книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

§ 3 ]

РАЗЛОЖЕНИЕ ДУБА - МЕЙЕРА ДЛЯ СУПЕРМАРТИНГАЛОВ

77

=

М Ихя> я (п)’ (т«. *■< 00}] +

М [птп> я;

{тга. л, <

оо}] <

<

{^оо (я) >

Я} +

М [ п Хп< А;

{т„, я <

оо}],

(3 .3 6 )

поскольку в силу (3.34) А%п к ( п ) ^ к .

Из (3.36)

получаем

Мов(я)> 2Л }]<

<

М [А,, (п) ~ Я;

{Д* (п) >

Я}] <

М [яѵ

{т„. * <

оо}].

(3.37)

Значит,

> 2Я} <

М [яТд я'.

(3.38)

ЯР { Д »

(п )

{Тп. *, <

°°}]-

Из (3.36) (с заменой

Я на 2Я) и (3.38) находим

м [ Д » ; {Лм (я)> 2 Я }]<

< 2ЯР {Д, (п) > 2Я} + М [яѵ 2Л; {т„, 2я < оо}] <

<

2М [Ятге>х; {Тп, к <

оо}] + м [яТ(г

2К\ {т,і, 2 Л <

оо}].

(3.39)

Заметим

теперь,

что

Р Ы , я < оо} = Р {Д (п) > Я} < -М- °° -{п- ] =

- > 0,

Я - > о о .

Из этого замечания и предположения

я е О

вытекает, что

при

7 -> оо

правая

часть

в (3.39)

равномерно

по п — 0,

1, ...

стремится к

нулю.

Поэтому

равномерно

по всем

и =

0,

1, ...

I

Д (я) dP->0,

Я-> оо,

<»>> 2Л!

что

и

доказывает

равномерную

интегрируемость

величин

(А* (я), я = О, 1, . ..}.

Теорема

доказана.

0,— непрерывный справа

С л е д с т в и е . Пусть X — (xt, Д ), t ^

супермартингал, принадлежащий классу D. Тогда существуют

непрерывный

справа

равномерно

интегрируемый

мартингал

M — {mt,£Tt), t ^ O ,

и интегрируемый возрастающий натураль­

ный процесс

А — (At, Д )

такие, что

xt =

mt — At

(Р-п. н.),

t ^ O .

(3.40)

Это разложение (с натуральным процессом At,

0) единственно

с точностью до стохастической эквивалентности.

в частно­

Докажем этот результат. Поскольку

X e D , то,

сти,

sup М I X. I < оо

и

sup М х7 <

оо.

Следовательно,

по тео-

t

1 1

t

lim xt с М 1хх | <

оо.

реме 3.3

существует

хж=

г-»оо

§ 3]

РАЗЛОЖ ЕНИЕ ДУБА - МЕЙЕРА ДЛЯ СУПЕРМАРТИНГАЛОВ

79

Согласно теореме

2.15 для

всякого / l e f s

I

nAtn dP =

j x,nASndP.

А

А

Поскольку величины агт л <„

и x^nAsn, п = 1,

2,

равно­

мерно

интегрируемы

(лемма

3.1), то,

переходя к

пределу

(п->оо)

в предыдущем равенстве, получаем М (хх Л 1 1&~s) = хх As

(Р-п. н.).

З а м е ч а н и е . Утверждение

леммы

остается

справедливым

рируемый возрастающий процесс A = ( A t, £Tt),

t ^ O ,

такие, что

xt = mt — At

(Р-п. н.),

0.

(3.42)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из

аналога

неравенства

(3.7)

для

неотрицательного

супермартингала X =

(xt,

t),

0,

находим,

что

P { s u p x ,> A } < - ^ .

t

Л

Отсюда

следует,

что

Р {sup xt <

оо} =

1.

(3.43)

t

Положим т„ =

inf {t: xt ^

п}

А п. Тогда Р {т„ ^ п} — 1, Р {хп ^

^ тп+і}= 1 и в силу (3.43)

Р{1іш т„ = оо}= 1. Положим теперь

xn{t) — X t A xn - Ясно,

что

П

max [п, хХп],

откуда

следует,

xtA Tn^

что для

каждого

п =

1,

2, ...

супермартингал

Xn =

{xn(i), STt),

t^ O , принадлежит

классу

D.

Поэтому

согласно

следствию

теоремы

3.8

xn(t) =

mn( t) ~ An{t),

(3.44)

где Mn = (mn(t), n't),

0, — равномерно

интегрируемый

мар­

тингал,

а An(t),

0, — натуральный

возрастающий

процесс.

Заметим, что а:„+1 ( т „ Л t) =

xn(t). Далее,

поскольку {mn+l (і).

0} равномерно интегрируемо, то

таково

же и семейство

[mn+l(t А тп), f> 0} . Процесс Ап+Х{хп /\

t),

0, получающийся

из натурального

возрастающего

процесса

An+1(t),

0, «оста­

80

МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)

[ГЛ. 3

В силу единственности

разложений

Дуба — Мейера

tT^n+ I ( Д 0

б,

An+l(rn A t ) = A n(t),

t > 0.

