Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 7125 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

§ 6]

СТРУКТУРА ФУНКЦИОНАЛОВ

237

Итак,

М [У < -У К * 'І - « 7,)ІЗГ1 ] =

lira М Цдг, -

М (X, I

„)] [Г , -

М (W, | Г |

„)]},

что в силу равномерной интегрируемости величин

( М Ы П * ) -

ft==1> 2- •••}

{М (ИМ П »)*

п = 1>

2’

•••}

приводит к требуемому равенству (5.156).

Из

этого

равенства и (5.154)

получаем, что

м [g„ И I ^ 1

] du = J

Mgu (со) du.

(5.157)

Рассмотрим

теперь для

фиксированного

0 < t <

Т,

раз

биение

Ое= t f ] < t\n) < ...

< C = t

с шах

[tf+ 1 — t^ ] —> 0 , п —>оо, и положим

8п(“) = М \ёи И I

tf* ^ u

:(«+!)

Тогда

согласно

(5.157)

М—1

Лп)

n- 1

/+1

* /+ 1

\ U g u{fa)du —

gn(u)du= j gn(u) du.

/=0

t(n)

/=0

Hn)

По теореме 5.19

cr-алгебры ZF\, 0- ^ . t ^ . T,

непрерывны. Поэтому

для каждого

и,

с вероятностью 1

при

п-> о о

8п (") ^ М [g„ (со)I іПв] = §и (со).

(5.158)

По

неравенству Йенсена

{и) ^

(со),

и,

значит,

Mg* (со)d u <

Mg* (и) du < J

оо.

Таким образом, на основании теоремы 1.8 семейство случай ных функций {gn(u), п = 1 , 2 , ...} равномерно интегрируемо (по мере Р(сйо)Х^м) и в силу (5.158)

М	J [Mg„(cö) — g„(®)M«	< М	I	[Mgu(co)~ gn{u)]du	+
	I	I
+	М j [gu(®)—gn(u)]du	< j	M \|	g - „ ( c o ) — gn(u) {du-+0,	П - + 00.

238	КВАДРАТИЧНО		ИНТЕГРИРУЕМЫЕ МАРТИНГАЛЫ			[ГЛ. 5
Отсюда для каждого		t,	O ^ i t ^ T , получаем
	t			t
	/ Mgu(со) du =			J gu (со)	(P-п. и.),	(5.159)
	о			0
и, значит,	для почти	всех t,		O ^ t ^ T ,	Р-п. н.

gt (ю) = Mg* (со).

Вместе с (5.154) это доказывает справедливость представле

ния	(5.152) с f (t) =			(со).		f{t),		участвующую
С л е д с т в и е				1. Функцию		f{t),	из	участвующую
в представлении			(5.152),		можно определять		из	равенства
				н	о »	« .
С л е д с т в и е			2.	Пусть ц =		-измеримая гауссовская
случайная величина. Предположим, что (rj,							W,	\|) образует гаус
совскую		систему.		Тогда найдется детерминированная функ
ция	f(s),	O ^ s ^ r ,		такая, что (Р-п. н.)
						т
			Ц(со) =		Мл Н	+ j f (s) dWs,		(5.160)
	г					о
	г
где	I f2(s) ds <		оо.

По теореме о нормальной корреляции мартингал xt= М (ц

будет	гауссовским.	Гауссовской будет и	система (W, g, X)
с X — [xt, @~\),		Поэтому (5.160) следует из (5.152),
если	только учесть,	что хт— т\, а х0=М ті	(Р-п. н.).

ГЛАВА 6

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ И МАРТИНГАЛЫ.

ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА

§	1. Неотрицательные супермартингалы
1. Пусть	(Q, F , Р) — полное	вероятностное пространство,
({Ft),	— неубывающее	семейство а-подалгебр		F , по
полненных множествами из F		нулевой	вероятности.	Пусть
W = (Wt, F t) — винеровский процесс и V=			(yt, F t)-~случайный
процесс с

При исследовании вопросов об абсолютной непрерывности мер, отвечающих процессам Ито, относительно винеровской меры (см. следующую главу) существенную роль играют неотрица тельные непрерывные Р-п. н. случайные процессы $ = ($*, F t), 0 < ^ < Г , допускающие представление

3/ = 1 + Jt YsdWs.			(6 .2 )
о
В следующей лемме показывается, что процессы такого
типа необходимо являются супермартингалами.
Л е м м а 6.1. Пусть процесс	у =	(Ѵо F t), t ^ T , удовлетво
ряет условию (6.1) и 3 * ^ 0 (Р-п.	н.),	0 < / < 7 \	Тогда случай

ный процесс %— (it, F t) является (неотрицательным) супермар тингалом,

M (i/\|£ " ,X ä s (Р-п. Н.), T > s ,	(6.3)
и, в частности,	(6.4)
m t < h	(6.4)

240	НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ	СУ ПЕР МАРТИНГАЛЫ		[ГЛ. 6
240	Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим *) для		п >	1
	Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим *) для		п >	1
	хп = inf 1 1<	Т: I y2s ds >	п \ ,

считая тп= Т , если I у2sd s< n . Тогда согласно (4.63) для t > s

І Л Х „ і Ат„

^Ax„= 1 + J	4adWu —isAxn + J Yu^
		SAT„
Поскольку
<AT„
M j	Yn dWu IЗГ = 0	(P-п. и.),
SACxn-
TO
M [S iA tJ^s] = ^ A ,		(P-П. H.).

Но xn—>T с вероятностью единица при ц->оо, поэтому в силу неотрицательности и непрерывности процесса іь 0 s£^ Г, по лемме Фату М ( Ы ^ Д ) < М

2. Л е м м а 6.2. Неотрицательный супермартингал I =								($*, $Ft),
		t		/ т
Т, с	= 1 +	J уt dWs,		P M	y2sd s < ooj =		1 , допускает
представление		0		\o
представление		,			t
		,			t
	J/ =	ex p ^rt (ß) — у			J ß*ds j			(6.5)
где
	ßs = *,+Ye,		ьі-	S	3S>°>			(6.6)
	ßs = *,+Ye,		ьі-	0 ,	*s =	0 .		(6.6)
a **)				0 ,	*s =	0 .
a **)		Л
Г, (ß) = P-Iim X ,<		Л	РГ		pw =	\|Ц
"	J	ds < oo j о				I J Рцdu<n
							t
*) В соответствии с замечанием				к лемме 4.4 у процесса			J	ds, t < Т ,
							о

существует прогрессивно измеримая модификация, которая и будет рас сматриваться как в этом, так и в других аналогичных случаях. Тогда момены хп будут марковскими относительно системы ( У t), 0 <Л

**) Случайные величины Г* (Р) подробно изучались в п. 9 § 2 гл. 4.

§ И	НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ	2 4 1
§ И

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

ап =	о о , если			inf ^ >	—	. Пусть также
				t < T	п '
				0 =		inf {t <		Т: ь = 0}
(а =	о о ,	если		inf %t > 0).		Ясно,		что Р-п. н. оп f 0 , п->
гласно		замечанию 2 к теореме 3.5
				jt =	0	({Г>		f> o}; Р-п. н.).
Поэтому			для всех t,			0	t ^	Т,
					h = h A 0			(Р-п- н.)
				u t		= \	1 ,	t <	а,
				u t		= \	о,	г >	0 .
Из		(6.7)	и (6 .8) получаем, что Р-п. н.
						ІА о

о о . Со-

(6.7)

( 6. 8)

	J, = 8 , л „ = 1 + f	Ѵ ,< І Г ,= 1 + J У . Ч " 7,.
	о		о
т.	е.	t
		t		(6.9)
	It —	1 + J Ssßs d W s		(6.9)
	It —	1 + J Ssßs d W s
c	ßs = (s+Ys-
	Ясно, что
	p( J(*,ße)2rfs < 00) =P (J		y2sd s < 0 0 = 1.	(6. 10)

Поэтому

а„ЛГ

an AT

Ш’	I		(»A)’J d s <
	/a„ Л T
Отсюда получаем P	\|	ß2 d s < o o j = l и, применяя формулу
Ито к 1 п ^Лст , из (6.9)		находим,	что
		Ч Л » „	і Ав„
			(6. 11)

242

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ

СУПЕРМАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 6

Заметим

теперь,

что

для

каждого t

на

множестве

{со: t < а ^ Т }

ds < оо

(Р-п. н.)

