книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы
.pdf§ 4] |
СОХРАНЕНИЕ |
СУПЕРМАРТИНГАЛЬНОГО СВОЙСТВА |
57 |
||
З а м е ч а н и е . |
Для |
равномерно |
интегрируемого |
мартингала |
|
X = (хп, |
п), |
1, свойство (2.24) остается выполненным и без |
|||
предположения, |
что Р ( т ^ с г )= 1 . |
А именно, ха= М {хх |@~а) |
|||
({т^а}, |
Р-п. н.), |
т. е. |
|
|
|
|
|
ХоА%= М(.Ѵх \&~„) |
(Р-П. н.). |
(2.25) |
|
§ 4. Сохранение супермартингального свойства |
|||||
для марковских моментов. Разложения Рисса |
и Дуба |
1.Обратимся к аналогам теоремы 2.1 для полумартингалов.
Те о р е м а 2.10. Пусть X = (хп, ,9~п), п ^ \ , — супермартин
гал, мажорирующий некоторый регулярный мартингал, т. е. пусть для некоторой случайной величины т) с М 1п | < °о
|
> М (ц |^Д), |
1 |
(Р-п. н.). |
(2.26) |
Тогда, если Р(сг |
т < о о ) — 1, то |
|
|
|
|
ха^ М ( х х\$~а) |
(Р-п. н.). |
(2.27) |
|
З а м е ч а н и е . |
Отметим, что утверждение теоремы остается |
|||
в силе и без предположения, что Р (т < |
оо) = 1. Соответствующее |
обобщение, опирающееся на приводимое далее разложение Рисса, будет дано в теореме 2.12.
Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы |
2.10. |
Поскольку хп= |
|
= М (ті|^„) + [л:„— M(ri|Sr „)] |
и (g„, |
STn), %ѣ= хп — М (ті|^„), |
|
n ^ l , — неотрицательный |
супермартингал, |
то, принимая |
во внимание теорему 2.9, видим, что (2.27) достаточно доказать
лишь для |
случая, |
когда |
х „ ^ 0 |
(Р-п. н.). |
положим |
xk — x / \ k . |
|||||||||
Покажем, |
что |
Мл:т < оо . |
|
Для |
этого |
||||||||||
Тогда |
^ |
Мх, |
(следствие |
1 |
теоремы |
2.1), |
и |
поскольку |
|||||||
Р (т < оо )= 1, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ХХ ~ ХХ' 7{t <оо} ~ |
|
• %{Т<оо}] • |
|
|
||||||||
Поэтому по лемме |
Фату |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
М х |
т |
< |
l i m |
|
Щ х г — М х , < |
о о . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
---- |
|
н |
* |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
R |
|
|
|
|
|
Рассмотрим теперь |
|
моменты |
xk = x / \ k , |
ak = |
a f \ k . Для |
||||||||||
них |
согласно |
теореме 2.1 |
x0k ?> М [x%k| @~0k) |
и, |
следовательно, |
||||||||||
если |
А е |
@~а, |
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J x„k d P > |
J xXkdP, |
|
|
||||||||
|
|
|
ЛП{ч<й} |
|
|
|
ЛП{ог<й) |
|
|
|
|
||||
поскольку |
А П {о < |
k) е= @~ак. |
|
|
|
|
|
|
|
58 |
|
|
|
|
|
|
МАРТИНГАЛЫ |
|
|
|
ГГЛ. 2 |
||||
Событие { а < £ } э { т < & } , |
a |
^ > 0 |
(Р-п. н.). |
Значит, |
|
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
J |
x0kd P > |
|
J |
xXkdP. |
(2.28) |
|||||
|
|
|
|
ЛП{ст<й} |
|
|
Л(1(і<6) |
|
|
|
|
||||
Но xak — x0 на |
множестве |
{ст<&} и xXk -—хх на {т ^ k}. Отсюда |
|||||||||||||
и из (2.28) |
находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
J |
xad P ^ |
|
J |
хх dP. |
(2.29) |
|||||
|
|
|
|
Л Л ( і < 6 } |
|
|
n n { t < f e } |
|
|
|
|
||||
|
Полагая |
в (2.29) |
/г-*оо, получаем |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
