = 1 , ИЛИ

\ Су /

выражением (2.40), а несколько другой формулой, которая может

П>2

2 АХ1 АУ1

2\/ = 1

—Су

п2 ^ /

Но из (2.40)

плотностью распределения вероятности случайных переменных х и х 2. Точно так же можно ввести понятие и о н-мерной плотности рас­ пределения.

Можно показать, что случайная переменная, представляющая собой

Говорят, что совокупность из я случайных независимых перемен­ ных х и х 2, . . . . х п имеет я-мерное нормальное распределение, если я-мерная плотность распределения вероятности этих переменных может быть представлена в виде

и через р обозначен коэффициент корреляции.

Согласно определению

В=s с3-

В = с г

Lv

Подставляя (2.48), (2.49) в (2.46), найдем следующее выражение для двумерной нормальной функции распределения вероятности:

(2.50)

— 00

Однако, если пытаться решить интересующую нас задачу по наме­ ченному выше пути, то мы столкнемся с трудностями.

Классические интегралы Фурье (3.2) способны представлять лишь абсолютно интегрируемые функции. Интегралы вида (3.3) тоже спо­ собны представлять лишь функции, которые разлагаются на две составляющие:

при (->-оо в среднем стремится к постоянной. Таким образом, клас­ сический аппарат интеграла Фурье (3.2) для случая непрерывного спектра приводит лишь к затухающим колебаниям, между тем как случайный процесс характеризуется совокупностью функций x k (t), представляющих собой незатухающие колебания с непрерывным спектром.

Полную ясность в этот вопрос внесла лишь спектральная теория стационарных случайных процессов, предложенная Хинчиным 2)* . Все те простые и законченные результаты, к которым приводит эта теория, получаются благодаря радикальному изменению точки зрения, согласно которой величины x k (t) должны рассматриваться как случайные вели­ чины в смысле, принятом в теории вероятностей, и предметом изу­ чения должен быть не индивидуальный вполне определенный колеба­ тельный процесс, а закон распределения вероятностей различных возможных вариантов протекания такого процесса.

Перейдем к рассмотрению некоторых основных положений и следствий этой теории.

2. Определение случайного процесса

Функция, значение которой при каждом данном значении незави­ симой переменной является случайной величиной, называется случай­ ной функцией.

Таким образом, случайная функция может рассматриваться как бесконечная совокупность случайных величин, зависящая от одного или нескольких непрерывно изменяющихся независимых переменных 3).