и на множестве {со: T ' ^ t ^ o }

h = 0

(Р-п. н.).

Поэтому {со: ^

> 0 ] s

| со: J

ß^ds <

оо |

и,

обозначая

Xt-

*%[t

получаем

ll = hXt = btAoXt = p - ^ X t h Л о„

іЛо„

л о

P-lim xt expl

ßsd ^ e-

ß >

tAa„

іЛо„

Р-)ітх<ехр[ Xt

^s dWs — -^

2 r1о

1 —

ß^ds

Xtexp

P-Iimxt

$s dWs — ¥

ßfrfs .

(6.12)

Поскольку

А о

P-lim %t

$2 ds =

•)

t AO„

то согласно

п.

9 § 2

гл.

существует

tA°n

Гг л а (ß) =

P-lim xt

$sdWs.

Следовательно, Р-п. н. для

каждого t,

O ^ t ^ T ,

t А о

h = xt ex p ^rtA0 (ß ) --

ßs ds ■

(6.13)

§ 1]

НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ

243

Поэтому на

множестве { а ^ Т }

Р-п. н.

Xa e x p ^ r a ( ß ) - T

J ß*dsj = 0.

(6.14)

Выведем

отсюда, что на множестве

I ß2 ds — оо

(Р-п. н.).

Действительно,

предположим противное, т. е. что

Р { (а <

Т) П ( { ß2s ds <

оо ) } >

0 .

Тогда на основании леммы 4.7

( К П П N

ß ^ s < o o

sup

ßsäWs =

оо

и, следовательно, на множестве

(а ^

Т) П

ß2 ds <

ooj

поло

жительной

вероятности

ц ^ е х р М

ß5rfirs -

{

ß2^ U o ,

oo,

что противоречит тому, что

&, ->$(, =

(Р-п. н.)

на

множе

стве

{о ^ Т}.

Итак,

{со: ст<Г}П

со: I

ß2 ds — оо j=

{со: a <

Г}-

(6.15)

Покажем теперь, что для

каждого

^ . Т

Р-п.

н.

правая

часть

в (6.13) равна

t А о

ехР ( F(Aa(ß)

: exp Г((ß) -

ß2s ds .

(6.16)

Зафиксируем t,

Тогда,

если

со таково,

что

t < а,

то (6.16) выполнено очевидным образом, поскольку в этом случае ц — 1> а t / \ а — t. Пусть теперь Т Тогда левая

244 НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ [ГЛ. 6

часть	в (6.16)	равна		нулю.		Правая часть также равна нулю,
поскольку на		множестве			{а ^		Г}
	О
	Jß*ds =			oo,	а		Г0 (ß) =	0	(Р-п. н.)
	о
(ср. с п. 9 § 2 гл. 4).						случаем		неотрицательных			непрерыв
3.	Важным частным					случаем		неотрицательных			непрерыв
ных Р-п. н. супермартингалов, допускающих представление (6.2),
являются процессы			<р = (ф*,			ЗГt), t ^ T , с
					f t			t		\
		Ф; =	exp			ß	d W ~ -	V d s			(6.17)
где процесс ß = (ßp			^F,),		t <	T, таков,		что Р		J ß^ds <	ooj = 1 .
То, что такие процессы допускают представление (6.2),											следует
непосредственно из			формулы				Ито, приводящей к уравнению
				Ф, = 1		+	J qpsßs dWs.				(6.18)
							о
Тем	самым получено			представление				(6.2)	с	Ys = Ф А -пРичем

4.Исследуем сейчас подробнее вопросы существования и

единственности непрерывных решений уравнений типа (6.18),

а	также рассмотрим возможность представления этих решений
в	виде (6.17) или (6.5).		Р-п. и.
	Итак, пусть ищутся неотрицательные непрерывные		Р-п. и.
решения уравнения
	dxt = xtat dWt, * o = l ,	t ^ T ,	(6.19)

удовлетворяющие предположению P ^ j x\a}dt < ooj = l.

