Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 7124 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

§ 6]

СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ

227

Д о к а з а т е л ь с т в о . Достаточность условия (5.131) следует из свойства стохастических интегралов (по винеровскому про цессу (см. (4.49)). Для доказательства необходимости положим для п = 1 , 2 , ...

	in f ^ s ^ r : I f2$d s ' ^ n ^ ,
“Xfl		1
	Т,	если Сf2d s < п.
		о
В силу непрерывности		траекторий мартингала X = {xt, @~t)
и теоремы 3.6 Р-п. н.
I	=	= М [ * ,\|; г	].
О

Поскольку к тому же мартингал X = {xt,3~t) является квадра тично интегрируемым, то в силу неравенства йенсена

МЧ = м[М(*rI г,д,я)]!« М4 < «о.

Г Л І „

С другой стороны, поскольку М	J	fl (со) ds ^ п < ОО, то
	о
\	2	Т Л Х п

М 4 ЛТп = М	{ f ' W d w A = М
п	\ 0	!
Следовательно, для	любого п = 1,	2, ...

г Л хп

{ f » d s .

М J	Ң (со) ds < Ы\х\,
о
и, значит,
т	г лг„
что и доказывает лемму.		— квадратично
З а м е ч а н и е . Если X — (xt,3Tf),		— квадратично
интегрируемый мартингал	с '

Xt = Х0+ I Д (со) dWs,

228				КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ							[ГЛ. 5
		т					=	1 , то
где	Р	I	fl (со) ds <			оо	=	1 , то
		о	г
			г
		М J f l		(со)ds ^		М \хт— х0]2 =-				— Мхд ^ Ых2. < оо.
		о
	4.		В	следующей			теореме		ослабляется условие		(5.120), вхо
дящее в формулировку предшествующей теоремы.
за	Те о р е ма 5.18. Пу сть выполнены предположения теоремы 5.17,
за	исключением условия							(5.120),	которое заменяется		требова
нием,		что
											(5.132)
	Тогда		утверждения				теоремы		5.17	также остаются справед
ливыми.								Условие	(5.120) обеспечивало		эквива
	Д о к а з а т е л ь с т в о .							Условие	(5.120) обеспечивало		эквива
лентность P5 ~					р.п. При условии же (5.132) согласно теореме 7.20
лишь			<	рп.	2, ...		и Qn) = (Qtn),			^ — процесс, являющийся
	Пусть		п = 1,		2, ...		и Qn) = (Qtn),			^ — процесс, являющийся
(сильным) решением уравнения
								t
				l(tn) — I t				+ f [1 -	X<r'] bs (!<»)) dWs,		(5.133)
					J %1П)		d s	0
где					0
где

В силу сделанных предположений коэффициент bs (x) удовлет воряет условиям (4.110) и (4.111). Поэтому из теоремы 4.8 сле дует, что сильное решение уравнения (5.133) действительно существует.

Как показано при доказательстве теоремы 7.19, процесс l(n) = \ ZTt) допускает дифференциал

d l f = a f (|W) dt + bt

dWt,

(5.134)

где

af) (x) = at (x) %

d s < n

§ 6]

СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ

229

Поскольку

4 n,(g(n))

dt *Сп\ — 1 ,

]

( ■bt(l(n))

то по теореме 7.18 р^(/г) ~

Положим теперь x f =

М \хт|

Тогда в силу теоремы 5.17

для

мартингала

Х[п) — (х\п\

#"*(п))

справедливо

представление

x f

= Х(п) + I

f f

(cöw) dWs>

(5.135)

где

процесс ( f f

(а),

f n))

таков,

что

l{,n) = Éo (Р-п. н.),

то ^

(®)]2

J [ f f

o o

= .

Заметим, что

x f = x0

(P-п. н.).

Действительно, поскольку

x f = M j x Tj

M[xr j6І-»] =

M [xt J у

: :X0.

Пусть

Гг

1‘

(

inf

(x) №

xn (x) :

если

(*)

ds< n.

bs (X)

Из

построения

процесса | (rt)

следует,

что I f — g

для t ^

t (£).

