книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы
.pdf§ 2] |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. |
ПРОЦЕССЫ |
ИТО |
117 |
|
п-+оо. Следовательно, пределы по |
подпоследовательностям |
||||
lim IT(fn), |
lim /r (g„) |
будут совпадать. |
|
Ir (f) для |
|
Конструкция стохастических интегралов |
Шт. |
||||
в случае функций f |
осуществляется так же, |
как и для / е |
|||
А именно, мы определяем интегралы It (f) — J f(s, a>)dWs с по-
мощью равенств |
fl |
|
|
т |
|
/< (/)= J f(s,<*)Xt(s)dWs, О |
(4.61) |
о |
|
где Xt{s) — характеристическая функция |
множества |
Поскольку (с точностью до стохастической эквивалентности) |
|
значение стохастических интегралов It (f) |
не зависит от выбора |
аппроксимирующей последовательности, то при исследовании
свойств |
процесса |
It(f), |
|
|
можно использовать частные |
|||||
случаи |
таких |
последовательностей. |
|
|
||||||
В частности, |
возьмем в качестве такой последовательности |
|||||||||
функции f N(s, о) из (4.57). Поскольку Р | |
J |
f2{s, со) c/s < оо | = 1, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
оо |
QN, |
|
|
QN = |
то |
множество |
£У — (J |
где |
|
||||||
т |
|
|
|
|
л/=і |
|
|
|
|
|
^ J |
f2(s, |
to) ds < |
N I , отличается от Q на подмножество Р-меры |
|||||||
о |
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
нуль. Заметим |
теперь, что на множестве QN |
|||||||||
|
|
|
|
|
ü>)= |
fN+l(s, со)= . . . |
= |
/(s, со) |
||
для |
всех |
s, O |
^ s ^ r . |
Следовательно, |
на |
множестве |
||||
|
|
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
|
|
It (f)= J f(s, ®)dWs = \ |
fN{s, ®)dWs = It (fN). |
||||||
|
|
|
|
о |
|
|
0 |
|
|
|
Ho fN e |
|
Шт. Поэтому процесс It {fN) непрерывен no t, 0 < / ^ 7 , |
||||||||
с вероятностью 1 (точнее, |
имеет непрерывную модификацию). |
|||||||||
Отсюда |
|
вытекает, что |
на |
множестве ПдГ стохастические инте |
||||||
гралы It (f), |
|
|
|
образуют непрерывный процесс. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
Но, |
как |
уже |
отмечалось, |
Q' == [J Qw |
отличается от Q лишь |
|||||
на множестве P-меры, |
|
|
N=1 |
|
|
|||||
нуль, следовательно, Р-п. н. случайный |
||||||||||
процесс It (f), |
|
|
имеет непрерывные траектории. В силу |
|||||||
прогрессивной |
измеримости процессов It{fц), 0 ^ / ^ Г , это же |
|||||||||
118 |
|
|
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
|||
рассуждение показывает, что процесс |
0 ^ . t ^ . T , |
также |
||||||
является |
прогрессивно |
измеримым. |
|
замеча |
||||
З а м е ч а н и е |
6. |
Согласно сделанному выше |
||||||
нию 2, |
если |
f е |
Шт, то существует, такая последовательность |
|||||
[fn, п = |
1, |
2, |
...} |
простых |
функций, что |
равномерно |
по t, |
|
0 < г < 7 \ |
с вероятностью 1 |
| fn dWs —> J |
f dWs. |
|
||||
оо
Аналогичный результат сохраняет свою силу и для функций
(см- [ 123]).
З а м е ч а н и е 7. Полезно также отметить, что неравенства (4.59) и (4.60) сохраняются и для любой функции f е <РГ.
