книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы
.pdf§ И |
|
|
|
|
РАЗЛОЖЕНИЕ ДУБА - |
МЕЙЕРА |
|
|
|
|
177 |
||||||
Согласно (5.9) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
s |
|
|
|
£ |
|
г № . - ) [ ^ д , и , - г ѵИ |
-1, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ft+I |
|
|
|
|||
где I и m определяются из условий tin) < |
s < |
4+ь |
|
|
< t < ^ + i- |
||||||||||||
|
Не ограничивая общности, можно |
считать, |
что |
t\n) = s, |
|||||||||||||
tm\\ = t. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
Xt J g{n)(u, со)dWu \ T l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
M { xtg (t{£ \ со) Г |
|
Ѵ |
|
|
І |
Г |
- |
) |
= |
|
||||
|
Kk<m |
|
1 |
|
L |
|
|
|
|
||||||||
|
= |
V |
M( M(ДГ, I |
|
«((»») [® >i |
- W |
t |
|
|
|
|||||||
|
t^ k ^ ttl |
|
|
|
|
|
|
|
|
*k + \ |
|
1г і Г ' } 1 |
|||||
|
|
= |
S |
M |
I 8 (^> |
“) f |
- |
W {n)I %(n) |
1 ^ -1 , |
(5.10) |
|||||||
|
|
/<*<* |
1 |
|
L |
k+x |
|
|
tk |
J |
‘*+‘1 |
|
J |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ml*W-“)[r.й,-Ѵ ]ѵд,Г.1= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
- |
M I g |
•*>M Г |
« , - |
r |
.p) ( * « , |
- |
*.p) I * * > ] |
Г |
- } - |
||||||||
= |
M j g p p , |
в) M |<дг, r> („ ( |
- |
<x, r> („ |
|
IГ |
„ ] IJT, j = |
|
|||||||||
|
|
|
= |
M j * ft”', в) [<*, |
Г )(и i - |
(*, |
Г>(„ ] I !F, j . |
(5.11) |
|||||||||
Из |
(5.10) и (5.11) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
М |
Xt I |
g{n) (и, CO) dWu \ T S = M |
J gW (и, со) rf <x, W)u\ 9-1 |
. (5.12) |
|||||||||||||
Переходя в (5.12) к пределу при п->оо, |
получаем, |
что Р-п. и. |
|||||||||||||||
І.і.ш. М |
X, J g<»)(«, (O )r fr j^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
П->оо |
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
м |
|
jg(M, |
<o)rf(x, |
W)U\ST, |
|
(5.13) |
|||||
|
Итак, |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М [<лг, y)t — (х, */>J |
= |
М jg (u , со)d(x, W)u\r, |
|
178 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 5
<
где процесс J g(u, &)d{x,W)u можно представить в виде раз-
fl
ности двух натуральных возрастающих процессов. Поэтому согласно теореме 5.2 (х, y)t допускает представление (5.8).
Заключительная часть леммы вытекает из доказываемой
ниже леммы 5.5. |
|
т е о р е м ы |
5.3. |
Пусть |
|
(g(t, |
со), @~t), |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
|
|||||||||||||
t ^ T , |
— функция, |
удовлетворяющая |
условиям |
леммы |
5.1 |
и |
||||||||
такая, |
что g2(t, w) — g (t, и>) и J g (t, со) dt = 0 |
(P-п. н.). Покажем, |
||||||||||||
|
|
T |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что тогда |
и I |
g(t, u>)d{x, W)t = Q (P-п. h.). |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С этой целью положим yt = J g(s, (a)dWs. Ясно, |
что процесс |
|||||||||||||
Y — (y, @~t), t ^ T , |
является |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
квадратично интегрируемым мар |
||||||||||||||
тингалом |
и по лемме 5.1 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(х, |
г/)* = J |
g (s, со) d {X, W)s. |
|
|
|
(5.14) |
|||||
|
|
t |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но Му2= |
М J g2(s, со) ds = |
0. |
Поэтому yt = 0 (Р-п. н.), t ^ T , |
и, |
||||||||||
|
|
о |
|
(Р-п. н.), |
t ^ T . |
Из (5.14) |
теперь следует, что |
|||||||
значит, (х, y)t = 0 |
||||||||||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J g(s, со) с/(a, 1F)s= |
0 |
(Р-п. н.). |
|
|
(5.15) |
||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим в измеримом пространстве ([0, Г ]Х ^ . Я[0. п Х ^ г ) |
||||||||||||||
меру Q( •), положив ее на множествах S X A, S е |
^ (о, т\, А^$~т |
|||||||||||||
равной |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q (5X > 1)= |
|
J |
|
|
dP (со). |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
из |
(5.15) вытекает, |
|
что мера |
Q абсолютно |
непрерывна |
||||||||
по мере Р, где Р (S X А) ~ |
Я (S) Р (Л), Я— мера Лебега, Я {dt) = |
dt. |
||||||||||||
Следовательно, |
найдется |
такая |
|