Если	случайный процесс		а = (а,, &~t),	t ^ T , таков, что
PI J а ] d t	< оо I =	1, то неотрицательное решение такого урав
нения существует,		единственно	и задается	формулой
		/ t	t	ч

я, = exp I « Л - 7

aIds

(6. 20)

§ 1]	НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ		245
	(Если yt, t ^ T , — еще одно непрерывное решение, то по фор
муле Ито находим, что		= 0, откуда вытекает,	что yt = xt,
t	Т, Р-п. н.)	процесс a = (at, &~t), t ^ . T ,	таков, что
	Если известно, что

уравнение (6.19) имеет непрерывное неотрицательное решение,

то из доказательства леммы		6 .2	следует, что	такое решение
может быть представлено	в виде
				(6. 21)
и это решение единственно.			вопрос о том,	при каких пред
Естественно поставить теперь
положениях о процессе	a =	(at,£Ft), t ^ T , уравнение (6.19)

имеет неотрицательное непрерывное решение. Ответ на этот вопрос содержится в приводимой ниже лемме, для формули ровки которой введем следующие обозначения.

Пусть

	%п —		(6. 22)
и т — lim т„.
П	X
	X
Ясно, что	J	c^ds =	oo на множестве (со: т ^ Г } .
Л е м м а	о	Для	того чтобы уравнение (6.19) имело неот
Л е м м а	6.3.	Для	того чтобы уравнение (6.19) имело неот

рицательное непрерывное Р-п. н. решение, необходимо и до статочно, чтобы Р (Т[ > 0) = 1 и на множестве *) {со: т ^ Т\

(6.23)

Это решение единственно и задается формулой (6.21).

*) Условие (6.23) означает, что на множестве {со: т ^ Г ) «уход» инте

грала J

(со) ds в бесконечность при t -> х (и) происходит непрерывным

образом.

246	НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ СУПЕРМАРТИНГАЛЫ						[ГЛ. 6
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Н е о б х о д и м о с т ь .		Пусть уравнение
				t
			xt = 1 -j- j xsa^dWs				(6.24)
				о
имеет решение it,				с
		Р		а2 ds < оо	= 1 .		(6.25)
Согласно лемме 6.2
	& = ехр ІГ<(а) — j				J a^ds		(6.26)
Поэтому, если	для	некоторого п = 1 , 2 , . . .				Р(т„ = 0 ) > 0 ,		то
				t
это означало	бы,	что	\|	a2sds — oo	с положительной		вероят-
ностыо для любого		t >	0	Но тогда	из (6.26)	вытекало бы,		что
ностыо для любого		t >	0.	Но тогда	из (6.26)	вытекало бы,		что

с положительной вероятностью 50 = 0. Это, однако, противо
речит предположению Р($0= 1 ) = 1 .
	Т
Далее, \|	a?sds=oo	на множестве {со: х ^ Т } и, следовательно,
о			Р-п. н.
Зт = 0. Поэтому на множестве {т <1 Т}			Р-п. н.
0 = і	P-lim	: P-lim exp I	(«) -	aids
		П

Отсюда с помощью леммы 4.7 уже нетрудно вывести, что вы полнено условие (6.23).

Д о с т а т о ч н о с т ь .	Пусть процесс			a =	(at,STt),
удовлетворяет условиям леммы.			Покажем, что тогда
=	ехР	(а)	— -J J	a\dsj	(6.27)

является решением уравнения (6.19). Для этого надо проверить,

во-первых,	что $0 = 1 , во-вторых, что P ^ J ( ^ a s)2 rfs< ooj = l,
в - т р е т ь и х ,	ч т о h> t ^ T , н е п р е р ы в е н Р - п . н. и , н а к о н е ц , ч т о

ä h = h a t d W t .

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 7125 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