.Действительно, пусть {/„, п — 1, 2, . . . } — последовательность простых функций таких, что
I fn{s, |
со) |< | f (s, со) I, 0 < s < 7 \ a e Q , |
и |
T |
|
|
|
J [fn (s, со) — f (s, со)]2 ds -> 0 |
|
0 |
(по вероятности) |
при n-> oo. Тогда для любых N > 0, С > 0 |
и |
|
t
РЛЛ sup J
с<г 0
/ ( s , с о ) с Л Г 5 > C
t
|
< P M Л |
sup |
J M s, co)drs > C |
+ |
|
|
|
\ t < T |
0 |
|
|
- f - P f А Л ( sup |
J [f(s, CO) — fn(s, |
со)] dWs |
> 0 < |
||
|
\ t < T |
|
|
|
|
N |
л л ( { f^(s . co)fi?s>yv'j + P^ |
[f(s, w) |
fn(s, (O)]2ds>0 |
||
c2 + p |
|||||
Отсюда, переходя к пределу при п-^оо, получаем требуемое неравенство
§ 2] |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ ИТО |
119 |
|
Завершая |
конструкцию стохастических интегралов |
It (f) для |
|
функций |
f е ^ |
г> отметим их свойства. Свойства (4.45)—(4.47) |
|
остаются выполненными. Однако свойства (4.48), (4.49) могут
нарушаться (см. ниже замечание 9 в |
п. 8). |
Если в случае |
f ^ T t T стохастические интегралы (/*(/), |
^ ) , |
образо |
вали мартингал (притом квадратично интегрируемый), то для
функций |
это уже, вообще говоря, не так. Впрочем, |
||||
в случае f ^ S P T |
(It(f), 5Ft), t ^ T , |
образуют локальный мартин |
|||
гал (см. далее и. 10). |
|
|
|
|
|
7. Пусть |
и т = т((й) — конечный (Р(т < оо) = |
1) мар |
|||
ковский момент |
относительно системы |
(S^), |
t ^ 0. |
Наряду |
|
со стохастическими интегралами |
/Д/) = |
J f{s, |
(a)dWs |
введем |
|
|
|
|
о |
|
|
стохастический интеграл со случайным верхним пределом т.
Положим |
по определению |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1%(/) = |
/<(/) |
на |
{со: т (со) = t}. |
|
(4.62) |
|||||
Поскольку |
стохастический интеграл |
/*(/), |
0, |
является |
||||||||
прогрессивно |
измеримым |
процессом, |
то |
по лемме |
1.8 Ix(f) |
|||||||
является £Гт-измеримой |
случайной |
величиной. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
По |
аналогии с |
обозначением |
/Д/) = |
J f(s, |
&)dWs будем |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
использовать |
также |
обозначение |
/T(f)= |
j |
f(s, сo)dW5. |
|
||||||
При |
оперировании |
со |
|
|
|
о |
|
интегралами Ix(f) |
||||
стохастическими |
||||||||||||
со случайным |
верхним |
пределом |
т |
полезно |
следующее равен |
|||||||
ство: |
|
|
= |
|
|
(Р-п. и.), |
|
|
(4.63) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где X = X{t<t}— характеристическая функция множества {/^т}.
В иных обозначениях |
равенство |
(4.63) можно переписать сле |
|||
дующим образом: |
|
|
|
|
|
X |
|
оо |
|
|
|
{ f(s, с0 )dWs = \ |
X{s<x)f(s, СО)dWs (Р-п. н.). |
(4.64) |
|||
о |
|
о |
|
|
|
Докажем (4.63) (или (4.64)). |
равенство |
|
|||
Для простых |
функций |
f е |
|
||
|
X |
|
00 |
|
|
j |
f(s, (О) d W = \ |
X [ s < x ) f { s , со)dWs |
(4.65) |
||
о |
|
|
о |
|
|
очевидно. |
|
|
|
|
|
120 |
с т о х а с т и ч е с к и е и н т е г р а л ы |
[ГЛ. 4 |
|
Пусть |
f e S 3«, и |
/г = 1, 2, . . . . — последователь |
|
ность простых функций, участвующих в построении интегралов It (f), t > 0 . Поскольку (по вероятности)
СО
J |
If„(*. |
|
|
|
®)x(s<T)J2^S< |
|
|
|
|
|
|
|||||
О |
|
|
|
|
|
< Jсо [/„(s, со)—/(s, со)]2ds->0, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
п-* оо, |
|||||||||
то |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
со)X{S<T} dWs= |
|
со)x{s<t) dWs. |
|
||||||||
|
|
Р- lim |
f fn (s, |
f f (s, |
(4.66) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Заметим теперь, что на множестве |
(со: т(ео) = ?} |
|
|
||||||||||||
|
т |
|
|
|
t |
|
|
|
i |
J |
|
t |
|
|
|
со)dWa |
|
J fn{s, |
a)dWs — J fn(s, со)dWs, |
f(s, CO)dWs= J |
f(s, |
||||||||||||
и |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(s, со)d r , . |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
CO)dWs = |
J |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Поэтому |
на множестве {ш; |
t (g>) = |
^} |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р- Нш |
fn(s, a>)dWs = |
J |
f(s, со)dWs. |
|
|
(4.67) |
||||||
|
|
|
|
П->оо J |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
Из |
(4.65) — (4.67) следует требуемое равенство |
(4.64). |
|||||||||||||
|
Следующий результат, |
часто используемый в дальнейшем, |
||||||||||||||
является обобщением |
леммы |
4.6. |
|
|
|
0, — неупреждающий |
||||||||||
|
Л е м м а |
4.7. |
Пусть f = |
f(t,a>), |
|
|||||||||||
(относительно системы F = |
(@~t), |
|
0) |
процесс. Пусть {оп, п = |
||||||||||||
= |
1, 2, |
— неубывающая |
|
последовательность |
марковских |
|||||||||||
моментов, 0 = |
1іша„, |
таких, |
что при каждом п = 1, |
2, . . . |
||||||||||||
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ^ | f2(s, |
сo)ds < |
ooj = |
1. |
|
|
|
|||||
|
Тогда для |
любого события А е |
5Fа |
и |
N > 0, С > |
0 |
|
|||||||||
Р ) А П |
sup |
f(s, |
со) d r , |
> С |
< |
|
|
|
|
|
|
|||||
+ Р j Д п J f2(s, со)ds > N j .