т] X ^Ѵизмеримая |
функ |
|||||||||
ц и я / ^ , со) с J |
J \f(t, со) J dt dP (со) < оо, что |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
п о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q ( S X ^ ) = |
|
j |
j f ( f , ö ) ö f ^ P ( c o ) . |
|
|
|
|
Л s
§ И |
РАЗЛОЖЕНИЕ |
Д У Б А - М Е Й Е Р А |
179 |
|||
Отсюда находим |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J (х, W)t öfP (со) == |
J |
J f ( s, со)ds dP(co), |
|
|||
и в силу произвольности |
множества |
А е ЗГТ |
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
(х, |
W)t = |
I f(s, |
со)ds |
(Р-п. н.) |
(5.16) |
|
|
|
о |
|
|
|
|
для всех t, 0 t ^ |
Т. |
|
|
|
|
|
Полученное представление (5.16) не есть еще требуемое представление (5.7), поскольку из проведенного доказательства
вытекает |
лишь, что функция f(t, со) является Щ0, т\ X ^ - и з м е |
||||
римой, и |
не |
вытекает, что |
при каждом |
фиксированном |
t она |
^-измерима. |
что на самом |
деле существует вариант |
функ |
||
Покажем, |
|||||
ции f(t, со), ^-измеримый при каждом t, |
(Напомним, |
||||
что производная Радона — Никодима f(t, |
со) определяется |
одно |
значно лишь Р-п. н.) Вытекает это непосредственно из следую
щего общего |
предложения. |
|
Л е м м а |
5.2. |
Пусть (й, ЗГ, Р) — полное вероятностное про |
странство и (ЗГt>, |
t ^ O , — непрерывное справа семейство а-под- |
алгебр ёГ, пополненных множествами из ёГ нулевой вероят
ности. Предположим, что $ |
X |
-измеримая |
функция |
F(t, со) |
||
являемся |
ёГг измеримой при |
каждом |
0 и Р-п. н. абсолютно |
|||
непрерывной, |
|
|
|
|
|
|
|
F(t, оо)= j |
f(s, со) ds, |
|
|
||
|
|
о |
|
|
|
|
где $ X |
-измеримая функция f{s, со) такова, |
что |
|
|||
|
Р j j I f (s, со) I ds |
< |
оо I = |
1, |
0. |
|
|
о |
|
|
|
|
|
Тогда найдется такая ЗГ(-измеримая при каждом |
t ^ O |
|||||
функция |
f (t, со), что |
|
|
|
|
|
|
о |
|
(Р-п. н.), |
t ^ O , |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р
180 |
КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
|
|
|
|
[ГЛ. 5 |
||||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Если |
функция |
f(t, со) |
непрерывна |
||||||||||||
Р-п. н. |
(по t ^ T ) , |
то |
можно |
взять f(t, a) = f(t, |
со). |
Действи |
||||||||||
тельно, в этом |
случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f(t, |
со) = lim F {t + A’ a )~ F{t' m)- |
|
|
|
(5.17) |
|||||||||
|
|
|
|
|
д*о |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и при |
каждом |
t ^ . T |
величины |
f(t, |
со) |
будут ^-изм ерим ы |
||||||||||
в силу непрерывности |
справа |
семейства F = |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если же функция f(t, со) не является непрерывной, то рас |
||||||||||||||||
смотрим последовательность непрерывных |
функций | fn (t, |
со)= |
||||||||||||||
— п Г e- 'l(<-s)/:(s, |
со)ds, |
п — 1, |
2, |
... і. |
Известно, |
что |
|
эта |
по- |
|||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
что с вероятностью 1 |
||||||
следовательность |
обладает тем свойством, |
|||||||||||||||
|
|
lim |
J I f(t, |
©) — fn(t> со) \dt = |
0. |
|
|
|
(5.18) |
|||||||
|
|
П->оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть f (t, |
со) — предел |
этой |
последовательности |
по |
мере |
|||||||||||
Я X Р. |
где Я — мера Лебега на [0, Г], и |
|
(t, со), Â = |
1, |
|
2, . - •}— |
||||||||||
подпоследовательность |
последовательности |
{fn(t, |
|
со), |
п — 1, |
|||||||||||
2, ...} , |
сходящаяся |
п. |
н. |
по мере Я Х Р к f |
(t, со). |
|
|
|
fn (t, со), |
|||||||
Покажем теперь, что при |
каждом |
t ^ |
Т величины |
|
||||||||||||
п — 1, |
2, . . . , |
а |
следовательно, |
и fnk (t, |
со), |
k = \ , |
2, |
. . . , и |
f (t, со) ^-измеримы. Для этого рассмотрим последовательность дифференциальных уравнений
x{tn) = — nxf~> nF (t, со), |
п = |
1 , 2 , . . . , х(0п>— 0. (5.19) |
Ясно, что величины |
|
|
t |
|
|
х ( п ) — п J е - п (t - s ) f ( S) |
t f g |
о
при каждом t Т ^-измеримы. Следовательно, таковыми же являются и величины х{пК
Покажем теперь, что x f ] — fn(t, со).
