Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 7123 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

§ 51

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

МАРТИНГАЛОВ

217

Т е о р е м а

5.15. Рассмотрим случайный

процесс

(gt (со,©),

P l X S T t ) ,

1. Если

М X М I

g2t (со, а) dt <

оо

(5.102)

(М X М — усреднение

по

мере

Р X Р),

то для каждого t, 0 <

^ 1,

Р-п. н.

L°

gsJК 5) dws (со)

dp (со) =

Jgs (со, 5) dP (5)

сЛГ, (со).

l<7

(5.103)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Обозначим

xt (со, со) = Jt

(со, со) dWs (со)

и положим

Ws(wy (b )~ W s (со).

Тогда,

используя

конструкцию

стохастического интеграла,

изложенную

в гл. 4, можно так

определить

интеграл

gs(со,

й)

(ю)»

чтобы

он

совпадал

Jt gs (со, 5>)dWs (<o, ш), кото-

Р Х Р ’П. н.

с интегралом

л;,(со,

й ) =

рый SFt

X £Ггизмерим.

Нетрудно показать,

что Р X Р-п.

н. | лгДсо,

&)dP(S>) является

одним

из

вариантов

условного

ожидания

математического

М X М [xt (со,

ш) I@~Т],

т.

е.

М X М [xt (со, со)I &~f\ — J

xt (со, S) dP (б)

(Р X Р-п. н.).

Аналогично

М Х М [g,(oo, ©)| t

Y\ — J

gt (ö, ö)dP(5)

(Р Х Р -п . н.).

218 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 5

Поэтому, учитывая (5.97), находим (Р X Р-п. н.)

j xt (со, ö ) dP (ö ) = M X	M \xt (со, &) 13rf\ =
= M X M	&)dWa(a>) \3- w
= M X M	J gfsK â)dWs(®, ö)\| ST

= j M X M [gs (со, ö) I T j \ dWs(со, 5) =

gs ((0, Ö) dP (ö) dWs (©, ©) = I J g-s (©, ö) dP (ö)

Это и доказывает (5.103), если только заметить, что ST\№

= ^ - Г х ( 0 , 0).

			§ 6.	Структура функционалов
		от процессов диффузионного типа
	1. Из теоремы 5.5 следует,						что всякий квадратично				инте
грируемый		мартингал X — (xt, & ~ Y ) ,							где STf — а-алгебра,
порожденная значениями винеровского процесса Ws,
допускает		представление					t
							t
				X t = *о + J f s				(©) d W s
						0
								T
с процессом f =			(Js (a),		)	таким,		что j	M/2(o>)ö?s < oo.
								о
	В настоящем параграфе этот результат, а также теоремы 5.7,
5.8	будут	распространены				на	мартингалы			X = (xt,&~\), где-
\| =	(і/, 8Хt), t ^ T ,			является		процессом			диффузионного		типа
с дифференциалом
				dlt =	at {l)dt +			bt {l)dWt.			(5.104)
	Будет показано, в частности, что (в предположениях, сфор
мулированных			ниже) всякий				квадратично			интегрируемый

§ 61	СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ				219
мартингал	X = (xt,3T\) допускает представление
	t
Хі = х0+ J fs(®)dWs			(Р-п. н.),	0 < / < 7 \	(5.105)
	о
с процессом / = (fs (со), ^~\|),		s <	Т, таким,	что
	t
	М I	fj(co) ds < оо.
	о

2.Начнем с рассмотрения частного случая уравнения (5.104).

Т е о р е м а 5.16.	Пусть	процесс	\| = (g„ STt) является		(силь
ным) решением уравнения		t
		t
	h = U + I bs(l)dWs,				(5.106)
		0
где неупреждающий функционал*)			b — (bt (x),	3&t), t ^ . T ,	пред
полагается таким,	что P ^ J	ö ? ( \| ) r f s < o o j = l		и
	b2t ( x ) > c > 0 .				(5.107)

Тогда всякий мартингал X = (xt,&~f), 0 ^ . t ^ T , имеет не прерывную модификацию, которая допускает Р-п. н. представ ление

t
< = 0 + 1 fs(®)dWs, 0	(5.108)
о
где процесс f = (fs (со), &~^) таков, что

то

(5.109)

fji®) ds

Если

мартингал

X — (xt,

квадратично

интегрируем, то

М J %(a>)ds <

оо.