Поэтому тп (£) = тп (£,''п)) (Р-п. н.). Отсюда нетрудно вывести, что

для любого	0 ^	t ^ Т,
		är M .„ra = er "„< 5 » 4 .					(5.136)
Из (5.135)	вытекает, что мартингал			Xw = {х\п), P t		*)	имеет
непрерывные траектории.			Поэтому по теореме 3.6 и
	t At„(g(n))			<Лт„(І)
= *o +	J	f'n)M	dU7s = *0 +	J	f f ( f d w	s,	(5.137)
поскольку Xn(I) =		( \|<rt)) (P -п. H.) и При s <			xn (g) l9=	(P -п. H.),

230 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 5

Заметим	теперь,	что	x f ]=	М {хт\| SFfn)'}.	Тогда согласно
теореме 3.6 и соотношению (5.136)
** Л т„ (?<”>) = М		[ Х Т \ 3 ~ lt h x n (?<«>)) " ^ (-^ГІ ^ 1 л т „ ( ? ) ) >
что вместе	с (5.137)	дает	при	равенство
			t Л т„ (5)
м ( х т \ & ~ } л х п < ь ) = = х о +			j	??4®)dWs	(Р-п. н.). (5.138)

Обозначим для краткости правую часть в (5.138) х[п) и положим

^F<n) =	Процесс Х(п) = {х\п), £Г\п)) является мартингалом,
поскольку	М\| х\п) I ^ М I хтI <	оо и при ^		s
М (*« I #•«) = М [М (хг I іГ Ц <it ,вI Г \			лѵ ІВ)] -
		S Л т„(?)
“ М (хг \| Г \| л,іі,Е1) _ х 0+		/ ( " ( . ) < » , - ! »			(Р-П.Н.).
		О
Пусть	п г ^ п . Тогда тт (£)^т„(£)		и по теореме		3.6	(Р-п. н.)
			t Лxm (?)
М ( х » \| ; Г « , щ(в) = х М , т ,и = х 0 +			/	/«'(«>) iw . .		(5.139)
			0
С другой стороны, поскольку
	Л хт (?) = 3 ~ \ і\ т„ (?) Лхт (?) =			&~t Л Хт (?),
то Р-п. н.

М (г ? 'І ^ л . „ . в ) ” М Iм ( ^ | ^ д , „ , | , ) [ ^ л , „ , а ] = ‘л «„(И

(5.140)

Сравнивая формулы (5.139) и (5.140), убеждаемся в том, что

§ б]	СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ	231
		231

Из (5.141)		с помощью			формулы Ито находим, что
/ГАТт (I)						,2	Тдтт (!)
0 = (	J [ f f ( a ) - f W( « >) } d W					)	=	J	[/W(co)-/M(co)]2ds +
	о
тлхт (I)		( t
+ 2	J	j			H ] dWs			{ f f	(со) - f f ) (со)} dWt
	о	с о
							=	J	[/‘га)(® )-/< т)И ] 2^ ,
поскольку на		множестве {со: t ^ r m(!)}
			J [ff(<»)-ff4v>)]dWa==0.
Итак, для		п ^ т		на множестве {тт (\|) = 7'}
			j	[ f f ( « ) - / f )			(со)]2 ds = 0 .				(5.142)
Отсюда следует, что для					почти	всех		t, 0 ^ t <1 Г,
	Г Н		=	Г И	({ти (\|) =			Г},	Р-П.Н.).
Определим теперь функцию ^(со):
			f(‘>(со),		если			J	а2 (!) ds <	1 ,
			/12)	(со),	если		1	<	а2 (!) ds <	2 ,
	/г («О =										(5.143)
			/<") (со),		если	п — 1 О j			а2 (!) ds < п,
Из определения ясно, что функция								ft (со),			является
&№, л X ^"г-измеримой и lFf-измеримой при каждом											фиксиро
ванном	t, 0 ^	t ^	Т.

232 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 5

Далее,

Г	оо	Хп+1 ^		оо	^ п + 1	^
[ / ? ( ® ) л = У			f m ® ) d t = y			f
0	n = 0	Tn	(5)	Я = 0	т „	(I)
		W	ТП + 1 ^			ОО	ТП + 1	®
	=	S	J	[/? +,)И ] 8 Л + S			I	[ / Г ‘>М]2 ^ .
		п = 0	т „ (?)			п = М + 1	т „ ( \|)
На	множестве {ю:			(^) = 7^}

гN %п + 1 (5)

J[ff+,)(®)j2^ < ОО.

Д=0 Tn (I)

Значит, для любого N

{со:	J f*(<a)dt =	ao } s {о: xN+l (%) < Г}.
I	о	'

Но Tw( | ) f r (Р-п. н.) при N - + 0 0 , Поэтому

Р I J f) (а) dt < оо I = 1 .