f |
ха dP > |
|
[ |
хх dР, |
|
|
||||
|
|
|
|
А П {<7 < |
°°) |
|
|
А Л {т < |
°°} |
|
|
|
|
||
поскольку Р(ст < о о ) — Р(т < |
о о ) |
= 1. Теорема доказана. |
|
||||||||||||
|
2. |
Для доказательства |
аналога |
теоремы |
2.10 без предложе |
||||||||||
ния конечности |
моментов |
т и а |
будет использовано так назы |
||||||||||||
ваемое разложение Рисса для супермартингалов. |
|
||||||||||||||
|
О п р е д е л е н и е |
4. |
Неотрицательный |
супермартингал Г1 = |
|||||||||||
= |
(Яд, &~п), |
n ^ |
1, называется |
потенциалом, |
если |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Мя„->0, |
п ' >о о . |
|
|
|
|
|||||
|
Заметим, что поскольку для потенциала sup |
Мл] < |
о о , |
||||||||||||
то |
существует |
1 ітяд( = я 00) |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|||||
и Мя^ < П іт Мя„ = 0, откуда еле- |
|||||||||||||||
дует, |
что ято = |
П |
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
||
0 (Р-п. н.). |
|
|
Рисса). |
Если |
супермартингал |
||||||||||
|
Т е о р е м а |
2.11 |
(разложение |
||||||||||||
Х = (хп, £Г„), |
n ^ |
1, |
мажорирует |
некоторый |
субмартингал |
||||||||||
Y = (Уп> &~п)> п ^ 1, |
то найдутся мартингал М = |
(пгп, @~п), п ^ |
1, |
||||||||||||
и потенциал П — (пп,&~п), |
п ^ \ , |
такие, что для каждого п |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
хп == win -j“ я„. |
|
|
|
(2.30) |
|||||
|
Разложение |
(2.30) единственно |
(с точностью до стохастиче |
||||||||||||
ской |
эквивалентности). |
|
Положим |
для каждого п~^ 1 |
|
||||||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
|
|||||||||||||
Тогда |
Хп, р == М (Хр+р I & ~п)> |
Р |
|
1) • • • |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Хп, р+1 М (хп ір+1 I п) ^ М (хп+р\ |
п) = Хп>р, |
|
т. е. для каждого п ^ 1 последовательность {хп<р, р — 0, 1, ...} является невозрастающей. Поскольку, кроме того,
Хп, р М { х п + р I п) ^ М(Уп+р I&~п) ^ Упі
§ 4] |
СОХРАНЕНИЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЬНОГО СВОЙСТВА |
59 |
|
то существует |
lim *„,p(=m „) и хп ^ т п^ уп (Р-п. н.). Значит, |
|
МI тп I < |
оо и |
р->СО |
|
||
M(Wn+i |
= |
М ( lim x„+i, р \ Т п) = lim М (хп+и р \9~п) = |
р -> оо р - > со
|
|
= |
lim М (хп+)+р| $~п)= |
|
lim |
М {хп, р+і | 5Г„) = |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
р -> оо |
|
|
|
|
|
|
|
р~> оо |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
— М ( lim лг„, р+1 |^ ) = М ( т „ 1 5 гр) = |
/п„. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р -> |
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, М — (тп,@~п), |
|
|
1, |
— мартингал. |
|
^ |
т„, |
то я„ ^ |
0. |
||||||||||||
Положим теперь я„ = |
|
— т„. Поскольку |
|||||||||||||||||||
Ясно также, что П = |
|
(я„, #"„), |
п ^ І , |
— супермартингал. |
Оста |
||||||||||||||||
лось, |
следовательно, |
|
показать, |
что ПтМя„ = 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||
Согласно определению |
тп, |
я ^ |
П |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
І , |