§ 2] |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ ИТО |
121 |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть
inf |
f<o: |
J f2{s, v> )ds^N |
|
|
0 |
|
|
a |
a, |
если |
j f2(s, (o)ds < N, |
и fN(s, a) = f{s, ©)x^s<T j. Тогда, как и при доказательстве леммы 4.6, получаем, что
p j ЛЛ ^sup |
J f(s, a)dWs >С |
[ |
sup |
и |
|
J fN{s, &)dWs >С |
+ |
||||
+ Р |
ЛЛ sup j (f(s, |
a>)-fN(s,(ü))dWs > 0 < |
|
||
;р j sup |
J M s , ® )d r4 > C |
+ P ЛЛ |
J/ 2(S, <o)ds>AM . |
||
Из теоремы 2.3 и свойств |
стохастических интегралов |
сле |
|||
дует, что |
|
|
|
|
|
Р т sup |
/ fN(s, <o)dWs |
|
J fl(s, ©)ds<-^-, |
|
|
|
|
|
о |
|
|
что вместе с предшествующим неравенством и доказывает утверждение леммы.
С л е д с т в и е . |
Пусть |
Л = 1 ю : |
J* |
f2(s, ®)ds < tx> | . |
Тогда |
|
и |
|
|
|
|
|
|
Р | Л Л ^sup I f(s, со)dWs |
= oo |
[ = |
0. |
Иначе говоря, на |
мно- |
|
жестве А |
|
|
|
|
|
|
sup |
I f{s, |
<a)dWs |
< |
О О , |
Р-П. Н. |
|
8. В качестве следствия равенства (4.64) выведем следую щие формулы, известные как тождества Вальда.
122 |
|
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
|
[ГЛ. 4 |
|||||
Л е м м а |
4.8. |
Пусть |
W = {Wt, @~t), |
|
О,— винеровский |
||||||
процесс |
и т = т((о) — марковский |
момент |
(относительно |
{£Tt), |
|||||||
t ^ O) с |
Мт < |
оо. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М Гт= |
0, |
|
|
|
|
(4.68) |
|
|
|
|
|
= |
Мт. |
|
|
|
(4.69) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим неупреждающую |
функ |
|||||||||
цию f(s, |
a>) = |
X{s<z((0)y |
Ясно, что |
|
|
|
|
|
|||
РІ J |
f2{s, (d)ds < оо |
Р |
4 < x m ds |
|
= Р { т < о о } = і , |
||||||
т. е. эта |
функция |
принадлежит |
классу |
|
Покажем, что для |
||||||
|
|
К |
с |
Л |
“ ”7« , |
(Р-п-Я-). |
|
(4.70) |
|||
С этой целью |
введем |
для каждого п — 1, 2, |
.. марковские |
||||||||
моменты |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|<а: ~ 2 п~ ^ т (со) < |
I , |
|
|||||
|
|
2п ^^ |
|
||||||||
|
т„(ю) = оо |
на |
{со: т (со) |
- оо} |
|
|
|
|
|||
и рассмотрим |
интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если t принимает одно из значений вида kl2п, то тогда |
|||||||||||
очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
dw |
= W |
|
(4.71) |
|
|
о |
|
|
|
X'{s<xnA t } u w s |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу непрерывности стохастических интегралов и траекто рий винеровского процесса по і равенство (4.71) остается спра ведливым и для всех ^ > 0 .