§ И |
|
|
РАЗЛОЖЕНИЕ ДУБА - |
МЕЙЕРА |
|
181 |
|||||
Действительно, из (5.19) и определения F(i, |
©) находим, что |
||||||||||
х[п) — n[F(t, |
©) — |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
s |
|
|
|
I |
f(s,(£>)ds — n J e~n{t~s) J |
f (и, ©) du ds |
|
||||||||
0 |
t |
|
|
|
0 |
|
0 |
t |
|
. |
|
г |
|
|
|
t |
|
, |
|
|
|||
I |
f{s, |
oo) ds — J / (s, |
со) j n I e~n<*-“>du J ds |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= n J e - n^-^f(s, a>)ds, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
что доказывает ^-измеримость (при каждом |
t ^ T ) величин |
||||||||||
fn(t, ©), п = |
1, |
2, |
... |
Наконец, |
из |
(5.18) |
следует, что |
||||
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
J I f (s, |
©) I ds = |
J I f{s, ©) |ds |
< |
oo |
(Р-п. и.), |
^ > 0 . |
|||||
о |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Лемма доказана. |
|
|
&) = |
(х, W)t, получаем требуе |
|||||||
Применяя эту |
лемму к F(t, |
||||||||||
мое представление (5.7). |
Остается |
лишь показать, |
что в этом |
||||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
представлении |
М J a2{s, |
a>)ds < |
oo. |
|
|
|
|
||||
Для с > 0 |
|
о |
|
©) = е-с I “ |
“) Ч a {t, ю) | |
и |
|
||||
пусть b(t, |
|
||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уі— \ e_c|a<s’“)lsign a(s, |
(o)dWs. |
|
|||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
Процесс У = {yt, g~t), t^.T, |
является квадратично интегрируемым |
||||||||
мартингалом, и по лемме |
5.1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
(X, y)t= |
I e_cla(s,“)lsigna(s, ©)d(x, |
W)s = |
|
|
|
||||
t |
о |
|
|
|
|
|
t |
|
|
e~cIa(5' 1[sign а (s, ©)] а (s, |
©) ds = |
b (s, ©) ds. |
|
||||||
= j |
J |
(5.20) |
|||||||
о |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
Ясно, |
что функция b — b(t, |
©), |
0 ^ t |
T, |
является |
неупре |
|||
ждающей, |
ограниченной |
(| b(t, |
© |
) |^ / ( < 00 |
Р-п. н.) и , следо |
||||
вательно, |
принадлежащей |
классу |
Шт (см. определение |
4 в § 2 |
|||||
гл. 4). |
По лемме 4.4 найдется |
последовательность |
простых |
182 |
|
КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
|
[ГЛ. S |
|||||||
функций bn{t, а>), |
п — 1, |
2 , . . . |
(соответствующих |
разбиениям |
|||||||
0 = t{o) < t\n)< . . . |
< t n ] = T, |
max | t f h |
— t\n) | -*• 0, |
n->oo), |
|||||||
таких, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I M| b(t, |
со) — bn(t, |
co) |2cft-*0, |
r t — > o o . |
|
|
|||||
Из |
очевидного равенства |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Л«) |
|
|
,(«) |
|
|
|
|
|
|
|
|
г/+і |
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
( o) = |
J |
ö |
(s, |
со) ds |
J [bn ( s , |
co) — |
b (s, |
m ) ] |
|
|
|
An) |
|
|
|
An) |
|
4 |
|
|
|
|
bn. ( t f , |
— |
|
|
4 |
4+1 |
|
|
|||
|
|
An) |
_ |
An) |
An) |
_ |
An) |
|
|
||
|
|
|
4 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