Р-п. н. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
М ( я п ц_р I @~п) |
М [ х п + р |
|
НТ-п+р I & ~п\ = = |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
' |
|
|
=== М \Хп+р \&~п\ |
|
Щ/г == Хп, р |
Win \ 0, |
р |
>ОО. |
||||||||||||
Поэтому по теореме |
1.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пт Мя„+Р = |
Пт |
|
Г я„+р0Р = |
Нт |
Г |
М (я„+р \9~п) dP = |
0. |
|
|||||||||||||
р -¥ со |
|
|
р |
оо |
" |
|
|
|
|
р |
оо |
" |
|
|
|
|
|
|
|
||
Установим теперь |
|
единственность |
разложения (2.30). |
Пусть |
|||||||||||||||||
хп = |
тп -\- пп— другое |
разложение того же типа. Тогда |
|
|
|||||||||||||||||
М [хп+р I |
п] = |
М [пгп+рI &~п1 + М [Лп+рI &~„] — |
-f |
М [я„+р| ^ |
„]. |
||||||||||||||||
Но при р-> |
оо Р-п. н. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
M[*n+p|0"n]-*m„, |
|
М[^га+р і з м - о . |
|
|
|
|
||||||||||||
Поэтому |
тп = |
тп, а я„ = |
я„ (Р-п. н.) |
для |
всех я ^ 1. |
|
|
|
|||||||||||||
3. |
|
Применим |
разложение |
|
Рисса |
для |
доказательства сле |
||||||||||||||
дующего предложения, обобщающего теорему 2.10. |
|
|
|
||||||||||||||||||
Т е о р е м а |
2.12. Пусть |
|
X = |
(хп, ЗПп), |
я ^ І , |
-—супермартин |
|||||||||||||||
гал, |
мажорирующий |
|
некоторый |
регулярный |
мартингал |
(хп ~^ |
|||||||||||||||
^ М (ті|^ '„ ) |
Оля некоторой случайной |
величины rj |
с М | г) | < |
оо, |
|||||||||||||||||
1, Р-п. н.). |
Тогда, |
есл« Р (т ^ а )= = 1 , |
то Р-п. н. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
*ст> М (* т| ^ а). |
|
|
|
|
|
(2.31) |
|||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Представим хп в виде хп= М (л| Ѳ~Р)+ |
|
|||||||||||||||||||
где |
$„= |
хп — М (лі &~п). |
Супермартингал |
Z = (j„, #"„), я > 1 , |
|||||||||||||||||
согласно |
теореме |
Рисса |
допускает |
разложение |
$„ = |
/п„ + |
я„. |
||||||||||||||
Заметим, |
что |
в |
качестве |
тп |
можно |
взять |
M |
^ l ^ ) , |
где |
||||||||||||
5оо = |
1 іт?«> |
а |
Пп |
взять |
равным |
|
|
М ( J j У п). Поэтому хп = |
|||||||||||||
~ М (л + |
|
1&~п) + я„. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
МАРТИНГАЛЫ |
[ГЛ. 2 |
Мартингал (М (г| + |
J j | #Д), га>1, |
регулярен, и к нему при |
менима теорема 2.9. Поэтому достаточно лишь установить, что
л0 > М (ят \ &~а). |
в теореме |
2.10, |
для |
всякого |
|
||||
Как |
показано |
|
|||||||
|
|
|
J |
па dP ^ |
I |
nxdP. |
|
||
|
|
|
А П [а < |
со} |
|
А Л [т < |
°°) |
|
|
Учитывая |
теперь, |
что яте = |
0 (Р-п. н.), |
получаем |
|
||||
|
|
|
|
) я0 dP ^ |
j я,гіР. |
|
|||
|
|
|
к |
|
|
|
А |
|
|
Вместе с теоремой |
2.9 |
это неравенство доказывает (2.31). |
|||||||
4. |
|
О п р е д е л е н и е |
5. |
Случайный процесс Ап, п = 0, 1, . . |
|||||
заданный |
на вероятностном |
пространстве (й, £Г, Р) |
с выделен |
||||||
ным на нем неубывающим семейством а-алгебр |
... |
||||||||
. . . s |
, |
называется возрастающим, |
если |
|
|||||
1) 0 = |
Л0< Л , < ... |
(Р-п. н.), |
|
|
|
инатуральным, если
2)Ап+і ^"„-измеримы, п = 0, 1, ...