(5.110)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем

прежде

всего, что семей

ство (пополненных) а-алгебр (ЗГ\),

0 ^ / ^ Г , является

непре

рывным.

Пусть

ЗГУ w

где

£Г^ = ст{©:

| 0(ю)|.

*)	—	xs, s ^ <), где х принадлежит пространству непрерывных
(на [0,	Г]) функций.

220		КВАДРАТИЧНО	ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ						[ГЛ. 5
Поскольку \| — сильное			решение уравнения (5.106), то
				*=>&-}.				(5.111)
С	другой стороны, в		силу	условия	(5.107)	длякаждого			t,
			і
			о	(р-п- н-)				(5.112)
			о
(см. теорему 5.12). Поэтому				w	что	вместе	с	(5.111)
приводит		к равенству *)
			g-U,^ = T \ .					(5.113)
Согласно теореме 4.3 семейство (пополненных) п-алгебр (@~Y)
0 < f < 7 \		является непрерывным. Этим свойством,					как		не
трудно показать, обладает и семейство					w),	O ^ t ^ T ,		а зна
чит,	и

В силу теоремы 3.1 отсюда следует, что у всякого мартин гала X = (xt, £Ff) существует непрерывная справа модификация,

которая и будет далее рассматриваться.

является квадратично

Предположим теперь,

что X — (xt,

интегрируемым

мартингалом.

то, как нетрудно

Если W = (Wt, ЗГt) — винеровский процесс,

проверить,

винеровским

будет

процесс

(Wѵ 3Tf).

Поэтому

согласно теореме 5.3 существует процесс

f =

(ft (a>),

такой,

что

М I /И “ ) dt <

оо и

{x,W)t =

\ f s {<*)ds.

(5.114)

Положим

Jt fs (ю) dWs

*< =

% +

и покажем, что Р

(xt =

xt) = 1,

0 ^

t ^ Т.

0 = t0< t 1< ...

. . .

Зафиксируем

рассмотрим

разбиение

< t n =

t отрезка

[0, t\.

Если показать,

что

М (xt — xt) exp

*'(zo6o+JjZft^*)} = 0

(5.115)

*) Если

Іо = 0,

то

утверждение

доказываемой

теоремы легко вывести

из теоремы 5,5 и того факта,

что согласно (5.113)

t r j

f ^ 7 \

§ 6]	СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ							221
для любых Zi с I гг \| < °°, г =				О, 1,	п,	то	отсюда будет
следовать	требуемое	равенство		P(xt = xt) = l ,			поскольку слу
чайными	величинами	ехр		+ 2	z^ t kJj	можно		аппрокси
мировать	любую ограниченную			^-измеримую (а				значит, и
^-измеримую ) случайную величину.
Начнем со случая		п — 1. Положим yt — xt — хе						Ясно, что
Y = {yv	также является квадратично интегрируемым мар
тингалом	и согласно (5.6)		и (5.114)
	(г, 1У)5 = 0		(Р-п. н.),		0 ^ 5 ^	Т.

Всилу леммы 5.1 отсюда вытекает, что

МУі / exp (iz{Wи) dWu I 0"

=	М	exp(iZiWJdiy, W)u \	=	0.	(5.116)
Далее, по формуле Ито
ехр {і (z0gо + z tWt)} =		exp {ггоу +
	t	2	£
+ гг, exp{i'Zolo} I	exp{ i Z \ W u) d W u ---- ^-ехр{г'гоу		J	exp { i z ^ W u) du.
0			0

Поэтому, учитывая (5.116) и то,		что y0 — Q, находим
Мг/< ехр {г (г0\|о -j- ZiWf)} =	b!\yt ехр(ггоу +
+ гг, М у, ехр (гг0У Jехр (г'г,1Ги) dWa} —
*■	о	1
— дт М { у‘ехР (г’гоУ j		ехр {izxWa) du J=
= м {M {yt I 0 І ) exp (г'г0\|о)} +
-f- гг, М 1 ехр (г'г0у	М y < j exp (гг, Г „) dWu \|0 -*o
м {М (yt I 01) ехр [г (г01 0 + zlWu)]} du =
	А	j М {г/„ехр [г (г0\| 0 -f г,IFJ]} du.
	2

222

КВАДРАТИЧНО

ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 5

Следовательно, и, =

Му,ехр[г (z0| 0 +

z \Wt)\

удовлетворяет

линейному

уравнению

ill

2 н

Uq— О,

решение которого тождественно равно нулю.