и^-измеримости функций bn{tf, со) следует, что
|
ds |
b n { t f , |
+ |
Обозначим
ds
bn(t, fi>) =
t f h - t f )
0
§ П |
РАЗЛОЖЕНИЕ ДУБА - |
МЕЙЕРА |
183 |
|
Тогда |
|
|
|
|
т |
п—I |
|
|
|
М I bl (t, <o) dt = |
М 2 bl |
со) [#>, - |
1¥>\ < |
|
|
/=О |
|
|
|
Лп)
7+і
|
J |
М Г 6 „ (S, |
|
Іп\ |
<- |
< 2 М J 5*(/, <о)Л + |
2М ^ — |
|
о |
/ = о |
Т |
Т |
|
|
^ 2М J b2n(s, |
со) ds -J- 2М J* [ö„(s, |
|
о |
|
о |
г
<а) — è ( s , со) I |
d s |
11
f(л)( _ fin)
со) — b(s, a)fds. (5.21)
|
Оценим сверху величину |
М J b2n(t, |
v>)dt. |
Из |
определения |
||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
функции 5„(/, со) и соотношения (5.20) получаем |
|
|
|||||||||
|
г7~ |
|
п - 1 |
JM j(x, |
- |
{X, у ) ф |
I |
jj* |
|
||
М J bl (t, |
со) dt = |
М |
/(я) |
_ |
fin) |
|
. |
(5.22) |
|||
о |
|
|
і=о |
|
7+1 |
|
7 |
|
|
|
|
Но |
при |
O ^ s |
< t ^ T |
в соответствии с (5.4), |
неравенством |
||||||
Коши — Буняковского |
и (4.49) |
|
|
|
|
|
|||||
М |
(М [(х, y)t-(x,y)s\$-s})2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
t — S |
|
|
|
|
|
|
n\ 2 |
||
|
t —s м I M |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(xt — xs) J e~c1a<“>a) 1sign a (и, <o) dWu \ |
|
|||||||||
|
|
' |
L |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
t — s |
M ( M [(x, — xsf I T s\ X |
|
|
|
|||||
|
|
XM |
( j |
ß -2c1a(к. <o) 11 sign а (и, |
со) |йн |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
< M [xt — xs]2 = |
Mx2 — Mx2 < |
Mx2. |
|||
|
Из этого неравенства и (5.22) получаем |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
П—1 |
|
|
|
|
|
|
|
М J bla, ©)df < |
2 |
м [•Х7„) |
— /(„)] = |
Мхг — Мхо < Mr < |
00, |
||||||
|
|
|
|
/=0 |
L 7+1 |
Ч J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
184 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 5
что вместе с (5.21) дает следующую оценку: |
|
||||||
т |
|
|
т |
т |
|
|
|
М J Ь2 (t, со) dt < |
2М I |
bl {t, со)dt + 2М J [Ья {t, |
со) — b (t, co)]2 dt < |
||||
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
< 4Ma2 + 6M J [bn (t, co) — b (t, co)]2 dt. |
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
Отсюда, |
переходя |
к |
пределу при п —>оо, |
находим, что для |
|||
любого с > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
г |
|
|
М J g-2CI |
а «, а» Іа2 ш) d t = |
|у| J Ь2 (t, |
ö) dt < 4M*2, |
||||
|
о |
|
|
|
о |
|
|
а значит, |
по лемме |
Фату |
|
|
|
||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
М J a2{t, со) dt |
4Мх^. < |
оо. |
|
||
|
|
|
о |
|
|
|
|
Теорема доказана.
§2. Представление квадратично интегрируемых мартингалов
1.Применим теорему 5.3 предшествующего параграфа для доказательства следующего важного результата о представлении квадратично интегрируемых мартингалов в виде суммы двух ортогональных мартингалов, один из которых есть стохасти ческий интеграл по винеровскому процессу.