Те оре ма 2.13 (разложение Дуба). Всякий супермартингал*)
Х = (хп,@~п), 0, допускает единственное (с точностью до стохастической эквивалентности) разложение
|
|
хп = пгп — Ап, п > |
0, |
(2.32) |
где М = |
(тп, £Гп), |
п ^ О , — мартингал, |
а Ап, п ^ О , |
— нату |
ральный |
возрастающий процесс. |
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Одно из разложений типа (2.32) полу |
||||
чается, если положить |
|
|
||
|
m0 = x0, |
mn+i — пгп = хп+1 — М (xn+l \tFn), |
|
|
|
Л = 0, |
Ап+1 — Ап = х п— М (хп+, ISTJ . |
(2‘33) |
Пусть теперь есть еще одно разложение: хп — т ' — А ', п ^ О .
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
Л*+і ~ |
А'п = « + і - О + (хп - хп+1)- |
(2-34) |
|||
Отсюда, |
учитывая, |
что А'п и А'п+1 |
^„-измеримы, |
находим (беря |
||
в (2.34) |
условное |
математическое |
ожидание М ( • I S'«)) |
|
||
|
Ап+і |
Ап хп м {Хп+І l&~tг) == Ап+1 |
Ап. |
|
Но А ' = А0 — 0, поэтому А'п = Ап, т ' = тп, я > 0 (Р-п. н.).
*) Здесь удобнее (имея в виду последующие применения к случаю непре рывного времени) рассматривать супермартингалы, определенные для п ^ О (а не для 1, как было ранее).
§ 4] |
СОХРАНЕНИЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЬНОГО |
СВОЙСТВА |
6! |
|
С л е д с т в и е 1. Если |
П = (я„, &~п), п ^ О , — потенциал, |
то |
||
существует |
натуральный |
возрастающий |
процесс Ап, п = О, |
|
1........ такой, что |
|
|
|
я„ = М 0 4 J &"п) — Ап,
где Л ^ ^ Н т Л ,,.
|
П |
|
|
|
|
|
т „ — Ап, где (тп, £Гп) — |
||||
Действительно, согласно теореме я„ = |
|||||||||||
некоторый |
мартингал. |
Покажем, что тп — М (Л^І @~п). |
Имеем |
||||||||
0 < Ап = тп — |
|
|
и |
0 < Л „ < Л оо, |
где |
МЛте = lim МЛ„ = |
|||||
— П т [Ыт0— МяД = |
|
|
|
|
|
П |
|
|
|||
Мт0< оо. Поэтому последовательность Л0, |
|||||||||||
П |
|
|
|
интегрируема. Величины я0, л {, ... |
также |
||||||
Л1, . . . равномерно |
|
||||||||||
равномерно интегрируемы, |
поскольку я „ ^ 0 |
и Мя„->0, |
/г-> оо. |
||||||||
Отсюда |
вытекает, |
что |
такова же и последовательность |
т0, |
|||||||
ти ... |
Из теоремы |
2.7 |
получаем, что существует moo = |
limm„, |
|||||||
причем |
тп = М(тоа\ @~п). |
|
|
|
|
П |
|
||||
Обозначим я^ — іітя „. Тогда я00 = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
Лм |
= lim [тп— Ап] = tn^ — Ах . Но я^ = 0 (Р-п. н.), поэтому т„ = |
|||||||||||
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Р-п. н.). Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
пп = тп — Ап = |
М (m^ I Т п) — Ап = |
М(Л*, | Т п) — Л„. |
|
||||||||
С л е д с т в и е . |
2. |
Если |
супермартингал |
Х — {хп,9 гп), |
п ^ О , |
||||||
мажорирует |
некоторый |
субмартингал |
Y — {yn,&r^), |
п ^ О , |
то |
||||||
существует |
натуральный |
возрастающий |
процесс Ап, |
п ^ О , и |
|||||||
мартингал (тп,@~п), |
п ^ О , |
такие, что |
|
|
|
|
|
||||
|
х„ = пгп -\- М(Лоо|^"„) — Ап, |
0 |
(Р-п. н.). |
|
(2.35) |
Доказательство сразу следует из разложения Рисса (2.30)
ипредыдущего следствия.