Заметим теперь, |
что |
ОО |
оо |
/ |
/ [ P ( s < T j - P ( s < T ) I r f s = |
о |
о |
|
= Мт„ — Mt < “ ->0, п —>оо. |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ ИТО |
123 |
Поэтому
Сравнивая (4.72) |
с (4.71) |
и учитывая, что для всех « е £ 1 |
т„((о)|т, приходим к требуемому равенству (4.70). |
||
Из (4.70) и (4.64) |
находим, |
что Р-п. н. |
|
X |
оо |
|
О |
о |
поскольку l l <x) = X[s<xy
Воспользуемся теперь свойствами (4.47) и (4.48), при
менимость которых законна, поскольку в условиях леммы
оо
Q
о
и
Лемма доказана. |
Равенство |
Mtt^T= 0 остается справедли |
|
З а м е ч а н и е |
8. |
||
вым и при условии |
М j / r < o o |
(см. [130], [132]). |
|
З а м е ч а н и е |
9. Условие М т< оо, обеспечивающее равенства |
||
М1^т=Мт, ослабить, вообще говоря, нельзя, что показывает
такой пример. |
Пусть т = |
inf (t ^ 0: Wt = |
1). Тогда Р (т < оо)= 1, |
||||
Мт = |
оо (см. |
гл. |
1, § |
4, |
п. 3) и 1 = М1У? ф Мт = оо. |
функ |
|
9. |
Пусть |
f — |
|
со)— произвольная |
неупреждающая |
||
|
|
|
|
|
|
f2(s, w )ds= oo |
\ |
ция, |
т. е. такая, |
что, |
вообще говоря, Р |
I > 0 |
|||
Положим |
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
124 |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
|
|
считая |
ап = оо, если |
[ f2(s, <o)ds < п, |
и пусть о = |
|
lim ст„. |
Ясно, |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
на |
множестве {а ^ |
Т) |
| |
f2{s, со) ds = |
оо. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
/ОпАТ |
|
о |
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Поскольку Р I |
I |
|
f2(s, |
со) ds < °о I = 1, |
то определены стоха- |
||||||||||||
стические |
\ О |
|
|
|
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
||||||
интегралы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
оплт |
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ІапАТ(f) = |
J |
f(s, CO) dWs = |
J fn(s, co) dWs, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
где fra(s, co)= f(s, |
cö)Xjs<(J у Стохастический же интеграл IaAT(f), |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
вообще |
говоря, |
не |
|
определен, |
поскольку J f2(s, со) ds = |
оо |
на |
||||||||||||
множестве |
{со: а ^ Т} |
Р-п. |
н., |
|
а |
|
о |
|
выше |
кон |
|||||||||
|
приведенные |
||||||||||||||||||
струкции |
стохастических |
интегралов |
Ia{f) предполагали, |
что |
|||||||||||||||
Р |
|
|
Р (s, со)ds < |
с» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
При |
нарушении |
|
условия |
Р |
|
f2(s, со) ds < оо |
|
= 1 можно |
|||||||||
|
jJ |
|
|
|
|
j= 1. |
|
|
| J |
|
|
|
j |
|
|
|
|||
было бы пытаться определить интеграл Ia(f) как предел (в том
или ином |
смысле) |
интегралов Ian(f) при |
оо. Но нетрудно |
привести |
примеры, |
когда на множестве {ст^Г} Р-п. н. |
|
lim /оп(/) —° ° , |
Пт Ід„(/)= — оо- |
П |
П |
(Достаточно положить Т — оо, |
f = 1.) Поэтому lim / ст (/), вообще |
говоря, не существует.
Покажем, однако, |
что существует *) |
|
Р-1іпі X гстлг |
(4.73) |
|
“ |
J «-С.<й) ds < ОО |
|
|
Іо |
|
который мы будем обозначать ГаЛг(/).
) Этот факт будет существенно использован в гл. 6 и 7.