Т е о р е м а |
5.4. Пусть семейство F — |
t ^ T , |
непрерывно |
|||||
справа, |
мартингал X — (xt, £Ft) е |
Жт и W = |
(Wt, ZTt) — винеров- |
|||||
ский процесс. |
Тогда существует такой F-согласованный процесс |
|||||||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
(a(t, со), |
STt) с М J |
a2 (s,(£>) ds< оо и мартингал Z={zt, SF() е / г, |
||||||
что для |
всех |
о |
|
|
|
|
|
|
t ^ T |
t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt = |
J a(s, a^dWs + Zt |
(P-п. h .). |
(5.23) |
|||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Мартингалы Z = |
(zt, |
t) и Y = |
(yt, |
t), где yt = J |
a (s, co) dWs, |
|||
ортогональны (Z1Y), t . |
e. |
|
|
о |
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
{z, |
y)t = 0, |
t< ,T . |
|
(5.24) |
§ 2] |
|
|
|
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МАРТИНГАЛОВ |
|
|
|
185 |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
По теореме 5.3 |
можно найти процесс |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a(t, со), |
t) такой, |
что М J |
a2(t, |
со) dt < оо и |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(х, |
W)t = |
J |
a(s, |
(o)ds. |
|
|
(5.25) |
|||
|
|
|
t |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим |
yt = |
I a (s, со) dWs |
|
и |
zt = xt — yt. |
Очевидно, |
что |
||||||||
Z — (zt, |
|
о |
и по лемме 5.1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x, |
y)t = |
J |
a(s, со)d(x, |
№ ).,= J |
a2(s, |
со)ds. |
(5.26) |
||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Поэтому |
<2 , y)t = |
{x — у , y)t = |
{x, |
y)t — (y)t = 0, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
T . e . |
Z 1 Y . |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е |
1. |
Если |
|
Ых2 = |
M J a2 (s, со) ds, |
то |
zt — 0 |
||||||||
(Р-п. н.), |
/ < Т, и |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
xt — J |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
a(s, |
K>)dWs. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
N\x2= M |
(zt + y ty = |
M z] + |
M y\. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но Мх2= М у 2= Ы J a2(s, ®)ds. |
Поэтому |
Mz^ — 0, |
и, следова- |
||||||||||||
тельно, zt — 0 |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(Р-п. н.), t ^ T . |
|
|
|
|
|
|
Wt — |
||||||||
З а м е ч а н и е |
2. |
Если |
в |
условиях |
теоремы |
5.4 |
|||||||||
= (Wi (t), |
. . . , |
Wn(t)) — л-мерный |
винеровский |
процесс |
относи |
||||||||||
тельно |
|
t ^ T , |
то |
аналогичным образом |
доказывается, |
||||||||||
что |
существуют |
Д-согласованные |
процессы |
(а* (5, со), |
! F S) |
||||||||||
с М |
а? (s, со) ds< оо, і == 1, ..., |
п, и мартингал Z = (z„ |
|
|
|||||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
такие, что |
|
|
/г |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х( = У^ {а . (s. и) с/Гг(s) + z,.
i=i a
186 |
КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ |
[ГЛ. 9 |
При этом
Пt
М |
( z t 2 J |
at (s, со) dWt (s) I = 0 , |
/ < |
T. |
|
i=1о |
|
|
|
2. Всякий |
случайный процесс X — (xt, &~t), |
t ^ T , вида |
||
|
t |
т |
|
|
xt = J a (s, |
co) dWs, M j a2 (s, to) ds < |
oo |
||
|
о |
о |
|
|
является квадратично интегрируемым мартингалом. Справедлив в определенном смысле и обратный результат.
Т е о р е м а 5.5. Пусть W = {Wt, STY) — винеровский процесс, t ^ T , и Мт — класс квадратично интегрируемых мартингалов
X = (xt, &~¥) с |
sup Мх? < |
оо |
и траекториями, |
непрерывными |
|||||||
|
4 |
' |
Г |
|
ѴР |
|
|
|
( |
|
w\ |
справа. |
Тогда, если X е |
|
|
|
|
|
|||||
Мт >то найдется процесс (f(s, |
со), @~s ), |
||||||||||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s ^ . T , с |
М J /2 (s, со) ds < |
оо |
и такой, что для |
всех t |
|
|
|||||
|
|
о |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt ~ x о + |
J |
f i s><ü)dWs |
(Р-п. н.). |
|
|
(5.27) |
|||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Прежде всего отметим, что |
(попол |
||||||||
ненная) |
система |
ст-алгебр Fw— {@~Y), |
t ^ . T , |
непрерывна |
(тео |
||||||
рема 4.3). По теореме 5.3 |
|
t |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{х, |
W)t — j f (s, со) ds, |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
Где |
f(s, |
со) ^F f-измерима, |
Положим xt — xt — х0. |
Ясно, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
что |
X = |
(xt, ! F Y ) ^ M t |
и |
{х , |
W)t = J f(s, со) cis. |
Тогда |
по тео* |
||||
реме 5.4 |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xt = |
j |
f (s, со) dWs + |
zt, |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
№zt J f (s, co) dWs = 0, |
t < |
T. |
|
|
|
|
|
|||
|
о |
|
|
|
|
случае |
zt — 0 |
(Р-п. н.) |
|||
|
Покажем, что в рассматриваемом |
||||||||||
для |
всех t ^ T . |
Поскольку при каждом t величины zt |
^ "f-из |