5.Натуральный процесс Ап, п — 0, 1, . . . . по определению является #'„_,-измеримым (а не только ^„-измеримым) при каждом n ^ 1. Этому допущению можно придать несколько иную, но эквивалентную формулировку, оказывающуюся более
удобной в |
случае |
непрерывного времени (см. § 3 в гл. 3). |
||
А именно, |
пусть 0 = |
Л0 ^ |
А, |
. .., где случайные величины А„ |
STп измеримы и МЛ^ < |
оо. |
|
Т е о р е м а 2.14. Для того чтобы Ап были &~п- г измеримыми, п ^ \ , необходимо и достаточно, чтобы для каждого ограничен
ного мартингала Y = |
(уп, @~п), |
п = 0, 1, |
... , |
|
оо |
У п - 1(Л„ |
Л„_і) = |
Мг/^Л^, |
|
м 2 |
(2.36) |
|||
n=l |
|
|
|
|
где Уоо = [ІтУп-
п
62 М А РТИНГАЛЫ [ГЛ. 2
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Н е о б х о д и м о с т ь . Пусть Ап |
п-гиз- |
||||||||
меримы, |
МАХ < |
оо. Тогда, поскольку |
|
|
|
|
||||
то |
|
|
Щ |
п А ѣ = Щ п - \ А п , |
|
|
|
(2-37) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
М 2 У п - \ ( А п — Л„_,) = |
l i m М 2 у п - і ( А п — Л„_,) = |
|
||||||||
ГС=1 |
|
|
|
N-*oo |
п—1 |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
l i m |
2 [Мг/„Л„— |
|
l i m Мг/Ид, = |
М ^ Л ^ . |
|||||
|
N->oo п=1 |
|
|
|
|
іѴ-> оо |
|
|
||
Д о с т а т о ч н о с т ь . Пусть |
выполнено (2.36). |
Тогда |
|
|||||||
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м 2 |
Л„ [Уп-\ — Уп\ = 0 |
|
|
(2.38) |
||
|
|
|
|
П=1 |
|
|
|
|
|
|
для любого |
ограниченного |
мартингала |
Y = (yn,3Tn), |
п ^ О . |
||||||
•Воспользуемся |
теперь |
тем |
фактом, |
что |
если |
Y = |
(yn,&~n), |
|||
п ^ О , — мартингал, |
то |
«остановленная» |
последовательность |
|||||||
(Упа-і’ ^ |
п)’ |
|
также будет мартингалом для любого мар |
|||||||
ковского момента т (см. далее теорему 2.15). Беря |
т = 1 и |
|||||||||
применяя (2.38) |
к мартингалу (упАр@~п)> получим, что |
|||||||||
|
|
|
|
М А Л У о - у д ^ О . |
|
|
|
(2.39) |
||
Аналогичные |
рассуждения |
с т = 2, |
т = |
3, и т. д. приводят |
к тому, что если справедливо (2.38), то тогда имеют место
равенства |
(2.37) |
для |
любого |
ограниченного мартингала F — |
|||||||
==(Уп, &~п), |
tt> 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Из (2.37) следует, что |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
М {\уп - |
*/„_,] [Л„ - |
М (Л„( 0V ,)]} = 0. |
(2.40) |
|||||
Положим уп+т = Уп, |
т > 0 , |
|
|
|
|
|
|||||
|
Уп — sign [Л„ — М ( А п \&~„_[)], |
Ук = |
М(Уп\$~к), |
k < n . |
|||||||
Тог'да из (2.40) находим |
|
|
|
|
|
||||||
о = |
М {sign [ А п - |
М ( А п |
\ P n - i ) ] - У п - і ) { А п - |
м ( А п |
= |
||||||
|
= |
М {sign [ А п - |
М ( А п І0Ѵ.,)]} { А п - |