Аналогичным образом легко устанавливается также вклю чение

j ©: J [ft (®) — f{tn) Щ 2dt > 0 j <= {со: тп{£) < Т).

Поэтому при п —>ОО

	т
	J	[M “ ) - / 5 rt)(®)]2^ - > о,
	о
и, следовательно,		t	t
		t	t
Р" lim		f /(sn) (со) dWs —	f fs (®)dWs.	(5.144)
	n+°°o		о
Ясно также,	что
<Л'„®		/
j'	/ « м ^ , = } х		. / г м л ^ .

§ 6]	СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ
	2 3 3

и для любого t, 0 ^

t ^

Т,

P ''lm I

, <6)>°А П) И dWs=

J /. (®)

(5-145)

поскольку

p {

[ fsИ

f f И Хря (I)> s}]2 > е } ==

- Р {

[ f M - f f N

( E ) > s } J 2 ^ > 8 ,

T B ( g ) =

r }

P { J

[/s N~

f f

(со) %{Xn №)> s]j2 rfs > e,

t„ (l) <

T j<

P J

{ [fs И — f f

(<o)]2ds > e J+

P [xn(£) <

n -> oo.

Пусть t <

T. Перейдем к пределу при п -> оо в (5.138).

Левая

часть равенства в силу теоремы 1.5 стремится к М [хт|

= xt,

правая

согласно

(5.145) сходится по вероятности к х0+

fs (<i>)dWs. Таким

образом, при t <

xt = xo~\~ J

fs(®)dWs

(Р-п. н.).

(5.146)

Если

же t =

T, то

Sfr лхп Ч) t

3~\-

и, значит,

М Ы П -)= = * о +

Но процесс £— (Іt),

Г, имеет Р-п. н. непрерывные траек

тории,

и поэтому

= &~} (ср. с доказательством

теоремы 4.3).

Теорема

5.18 доказана.

В теореме

4.3 было показано, что (пополненные) сг-ал-

гебры

t , порожденные значениями винеровского процесса Ws,

s ^ t ,

непрерывны,

т. е. &~Т~ —

Установим анало

гичный результат и для процессов диффузионного типа.

Т е о р е м а

5.19.

Пусть

выполнены

условия

теоремы 5.18.

Тогда

(пополненные) о-алгебры

непрерывны.

0 І =

0 І +.

234	КВАДРАТИЧНО	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ	[ГЛ. 5
	Д о к а з а т е л ь с т в о .	Как уже отмечалось выше,	соотноше
ние	== Зг \ доказывается аналогично случаю винеровского

процесса (см. теорему 4.3). Установим непрерывность а-ал-

гебр

справа.

величина,

| г|

с.

Тогда

Пусть т) — ограниченная случайная

по теореме 5.18 у мартингала

X =

(xt, ЗГ\)

xt =

М (г| | 5^)

существует непрерывная

модификация. Покажем, что

М (ті|^1) =

М (ті|0І+)

(Р-п. н.).

(5.147)

Для

всякого е > О

м (чI П О = М(М (Ч ! 5Ще)I9Щ) =

М(*,„ I ІГ$+). (5.148)

Но случайные

величины

л:^ =

М (rj I ^ f )

ограничены,

j лг# j ^ с, и

в силу непрерывности процесса xt из

(5.148), переходя

к пре

делу при е I 0,

находим,

что Р-п. н.

м (л I ЗГ}+) = М (*, I п

+) =

xt =

м (л I П ) -

Этим соотношением (5.147) установлено.

Возьмем теперь в нем в качестве л £Г?+-измеримую

огра

ниченную случайную величину.

Тогда М (л|Зг |+) = гі и, значит,

Л = М (л I # І).

Следовательно, случайная величина л ^-изм ерим а, что дока

зывает включение &~}+ Е (Ft-

Обратное

включение

ЗГ) Е @~}+

очевидно.

Теорема 5.19 доказана.

выделения частный

случай теоре

6 .

Заслуживает

особого

5.17,

5.18, когда коэффициент fr,(x)== 1

(или

bt (x) == с Ф 0).

Т е о р е м а

5.20.

Пусть

£ = (|г, &~t),

0 ^

Г,

— процесс

диффузионного

типа с дифференциалом

dh = at (l)dt + dWu

(5.149)

где а — (аДх), 3&t) — неупреждающий функционал с

p ( j а]{І) d f < o o j = l .