§2] |
|
|
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. |
ПРОЦЕССЫ ИТО |
|
|
125 |
|||||||||||
Для |
доказательства |
заметим, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Р-Нпз X |
|
|
|
|
олт |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4,74) |
||||
|
|
|
|
1 |
[f{s,(i>) — fn{s,(£>)]2d s — 0. |
||||||||||||||
|
|
|
* |
f ( T |
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
^ J |
f2(s, со) ds < oo) |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обозначая i aAT = % |
|
|
|
|
, по |
лемме |
4.6 |
(см. |
заме- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
к(оЛТ |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
I j |
|
f2(s, to) ds < oof |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
чание к ней) находим, что для |
любых е > 0, |
ö > |
О |
|
|
|
|||||||||||||
Р I %аДГ |
J |
(fn(s, со)— fm(s, со))dWs |
> б |
|
< |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
, |
|
аАі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
< - |г |
+ |
р |
|
J |
[fn(s, (ö)— fm(s, ®)]2rfs > |
ej |
||||||||
Отсюда |
в силу (4.74) |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
олт |
|
|
|
|
|
ОЛТ |
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
P |
|
w |
j |
|
fn(S’ a) dWs - X o AT ! |
fm(s, G>)dWs |
> ö j = |
0. |
||||||||||
m»n~>oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.75) |
|
Следовательно, |
последовательность |
случайных |
величин |
||||||||||||||||
Х ддг |
ОЛТ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jfn(s,a)dWs сходится по вероятности к некоторой |
|
слу- |
|||||||||||||||||
чайной величине, которая обозначается ГаЛг(/). |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Заметим, |
что согласно проведенным построениям | Г0дг (f) |< |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОЛТ |
|
|
|
j |
|
|
|
|
||
< оо Р-п. |
н. |
на множестве |
со: |
nJ |
f2(s, |
со) ds = |
oo I , |
A |
если |
||||||||||
Pj олтj f2(s, ©) ds < |
oo 1 = 1, |
то |
олт |
|
|
|
' |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Голт(!) = Іолт(!)= |
J |
f (s, (ö) dWs. |
|
|
|
|
|||||||||
Пусть |
теперь |
т — произвольный |
|
марковский |
момент |
||||||||||||||
(не обязательно |
равный limo^, |
где |
ап |
определены |
выше) и |
||||||||||||||
{fn{s, |
со), |
|
п = 1, |
2, |
...} |
П |
|
|
|
|
|
неупреждающих |
|||||||
|
— последовательность |
||||||||||||||||||
126 |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
функций таких, что для каждого п = 1, 2, ..
ІХхАТ
{fl{s,<i>)ds< оо \ — 1,
о
и аппроксимирующих заданную функцию f в том смысле, что
. |
|
ХАТ |
Р-lim X(x/ST |
^ |
{ [/(s, с о ) - fn(s, <ö)pds = 0. |
САГ |
-I |
J |
J Р (s, в>) ds < оо > 0
0 J
Аргументы, приведенные выше при определении величин Гадгif), показывают, что и в рассматриваемом случае суще ствует
|
|
ТАГ |
Р ' 1Іт |
ХгхЛТ |
4 f fn{s,(ä)dWs, |
^ 00 |
I f Р(,.Ш)* < » } 0 |
|
который будем также обозначать Гтлг(/)- Важно отметить, что для заданных т и f это значение (с точностью до стохасти ческой эквивалентности) не зависит от специального вида аппро ксимирующих последовательностей {fn(s, со}, «== 1, 2, ..
Отметим |
Т |
f2(s, |
(a)ds < |
] |
также, что на множестве | со: J |
о о j |
|||
у процесса |
ГД/), рассматриваемого для t ^ . T A т, |
существует |
||
Р-п. н. непрерывная модификация. Только такие модификации
далее и будут рассматриваться. |
процесс |
0, |
|
10. Как уже |
отмечалось выше, |
||
в случае / е ^ м, |
вообще говоря, |
не является |
мартингалом. |
Однако этот процесс будет локальным мартингалом. Дей
ствительно, пусть т„ = inf |
J f2(s, |
со) d s ^ |
n j Д n. Тогда |
||
Р ( т „ < п )= 1 , |
Р(тга< т „ +1) = 1 |
и Р{1ішт„ = оо}= 1. |
|||
Рассмотрим |
для данного п — 1, |
П |
процесс |
||
2, ... |
|||||
|
|
|
t |
|
|
J t A x n ( f ) = 1 f ( s > * ) d W s = |
\ |
|
|
||
|
о |
|
о |
|
|
Поскольку |
|
п |
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
I М [/(s, |
a)x{s<Xn}f d S = |
I М [f(s, (0 )х |
Л2d s ^ n , |
||
0 |
|
о |
|
|
|