М ( А п |Г„_,)} = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= М | Л „ - М ( Л ге| ^ _ , ) | , |
|||
откуда |
А п — М ( А п |
|
(Р-п. |
н.), |
т. е. |
А п ^ ’„_1-измерлмы. |
|||||
6. Т е о р е м а |
2.15. |
Пусть |
Х — (хп, &~п), |
1, — мартингал |
|||||||
(полумартингал) |
и т = |
т(ю) — м. м. |
относительно системы (&~п)> |
||||||||
п ^ |
1. Тогда «остановленная» |
последовательность (хпАХ, @~п), |
|||||||||
п~^ |
1, также является мартингалом (полумартингалом). |
§ 4] СОХРАНЕНИЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЬНОГО СВОЙСТВА 63
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Достаточно |
доказать |
теорему |
для |
|||
случая, когда X является супермартингалом. Из |
равенства |
|
|||||
^ х А п |
^ |
^ т^{ Х—т) |
х > л} |
|
|
|
|
|
|
т < п |
|
1 |
|
|
|
следует, что величины хХап ^-измеримы , интегрируемы |
при |
||||||
любом п = 1,2, ... |
и х Х А ( п + ] ) - |
хтЛга = %{х>п) ( х п+1 - |
Х п ) . |
Поэтому |
|||
М [ххМп+1) - |
хХАп I ЗГп) = Х(х>п)М (хя+1 - *„ I Г п} < |
О, |
|
откуда очевидным образом получаем утверждение теоремы. Заметим также, что эту теорему можно было бы непосред
ственно вывести из (2.5) (для супермартингала). Действительно, беря в (2.5) а = т и вместо т беря тДм, находим что Р-п. н.
Хх л т = Х і х Л п ) Л т > Щ Хх Л п \ Я ~ т>
|
|
|
|
Г Л А В А |
3 |
|
|
|
|
|
МАРТИНГАЛЫ И ПОЛУМАРТИНГАЛЫ. |
|
|||||||
|
|
НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ |
|
|
|||||
|
§ 1. Непрерывные справа полумартингалы |
|
|||||||
t ^ |
1. Пусть (О, , Р) — вероятностное пространство и F = (&~t), |
||||||||
0, — неубывающее семейство о-подалгебр |
|
О |
|||||||
|
О п р е д е л е н и е |
1. |
Супермартингал |
Х — (х{, @~t), |
|||||
(М |Х ;|< оо , |
М (xt \&~s) ^ |
xs, |
t ^ s ) |
называется |
непрерывным |
||||
справа, если |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) траектории xt непрерывны справа Р-п. н.; |
т. е. |
|
||||||
|
2) семейство (SFt), |
ti^O, |
непрерывно справа, |
|
|||||
|
|
|
= |
|
s > t |
t > 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Многие из результатов предыдущей главы переносятся |
на |
|||||||
непрерывные |
справа супермартингалы и субмартингалы (т. |
е. |
|||||||
на |
полумартингалы). |
всего |
один полезный |
результат, дающий |
|||||
|
Приведем |
прежде |
|||||||
условия существования у супермартингала |
X — (xt,!F t), |
0, |
|||||||
непрерывной |
справа |
модификации. |
|
|
0, непрерывно |
||||
|
Т е о р е м а 3.1. Пусть семейство F = (£ГД |
||||||||
справа. Для |
того чтобы супермартингал |
X — (xt, £Tt), |
0, |
допускал непрерывную справа модификацию, необходимо и
достаточно, |
чтобы функция mt = M x t, |
0, |
была непрерывной |
справа. |
|
|
|