Тогда у всякого мартингала Х = (хр П~^ существует непре рывная модификация, для которой имеет место представление

xt — xo~\~ Jt fs(®)dWs,

§ 6]	СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ	235
		235
где процесс (fs (ю),	таков, что
	Р J fl (©) ds < ооj = 1 .

Если X — (xt, — квадратично интегрируемый мартингал,

		т
то к тому же		М J f2s ((ü)ds< оо.
7.		о
7.	Рассмотрим теперь структуру функционалов от процессов
диффузионного типа в гауссовском случае.				Будем предполагать,
что случайный процесс £ = (£,, ЗГ{), 0 <				^	Т,	имеет диффе
ренциал		dlt = at {l)dt + b{t)dWt,		Іо =	0,	(5.150)
		dlt = at {l)dt + b{t)dWt,		Іо =	0,	(5.150)
где W=(Wt, ^ ) —винеровский процесс, а b(t),					0 ^	t ^ J , —детер
минированная		функция с Ь2(0 ^ с > 0	J &2 (^)c^<oo^J.
Т е о р е м а		5.21. Пустъ X = (xt,	0 ^ t ^ Г, —гауссовский
мартингал. Если процесс (W, \|, X) — {Wt, l t, xt), 0						Г, обра
зует гауссовскую систему и
		p ( j a ? t è ) < f t < o ° )	=	I,		(5-151)

то у мартингала X — [xt, ST^ существует непрерывная моди фикация и

xt = x0 + j f ( s ) d W s,				(5.152)
о
где измеримая детерминированная функция f =			f(f) такова, что
т
\ f 2(t)dt<oo.				(5.153)
о
Д о к а з а т е л ь с т в о . Гауссовский		мартингал		X является
квадратично интегрируемым.	Поэтому	согласно		теореме 5.18
			г
найдется процесс g = (gt ((>>),	O ^ t ^ T , с		j Mg2 (co)d/< оо
такой, что			о
такой, что	t
	t
xt = xa+	J gs(®)dWs.			(5.154)
	о

236

КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

Из (5.150) следует, что при каждом t случайные величины Wt £Г|-измеримы. Следовательно, не только процесс (W,, 3Tt), но и

{Wt, также является мартингалом, и, значит, — (Р-п. н.), t ^ s . Отсюда вытекает, что выражение

M [ ( x , - * s) ( r , - r s) | ^ S | =


=	М [(X, -	М (X, I П » (W, - М (V , IГ $)) I П ]				(5.155)
есть не что	иное, как		условная	ковариация соѵ(л^,
(см. обозначения в §		1 гл. 13).
Покажем, что в силу гауссовости процесса (W,					X)
соѵ (х„ W, I Г*) = М \|(х, -			X) (07, -	Ws) I згу =
	=	М \ ( x , - x , ) ( W , - V , ) \ (Р-п. н.).				(5.156)
Для доказательства этого заметим сначала, что
м \{xt - О (Wt -			W') I Г I] =	М[xtWt I <Г\|] -	xsWs.

Пусть теперь	j со:	£0> ё_*_.
	I	2П

, • • •. Is I . т огда

2П

$Г\	п \	И, следовательно, по теореме 1.5 (Р-п. н)
		П . J - * М [х,Г , I !Гу,		М \х ,Ѵ , I Г \|. „1 - x , W ,
Значит,
м	[(*«	- (VЫ, - W. ) I« 4 1	=	Иг[x,W,а МІ П	*, 1.W-. =
	=	lim {M [х,1Г, IП . „I -	M [x, IП . »I M I ^ , IП , »II +

+ iim (M |x ,|n .JM |iri | n . J ) - x sr,.

Поскольку П — П , то М [д:,\|П .»1 =					м \|М И ,\|П ) \|П * .» \| —
— M (xt \| n , „)—х, и, апалогично, M					J — M [IFS\| П , n\|-*»V
Следовательно,
	- l i r a \|M		[x,W, I П . . І - M [X, I П , „J M\V , \| n . J )			=
		- H m	M {[X, - M(X, IП . »)]l“7, -		M (Г , IП . „)[ IП , »]•
Но	по теореме		о нормальной корреляции (теорема 13.1)
м	[[X, -	м (X, I п .		„)] [г , - м (W, Iп . „)\| І П „) =
	-	м \|\|х ,	-	м (X, I п , „)];і(', - м (ir, I n . Л)		(Р-п. н.).

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 2324 / 7124 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