Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 7110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 4]	СВОЙСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ	87
		87

Поэтому, учитывая,

что An( t ) ^ A t (Р-п.

н.), ^ > 0 ,

получаем

М1\

,] > МI '4 - Л»„ Ң)I + МI ■4.(V.)- Л,

5* М М .

л « „ (О І+

, , ) - ' 4.„,,]<гр:

ѵл І ‘еЛ '

{хе < °°}

> м м .

фп (те)

+ еР (Те < °°)>

где мы воспользовались тем,

что в силу непрерывности справа

процессов An(t)

и At,

на множестве

{те <

оо}

(Лі, е)

е ^

Л е м м а 3.8.

Пусть

At, t ^ O ,

— натуральный

процесс,

отве

чающий регулярному

потенциалу

П =

(я,,

5^(),

и МЛ^ < оо.

Тогда для всех п = 1,

2, . . .

и любого е >

оо

М J [ Л ,- Л ,_ Ы Л ,< Н т {еМЛТге_е +

М [Л^Л*, -

Лт„.е)1}. (3.66)

П-> ОО

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Положим

Д„_

= {/: k ■2~" < t <

(/г +

1) 2-гг}. Поскольку для

t <= Д„. *,

процесс (Л„ (/), 5^)

обра

зует мартингал, а процесс (Л;, #",),

/ > 0 , натуральный,

то из

леммы 3.2 нетрудно вывести, что

An(t)dAt = M

Л„(/ —) dAt.

&п, к

Ап, k

Следовательно,

оо

M j

Aa( t - ) d A t =

М |

An{t)dAt.

(3.67)

С другой стороны (ср. с (3.54)),

Л>(/)^ , = Іігп М и Д № + І)-2 -“ -е )[Л ,і+ м _ „_ ,-Л і .г_я]).

дя.*

£ѵ°

(3.68)

Но при е j 0

Ап((^ + П • 2

б) = М [24(ä+1).2_« I ^"(fc+i).2-n-e]

—> М[Л(й+1).2_п j ^"(fe+|).2-»-| ^

Ай+1)-2-,г’

так как величина Л(й+І).2_п

является

iF"(ft+1),2- л-измеримой со

гласно

теореме

3.10.

(я<1

t),

С^О, является

регуляр

Поскольку потенциал П =

ным, то МЛ; =

МЛ^ — Мл; является

непрерывной функцией и

88	МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)		[ГЛ. 3
следовательно,	для каждого t > 0	Р(Л, = Л ,_ )= 1 .	(Заметим,
что Лг_ = 1ітЛ<, существует для		каждого t > 0,	поскольку

Л5~ М [Л^ \&~s]—ns, а я <_ = 1 іт ns и М [Лм \&~* _ ]= Ііт М [Л ^ \ T S]

существуют по следствию

s^t

1 теоремы 3.2 и по теореме 1.5 соот

ветственно.)

Далее, Л(4+]).2_п_е ->Л((А+1)-2_П)_, е->0, где, согласно ска

занному, Р (Л((А+1).2_„)_ =

Л^+І).2_„)=1. Поэтому, если М Л ^< оо,

то из (3.68) следует, что

М /

(О dAt =

М {Л(й+1),2-п[Л(й+1)>2-я

-^Ä-2-n]}>

и,

значит,

оо

М J

Ап (t) dAt —

М {А(/г+І^3- п[Л((5,+]),2-n

(3.69)

Ä=0

Отсюда

с учетом (3.67) получаем

оо

{^(fe+l)-2~"\^(k+\)-2~n

^k-2~n]} ~

lim M

Ля (0^Л (= 1 і т

Л„(<—)гіЛ„

(3.70)

М->оо

П-> оо

следовательно,

оо

М f

[At — At-} dAt = limM Г [An{ t —) — At-]d A t.

(3.71)

Для получения неравенства (3.66) преобразуем в (3.71) пра

вую часть.

Имеем

° °

Х П ,

М {

[An( t - ) - A t-]dAt =

M $

[An{ t - ) - A t-\dA t +

оо

{An{ t ~ ) - A t-}dA t ^ M

A Xn е +

An( t - ) d A t. (3.72)

хп,

Положим

Bt — М(Л00 \9~t).

Тогда, очевидно,

Bt- ^ Ап{t —),

и, значит (см. (3.19)),

оо

М J Л „(^ -)^ Л ,< М [ Д _ і Л <-=М[Лк,(Лоо — ЛѴе)]. (3.73)

§ 4] СВОЙСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ 89

Из (3.72) и (3.73) вытекает

оо

М { [ An (t —) - At А dAt < гМАХп е + М [Лте ( Л » - J], (3.74)

что вместе с (3.71) очевидным образом приводит к неравен ству (3.66).

5. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3.11. Д о с т а т о ч н о с т ь . Будем сначала предполагать, что МЛІ < оо. Поскольку потен

циал П = (яг, &~(),		і ^ О ,			регулярный, то
	МИхе~	^ еі(1] =			М[я,Яіе- я , е]->0,	п-> оо.	(3.75)
В силу	непрерывности			справа процесса Аи		О,
	м І ' Ч			- \ , ч . ) 1 ' * 0’			(3-76)
так как	ф„(те) I те>		П-> оо.
Из (3.75), (3.76)			и	неравенства (3.65) леммы 3.7 получаем,
что Р (те < оо) = 0			для	любого е > 0. Но тогда (см. (3.66))
	lim \|еМАхп е			М IЛоо(Л«, — Лтя Е)]} =		еМЛоо,
	П-¥оо

и, следовательно,

со

МI [At — A t - ] d A , ^ e M A c o .

В силу произвольности е > 0

оо

М { [Л ,-Л ,_ Ы Л г = 0,

и, значит, Р-п. н. траектории процесса непрерывны слева. По

скольку же траектории Лг, t ^ O,					также непрерывны и справа,
то	процесс	А1г	0,	непрерывен	с вероятностью 1.
	Освободимся теперь от предположения					М ЛІ><°°.
	Пусть П = (л;,		t),	0, — непрерывный справа регулярный
потенциал		класса	D и
				“ М ( Ах \ @~t) — A t,		(3.77)
где	Af,	0, — натуральный возрастающий				процесс. Положим
для п — 1,		2, ...
и		A (tn) =		At А п,	= А\п+1) — А\п)
		п\п) =		М [ß("' 10 -J — B f .		(3.78)

90	МАРТИНГАЛЫ	(НЕПРЕРЫВНОЕ		ВРЕМЯ)	[ГЛ. 3
Ясно, что для каждого t ^		0
	•IXі		2 Я(п)		(3.79)
	і ^ О ,		п=1
где потенциалы	і ^ О ,	ограничены		и непрерывны	справа.

Покажем, что каждый из них является регулярным, если регу

лярен	потенциал П = (яь &~t).			каждого п = 1, 2, ...
Из	(3.77) и (3.78) следует, что для
	nt = П(п) + г ѵ
где потенциал
	zt = M [Лоо -	В™ I P t\ -		(At -	В\п)).
Пусть	последовательность	марковских моментов хт \ х .				Тогда
по теореме 3.5 Мл*"1^ М я ^ , Мгх			Л3 Мгт,		и, следовательно,
	lim Мп(тп) ^ Мл'"*,		lim	Mz	Мгг	(3.80)

На самом же деле оба эти неравенства являются равенствами, поскольку потенциал nt, t ^ O , регулярен:

lim Млт = Мят.
т ->ѵоо	тт	1
Итак, каждый из потенциалов		л\п), п = 1, 2, . . . , является

регулярным, ограниченным, и, согласно проведенному выше доказательству, отвечающие им натуральные возрастающие

процессы

B f \

0, непрерывны

с вероятностью 1.

Для

потенциала

я(/!)

соответствующим

натуральным про-

П= I

оо

цессом

является

процесс

Bt = ^ B [ n\

где

каждый

из процес-

сов В[п),

П= I

0, непрерывен.

Этот процесс

также является не

прерывным.

Действительно,

о < в, -

вТ <

(Р-п. н.),

ßoo -

2 В™

(3.81)

п—I

п= 1

где

вероятностью

1 В^ — 2

ß » ->0,

JV—>оо,

поскольку

оо

п—I

M ß 0O= M

в « =

м л

оо< о о .

п—\

что

процесс Bt,

t^zO,

непрерывен

с ве

Из (3.81)

следует,

роятностью

что

Для завершения доказательства осталось лишь заметить,

из

единственности

разложения (3.77) с натуральным про

цессом

At, t ^ O ,

вытекает,

что

Р(Л / = Д<) — 1,

0. Отсюда

следует,

что в разложении (3.77)

натуральный процесс At,

О,

можно

выбрать непрерывным с вероятностью 1.

			Г Л А В А		4
	ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС.				СТОХАСТИЧЕСКИЙ
	ИНТЕГРАЛ ПО ВИНЕРОВСКОМУ ПРОЦЕССУ.
	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
			УРАВНЕНИЯ
			§ 1. Винеровский процесс
	как квадратично интегрируемый мартингал
1.	Пусть	(Q,	Р) — некоторое		вероятностное пространство
и ß =	(ß,),	О,— процесс броуновского				движения (в смысле
определения		§ 4 гл. 1). Обозначим			5 ^ =	о {со: ß5, s^^}-	Тогда
согласно (1.30)			и (1.31) Р-п. н.
			M(ß,\|£FP) =	ßs		< > s,	(4.1)
			Mf(ß/ - ß s)2\|^11 =	^ - s ,		t > s .	(4:2)