Поэтому определены

процессы ( m ^ t ^

0)

и (At,

t^ O ), где

mt — mn(t)

для

t

т„,

Л, = Л„(0

для

Ясно,

что процесс

M — (mt,3Ft), і ^ О ,

является локальным

мартингалом, а Л„

0, — возрастающим процессом.

Поскольку для

= At А N

МЛ* =

lim М(Л*;

тn> t ) =

Пт М(Л*(/);

т

оо

П->оо

<

lim

МЛ ^ ( 0 < lim [М.ѵ„(0)— M x„(0]<lim Мх„(0) — М*0 < °°>

П -> оо

П -> оо

П->оо

то

величины Л^,

t ^ O ,

интегрируемы,

и по

лемме Фату

МЛ, < оо и МЛ^ < оо.

Пусть теперь

Y = (yt,3Tt),

0, — положительный ограни­

ченный мартингал, имеющий пределы слева г/,_ =

lim ys (Р-п. н.).

s+t

0, п — 1,

2,

. . . , получим

М [ ys dAs =

lim М

ys dAs, xn

t

■lim M J

Hs dAn(s),

xn^zt

lim

M

J z/s_ dAn(s), Xn^zt

tl-> oo

n->00

=

lim M

ys- dAs\ xn > t

M J ys_ dAs

П->оо

Lo

Из полученного

равенства

t

t

?/s_ СІЛ5

M J

ys dAs = M J

о

0

§ 4]

с в о й с т в а н а т у р а л ь н ы х п р о ц е с с о в

81

§ 4. Некоторые свойства

натуральных возрастающих процессов

1.

В

случае дискретного

времени

п — О, 1,

. . . возрастаю­

щий процесс

А — (Ап, SF„), п = О,

1, . . . ,

назывался

натураль­

ным,

если величины Ап+І были ^„-измеримы. Естественно было

щего

процесса А = (А1, 3F(),

О (см. 3.17),

приводит к тому,

что

при каждом t > 0 случайные величины

At являются на

так.

Пусть A = {At,@~l),

0, — непрерывный

Т е о р е м а 3.10.

справа

интегрируемый возрастающий процесс, @~t = @~t+, t^ O .

Тогда

для каждого

t > 0 величины

А,

являются SFt~-измери­

мыми.

потенциал

Д о к а з а т е л ь с т в о . Образуем

Щ ^ Щ А ^ А - А »

(3.45)

беря в качестве

непрерывную

справа модификацию.

П (і + \)'2~п = = М [^oo(n) I&~( і + 1).2~п ]

А ; +

(3. 46)

Зафиксируем

некоторое

^ > 0

и

положим

tn — (i +

1) • 2~п,

если

і ■

<

t

(i +

1) • T~n. Тогда

из (3.46) в силу £Г(. 2_л-из-

меримости величины А(г+І) 2_п(л) получаем

М [я(г+1, 2_„ I Зг(\ =

М [Аю(п) 13Tt] -

Л(£+1).2-п (л).

(3.47)

Подставляя

сюда значения

я(.+|).2_„

из (3.45),

находим

м И» (л) I ТА =

м [

-

AtnI grt] -

Atn (П),

tn= (i + 1) • 2-".

(3.48)

Поскольку

разложение

(3.45)

с

натуральным

процессом

A = {At,STt),

0, единственно, то,

в соответствии

с доказа­

тельством

теоремы

3.8,

существует

подпоследовательность

{nh

/ — 1,

2,

. . .} такая,

что

Л^Длу)

сходятся слабо

к Ам.

Тогда, очевидно,

и М И^Дл/)!

t] слабо сходятся к ІѴ^Л^І ЯГД

Заметим также,

что в силу

непрерывности

справа процесса At,

t > 0 ,

М м ІА. \ Г Л - А А - + 0 ,

Л,- -> оо.

Учитывая все это, из (3.48) получаем,

что

(л/) сходятся

слабо к А(, лу—>оо,

82

МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)

ІГЛ. 3

Величины Аіп (nt) являются

2_П/-измеримыми, и

по-

скольку

і -2

<

t ^ t n.,

то они

и ^--изм ерим ы .

Покажем теперь, что и слабый предел At этих величин

также

будет

^--измеримы м .

Вытекает

это

из

следующего

общего предложения.

вероятностном

пространстве

Л е м м а 3.4. Пусть на полном

(Q, У , Р)

задана

последовательность случайных

величин

\ t,

і = \ ,

2,

. . . ,

с M \ h \ < оо, слабо сходящаяся к

случайной

ве­

личине I, т. е. пусть для любой

ограниченной ST-измеримой

величины

т}

і —>оо.

(3.49)

Предположим, что случайные величины

являются S-из­

меримыми, где S — (полная) о-подалгебра ёГ. Тогда случайная

величина £ также S -измерима.

теореме

1.7

последователь­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Согласно

ность случайных

величин

| 2>• •

• равномерно

интегрируема.

Эта последовательность останется

равномерно

интегрируемой,

если ее

рассматривать на новом вероятностном пространстве

(Q, S, Р).

Следовательно, еще раз применив теорему

1.7, по­

лучаем,

что найдется такая подпоследовательность %п ,

\ ѣ, ...