Итак,

равенство

(5.115)

в случае п =

1 установлено.

также

Пусть

теперь

п >

для

п — 1

равенство

(5.115)

доказано. По формуле Ито

exp Iі I2 0|о

VZk\Vtk 11=

expi j(z0So -j- П^—■1 z ^ t k

11+

J >

fe=i

J >

fc=i

+ izn J

exp

f z £0V+

zkWtk +

znWu ] |d w u —

e x p j i ^ o i o +

г ^ / й +

2яГ в ) | ^ и .

(5.117)

ft=l

Если теперь учесть, что согласно предположению индукции

Мг/, exp jг |z 0g0 +

J ]

м |м (^ tl ^

п_,) ехР

м г/,„_,exp ji ( 2 0| 0-1-

п-

0 ,

z* Wtk)[ =

то из (5.117),

аналогично случаю

п = 1 ,

легко

выводится,

что

М Ut exp

z0l 0 +

УzkWt.

fe=i

yuexpj i jzoSo +

— -у-

zkWtk +

znWu

du.

fe=i

Отсюда получаем

СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ

2 2 3

Итак, соотношение (5.115) для случая квадратично интегри

руемого мартингала	X = (xt,	доказано, что в свою очередь
доказывает требуемое представление (5.108).
В том случае,	когда мартингал X = {xt,&~t) не является
квадратично интегрируемым,		доказательство представления

(5.108) почти дословно повторяет соответствующее доказатель

ство теоремы	5.7.
С л е д с т в и е . Пусть функционал b = (bt (x),$ t) удовлетво
ряет условиям	(4.110), (4.111) и Ь2( х ) ^ с > 0. Тогда согласно

теореме 4.6 сильное решение уравнения (5.106) существует и

всякий мартингал X — (xt,

допускает представление (5.108).

3. Перейдем теперь к рассмотрению общего случая.

Т е о р е м а

5.17.

Пусть

%, =

{lt,5Tt),

O ^ t ^ T ,

— процесс

диффузионного типа с дифференциалом

d-h — at (|) dt +

bt (I) dWt,

(5.118)

где a = (at (x), 3$t)

и b — (bt {x),

$ t) — неупреждающие

функцио

налы. Будем

предполагать,

что коэффициент bt {x)

удовлетво

ряет условиям (4.110),

(4.111)

Пусть также

bt {х) ^ с >

(5.119)

a2t {l)dt< ooj =

P ^ I

a2t (r ) )

dt <

o o

I =

1 ,

( 5 . 1 2 0 )

где л — (сильное)

решение

уравнения

dT\t = bt (vi)dWt,

Ло — Іо-

(5.121;

Тогда у всякого мартингала X — (xt, {Ffj

существует непре

рывная модификация,

для

которой имеет место

представление

X t =

x 0 + j f s ( o ) d W s

(5.122)

с FZ-согласованным процессом

(ft (со), £Г|)

таким,

что

/ Ц N

o o

Если X = (xt,

0 < / <

Г, — квадратично интегрируемый

мартингал, то к тому же

(5.123)

[ M/^(cü) d t <

oo.

224		КВАДРАТИЧНО			ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ						[ГЛ. 5
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Согласно сделанным предположениям
и теореме 7.19 меры щ						и рч эквивалентны. При				этом	плот-
ность	=	d\Xf,
ность	=		— (t, I) задается формулой (см. (7.124))
		apt
h (i) = exp	—		as (П				as (?-)		ds =
			bl (I) dis		+	i	M H		ds =
			bl (I) dis		+	i	M H		t
				t					t
		=	exp	I	а* (І)		dWs -	1	( M H		(5.124)
		=	exp	J	M H		dWs -	2	J I bs (l)		(5.124)
									о
Рассмотрим			новое	вероятностное					пространство	(й,	ST, Р)
с мерой

Р {da) = у {I (to)) Р {da)