Для доказательства нам понадобится следующая. |
|||
Л е м м а |
3.1. Пусть X = (xt,£ Tt), |
t ^ 0 , |
— супермартингал, |
для которого существует такая интегрируемая случайная вели
чина у, что xs ^ M ( y |
|£%) |
Р-п. н., s ^ 0. |
Пусть т, ^ |
х2^ |
.. . — |
|
невозрастающая последовательность марковских моментов. |
Тогда |
|||||
семейство случайных |
величин {.хХп, п = |
1, 2, |
...} |
равномерно |
||
интегрируемо. |
|
Положим уп — хХп, |
|
$ГХп. |
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
= |
Тогда |
||||
по теореме 2.10 хХп ^ |
М (хХп_11@~хп) или, |
в новых обозначениях, |
У п > М ( У п - і 1 % ) . |
(3.1) |
§ П |
НЕПРЕРЫВНЫЕ СПРАВА ПОЛУМАРТИНГАЛЫ |
|
65 |
|||||||||
Отметим для дальнейшего, что |
Млг0 ^ |
Муп> |
Шуп- \ > |
Мг/. |
||||||||
Возьмем |
теперь |
е > 0 |
и |
найдем |
такое k~k(e), |
что |
||||||
lim Муп — Му* < е . Тогда |
для |
всех t i ^ k |
|
Муп — Myk < е. |
|
|||||||
П |
|
(3.1) |
для |
|
k |
|
|
|
|
|
||
Далее, в силу |
|
|
|
|
|
|
||||||
j \y n \d P = |
|
f |
yndP — |
J |
yndP = |
|
|
|||||
{\yn\> x) |
|
{yn>K) |
|
|
{»„<-*■} |
|
|
|
|
|
||
|
= My„ — |
|
J |
yn dP — |
J |
|
yn dP < |
|
|
|||
|
|
|
|
j |
|
г/А GfP — |
J |
ykdP^ |
|
|
||
|
|
|
(Уп<И |
|
{Уп<-Ц |
|
|
|
|
|||
< e + M y k — |
I |
y k d P ~ |
|
[ |
yfec f P < e + |
[ |
| y k |rfP. (3.2) |
|||||
|
{»».<*} |
|
|
{»n<-4 |
|
|
{| »„]>*} |
|
|
|||
Ho |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м \Уп \ |
^ |
МУп + 2МУп ^ |
|
+ 2M I У |
|
|||||
Р { \ У п \> Ц < |
к |
|
^ |
|
К |
|
|
к |
|
|
||
при Л —> оо. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sup |
|
( |
\y k \dP-*0, |
X-».00, |
|
|
|||||
|
«> ft ,, |
•L |
|
|
|
|
|
|
|
|
и, значит, согласно (3.2)
lim sup 1 _ и Я-“>V оо П^ fe
JГ I Уп \dP <ie. |
(3.3) |
(1 У п \ > 4
Поскольку величины |
y u . . . , |
yk интегрируемы, то |
для |
дан |
||||||||||
ного е > |
0 |
найдется такое L > |
0, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
max |
f |
I |
Уі I dP < |
|
e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{\»i\>L} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вместе c (3.3) это влечет за собой |
равномерную |
интегри |
||||||||||||
руемость |
последовательности |
г/ь |
у2, ... |
Лемма |
доказана. |
со |
||||||||
З а м е ч а н и е . |
Если |
Р (т 1^ А г) = 1 , |
N < o o , |
то |
лемма |
|||||||||
храняет свою силу без предположения |
|
xs ^ |
М (г/ \@~s)> s!>0, |
|||||||||||
поскольку |
тогда |
достаточно |
рассматривать |
лишь |
s е [О, |
Л/], |
||||||||
а для таких s |
М (у \&~s) с у=*хN, Ml xN | < |
оо. |
|
tu |
t2, |
... — |
||||||||
2, |
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы |
3.1. |
Пусть |
||||||||||
числовая |
|
последовательность |