и ^-измеримая

случайная величина f, что для

любой

ограни­

ченной ^-измеримой величины ц

M£njfj-* МІт),

г-*оо.

(3.50)

Согласно (3.49)

ІѴЦц, и, с другой стороны, в силу (3.50)

МЦт, =

М {І„м (г, \Щ -> М {ІМ (Л m

=

Mlл-

Следовательно,

М|г| = М|т],

откуда

1 — 1 (Р-п.

н.),

а

значит, |

^-измерима.

З а м е ч а н и е .

Если т — марковский

момент, то

случайная

величина

Ах — Ах м (со) является

£Гт_-измеримой. Напомним,

что

есть

а-алгебра,

порожденная

множествами вида

{т>*}ЛЛ „ где

ëTt,

0.

2.

В следующей теореме даются условия, при

которых на

Предварительно

введем такое

О п р е д е л е н и е

7. Потенциал nt,

0,

является

регуляр­

ным, если для любой последовательности

{тп, п =

1, 2, . . .}

марковских моментов таких, что тп f т,

Р ( т < о о ) = 1

,

84

МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)

[ГЛ. 3

со

M j

mt_ dAt = М т^Л ^ =

М Л^.

(3.55)

0

Заметим еще, что

М j

(Л, + AtJ)dA t =

lim M

шЛ

А i+1

+ A

^JL+i — л

È-» OO

L(=0

к

к

lim М

Лi±l

А)

= МЛ; (3.56)

fe->co

І = 0 L

k

Из (3.54) — (3.56) получаем

оо

оо

оо

М J

(я^ -|- я^_) dAt — М J (mt -j- mf_) dAt — М J

(At -j- Лг_) <іЛг =

О

о

.!

= 2 М А І— М Л ^= М Л І.

б) Предположим

теперь,

что

М J [яг +

Щ-] dAt <

оо.

(3.57)

о

В свою очередь для доказательства неравенства

МЛІ, < оо

достаточно

установить,

что

для всех п,

больших некоторого

іѴ0 < оо,

М Л І ( я ) < С < о о .

(3.58)

Вытекает это из того, что Л^

является

слабым

пределом

некоторой

последовательности

(Лоо(яг), і — 1,

2, ... )

и следую­

щего предложения.

і = I,

2, . . . ,

— последовательность

Л е м м а 3.6. Пусть

| <

случайных

величин М|

оо,

/ — 1, 2, . . . ,

слабо сходящаяся

к некоторой величине |, т.

е.

пусть для

любой ограниченной

случайной

величины т)

—> М|,ті,

г-»оо.

(3.59)

Предположим, что sup М |2 ^

С < оо. Тогда М |2<ІС.

І

Обозначим

Д о к а з а т е л ь с т в о .

%,(п)

I,

если

11 |< п ,

О,

если

111 > п.

где

мы

воспользовались тем, что

с»

М 2

-^і+ірг- " (А і'+і)'2_

я

=

i=о

oo

^

M

_2 M {л(г+1).2-и [^(( +l)-2~n

A i-2~n

I ^i.2-»} =

CO

=

M

2 M (Я({+]).2-п I

i.2~n) ІА(І+l)-2_n

^l-2~n(tt)) ^

OO

M 2

Я;-2—f! (у4((+1).2— (^)

n(^)) ^ C.

t=0

Итак,

M [Л^(п)]2 < 2C <

oo, и по лемме Фату М [Лте (я)]2<ДС

для

всех

n i ^ N 0.

двух вспомогательных предло

4.

Для формулировки еще

некоторые

обозначения.

At,

0, и

построим по

нему суб­

Рассмотрим процесс

мартингал (An(t), £Гt),

0,

полагая

4 ( 0 = М [ И ф|г(О| ^ ] ,

(3.62)

где q>n(t) — (k + 1) 2—",

если

kT~n ^

t < (6 +

1) 2“ ".

Согласно

теореме 3.1 можно считать, что траектории An(t),

0,

непре­

рывны справа Р-п. н. и имеют пределы слева

в каждой

точке t^ O .

0). Тогда из леммы 1.9

Пусть т — м. м. (относительно (5^),

и определения условного

математического ожидания

нетрудно

вывести,

что

= М[Лф|г(т)|<Гт].

(3.63)

Л„(г)

Для

каждого е > 0 определим

Ѵ Е=

inf {t: An{t) — At >e},

(3.64)

полагая

т„,е = + оо,

если

множество

{•} в (3.64) пусто.

Ясно,

что т„,е < т „ +ЬЕ (Р-п. н.).

Положим те = lim хп<е.

Л е м м а

3.7. Для

П-> ОО

всех п = 1, 2, ...

М [А%в — Ахп J

^

еР (тЕ< оо) -|- М [Лте

A<f,n (тЕ)].

(3.65)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Имеем

И

А х г ~ А х п, е =

И Д ~

A<fn (Д)] +

И<Д (Д) — А х п, J

М\ ы

ММ1 Д ( . . , І Г Ѵ .1 >

> м м 1 \ л ѵ . ) ! г ѵ . ] = м л » (ѵ .>