(ясно, что Р с Р и в силу леммы 6.8 Р < Р; значит, Р ~ Р ). Имеем

Р { \| ^	п =		J		1 г ( іН ) р И				=	{
Таким образом{(о,: 1случайный<= Г )			процесс			£ =	(£,),	Г	рас
сматриваемый	на новом вероятностном пространстве (й,								ST, Р),
имеет то же	распределение,		что		и процесс т] = (т)<),
рассматриваемый на		пространстве			(й,		Р).
Далее, по теореме 6.2 процесс {Wt, SFt),
	Wt = Wt + t				as (I)	ds,			(5.125)
	Wt = Wt + t				M H	ds,			(5.125)
				о
по мере P является винеровским.
Из (5.125)	и (4.80)	следует,		что Р-п. н.
t			t				t
So + J 4	{I) dWs	І0 +	J	a, (S)rfs+ J			bs {l)dWs = l t.
о		о				0
Значит, процесс I — (\|,),				T, рассматриваемый на (й,					<Г, P),
является решением уравнения
	6/ = So+ J bs(l)dWs								(5.126)

(cp. с уравнением (5.121)).

§ 6]	СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ	2 2 5
Согласно	сделанным в условиях теоремы	предположениям

о коэффициенте bs(x) (сильное) решение уравнения (5.126), так

же как и уравнения (5.121), существует и единственно.		Тогда
по теореме 5.16	всякий мартингал Y — (yt,3T\|), 0 ^ / ^ Г ,
определенный на	вероятностном пространстве (Q, SF, Р),	имеет

непрерывную модификацию, которая допускает Р-п. н. представление

			t
		Уі =	Уо + { gs (“ ) dWs,		0 < г < 7 \	(5.127)
			о
где	pj^ J	gl(a)ds < ooj =		1 .
	Пусть	X — (xt,	— мартингал.		Покажем,	что процесс
Y =	(y t, £F\|) с yt =		xt[lt (I),	рассматриваемый на (П,		, Р), также
является		мартингалом.
	В самом деле,
m y t \ =		\ \ y t \ d r - \ \ y t \h (I) dP = \			(ЮdP =
		У	У	<2	1
		<2	1		Q

и при t ^ s согласно лемме 6.6 Р-п. н.

м (У, I*1) = С 1 (I) м (W Л ) I <Н) =	»г■1(I) М (X, I ЗЦ) =	= ц„
Следовательно, к мартингалу	Y = (yt, ST'f) с	y t ~ x tjit (Q

применим результат (5.127), согласно которому Р-п. н. и Р-п. н.

для каждого	t,	Т,
	t	t		t
bt (l) — xo+	gs (©) dWs — x0 + J		gs(со) Ws + J	,	V ( e; ds,
		0	0
или		xt = h(i)zt,			(5.128)
где		xt = h(i)zt,			(5.128)
где		t	t
		t	t
zt = x0 +		J (ö) dWs +	J £s (a>)	ds.	(5.129)
		о	0

8 P. Ш. Липцер, А. H. Ширяев

226 КВАДРАТИЧНО ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ (ГЛ. 5

Применяя формулу Ито, из (5.128), (5.129)

и (5.124) находим,

что

а,

(I)

dxt = It (£) dzt + zt dlt

It (I) St (w)

d t =

— h (I) St (M) dWt -f- it (l) gt (<й) "йДіу dt

zt\t (£)

dWt

- h ( l ) S t ( < * ) j j ^ d t

= ft (a>)dWt,

где

(5-130)

Иначе говоря,

Р-п.

н.

і Jfs (м) dWs,

Xt = Хо +

где Р ^ | Ң (a>)ds <

ооj

1 , что

свою

очередь

вытекает из

(5.130) в силу эквивалентности

мер Р

и Р

(лемма

6 .8), непре

рывности Р-п. н. процессов $Д|)

и xt =

lt (l)

z t и условий

Р ( /

«?(«.)<// <

°=) = Р

dt < Оо

= I .

Для завершения доказательства теоремы осталось лишь

проверить, что в случае

квадратично интегрируемых мартинга

s ^ T ,

лов X = [xt,

функционал /s (co),

удовлетворяет усло

вию (5.1Ш).

Вытекает это из следующего общего предложения.

Л е м м а

5.8.

Пусть

F — (3Ft),

Q ^ t ^ i T , — неубывающее

семейство а-подалгебр SF и / =

(ft (со), &~t) — процесс с

P^ J

f](со) dt <

ooj =

1 .

Для того чтобы (непрерывный)

мартигнал X — {xt,

@~t), t ^ T , c

xt = I fs (®) dWs

был квадратично интегрируемым, необходимо и достаточно,

чтобы

j М/^(сй)ds < оо.

(5.131)

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 7123 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