такая, что |
^ ^ |
t2^ |
• • |
• ^ |
tn I t> |
3 Р. Ш Липцер, А. Н. Ширяев
66 |
МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ) |
[ГЛ. 3 |
п-* оо. По предшествующей лемме величины (xtn, п = 1, 2, ...) равномерно интегрируемы, и поэтому из неравенства
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Р-п. н.) |
|
|
|
(3.4) |
||
получаем (теорема |
1.3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
xt > M ( x t+\&'t) |
(P-п.п.), |
|
|
|
(3.5) |
|||||||
где *) xt+ = |
lim Xfn. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Согласно |
|
tl |
|
|
|
|
^~t = |
Srt+, а xt+, очевидно, |
@~{+- |
||||||
|
предположению |
|
|||||||||||||
измеримо. Поэтому из (3.5) следует |
равенство Р (xt ^ xt+) == 1. |
||||||||||||||
Предположим теперь, |
что mt = mt+, т. е. Мл:, — Млу+. Тогда |
||||||||||||||
из равенства Р (лу ^ х,+) = |
1 |
сразу следует, |
что Р (xt = xt+) = 1. |
||||||||||||
Тем самым, |
у супермартингала X = (xt, SFt), |
|
0, |
существует |
|||||||||||
модификация |
Х + — (xt+, |
|
t), |
0, |
|
траектории |
которой, |
оче |
|||||||
видно, непрерывны справа с вероятностью 1. |
|
|
|
|
|||||||||||
Пусть теперь у супермартингала |
X — {xt, 5Гt), t ^ O , суще |
||||||||||||||
ствует |
непрерывная справа |
модификация |
Y = |
(yt, tFf), |
0. |
||||||||||
Тогда, |
поскольку |
P(xt = yt) = l , |
|
0, то |
Mxt = |
Myt, |
и по |
||||||||
лемме 3.1 |
|
lim M(/s = |
М lim ys == Мyt+ — Мyt. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
s-^t |
|
|
s^t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Иначе говоря, |
математическое |
ожидание |
tnt = |
M.v, ( = |
Myt) |
||||||||||
непрерывно |
справа. |
|
мартингал |
X = (xt,&~t), |
^~t — SFt+1 |
||||||||||
С л е д с т в и е . |
Всякий |
||||||||||||||
0, |
допускает непрерывную |
справа |
модификацию. |
|
|||||||||||
З а м е ч а н и е . |
В теореме 3.1 предположение о непрерыв |
||||||||||||||
ности |
справа |
семейства |
|
F = |
{@~t), |
і ^ О , |
является |
существен |
ным. Если оно не выполнено, то для существования непре
рывной |
справа |
модификации у супермартингала |
X = |
(xf,3?~t), |
|
0, |
достаточно, например, чтобы процесс |
хь |
0, |
был н |
|
прерывным справа по вероятности в каждой точке |
t, |
т. е. |
|||
чтобы P-lim xs = |
xt. |
|
|
|
|
|
s-^t |
|
|
|
|
§ 2. Основные неравенства. Теорема сходимости. Сохранение супермартингального свойства
для марковских моментов
1. Т е о р е м а 3.2. Пусть X — (xt,$~t), t ^ T , — субмартингал непрерывными справа траекториями. Имеют место следующие
*) Существование Р-п. н. предела |
lim x f |
вытекает из теоремы 2.6, |
|
поскольку последовательность (л, |
t ), |
п — I, 2, |
.... образует субмартингал. |