Отсюда следует, что процесс броуновского движения ß является

квадратично			интегрируемым (Mß? < оо,					о)	мартингалом (от
носительно		системы			o-алгебр Fß = (^Ff), t ^O )				с непрерывными
(Р-п. н.) траекториями.							справедлив	и обратный результат,
В определенном					смысле
для формулировки которого введем следующее										про
О п р е д е л е н и е					1.	Пусть (Q, ЗГ, Р) — вероятностное
странство		и	F — {8Tt),				0, — неубывающее		семейство о-под-
алгебр		Случайный				процесс W = {Wt, 3Ft),			t^z 0, называется
винеровским			{по	отношению к семейству F — {^~f) , t ^ 0),						если
1)	траектории			Wt,		0,	непрерывны	по t	Р-п. н.;
2)	W = {Wt,			t),		0, является квадратично интегрируемым
мартингалом с WQ= 0 и
			М [{Wt — Wsf \ &~s] = t — s,					t > s .
Т е о р е м а			4.1 (Леви).				Всякий винеровский процесс			W —
= {Wt, 3Tt),			0,	является процессом броуновского движения.

92	СТОХАСТИЧЕСКИЕ	ИНТЕГРАЛЫ	[ГЛ. 4
З а м е ч а н и е	1. Эту теорему	можно	переформулировать

следующим эквивалентным образом: всякий непрерывный квад ратично интегрируемый мартингал W = (Wt,&~t), t ^ O , с W0 — 0 и М [(W( — UA,)2I &~s] — t — s является процессом со стационарными

независимыми гауссовскими		приращениями	с М [Wt — U^s] =	0,
U \W t — Ws]2 = t — s,	t > s .	теоремы Леви	в дальнейшем	мы
З а м е ч а н и е 2.	В силу

не будем различать винеровские процессы и процессы броунов

ского движения		ß = (ß/),		t ^ O ,		поскольку последние являются
винеровскими	относительно системы							сг-алгебр І?\|3 =	(ДІ1),		0.
З а м е ч а н и е		3. Полезное				обобщение теоремы			Леви,	при
надлежащее Дубу, будет дано далее в гл. 5 (теорема										5.12).
Доказательству теоремы 4.1 предпошлем две леммы.
Л е м м а 4.1.		Пусть		а — марковский момент (относительно
F = ( P t) , t > 0), Р(<7<7’) =					1,	Т <оо		и Wt = WtAo, ^ t = r		t Ao-
Тогда W — {Wt,		t), t ^ O ,			— мартингал,
и			М (Г, — r s\|5Ts)= 0							(4.3)
									t > s .
M [ ( ^ _ t s)2l ^ s] = M [ ( / A a ) - ( s A a ) ! # - s],										(4.4)
Д о к а з а т е л ь с т в о .					Для	доказательства достаточно				при
менить теорему 3.6 к мартингалам W — (Wt, 5F,) и [W2t — t,											Л,
0.		Пусть		X = (xt,@~t), 0 ^ / ^ Г < о о , — непре
Л е м м а	4.2.
рывный ограниченный			(Р {sup			\| xt \| <		К < оо} = 1) мартингал и
функция f(x)	непрерывна				t < 7						ча
					и ограничена вместе со своими
стными производными f'(x), f" (х).
Если для	любых s,		t,	0 < s <			t < Т,
							t
	М [(X, -		xsf\		Srs) =		J	M [gu \ r s\ du		(4.5)
							S
с некоторой	измеримой			функцией				gu — gu(со), при	каждом		и,
								т
являющейся			и-измеримой и такой, что М J						g2udu <		оо,
_								о
то Р-п. н.				t

м [/(*,)!£%] =	f(*s) + -I j			M[f"(xu) gtt\ 9- S]du,						(4.6)
			S

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для			заданных	s, t { 0 ^ s ^ t ^ . T )
рассмотрим	разбиение	отрезка [s, t] на п		частей,	s s = t (0n)<
< t\n) < . . .	< 4 П)==/,	такое,	что m a x f^ ] —		0, п->оо.

§ 1]

ВИНЕРОВСКИП

ПРОЦЕСС

Тогда, очевидно,

f (xt) -

f (xs) =

S [f (xf l {) -

f (xtf)}

и по теореме о среднем

f ( Xt\nl i )

~~ f (X‘f )

(Xf

]) \ Xtf l \ ~

Xt{i l)] +

“b ~2

xt{n)J

~2 I

-'ч(п)|2>

где

Дf'f =

f" fxt(n) +

ѲY tW { — Xtf)\ ) — f" (**<«)) -

а Ѳ— случайная

величина,

О ^ Ѳ ^ І .

Я С Н

О ,

Ч Т О

14\'(іпЧ+ 1

)

f (**<»>) IT i f ] = Т f" (Xi f ) J

T[ffi«f]I du +

2 M I Л / " р ^ ( л ^

Поэтому

М)

[ f

( *

п - 1

*i+ 1

, ) l

% M\f"(xt(n))] = ! - Еg u\!rs]duJ

i=о

tin)

V /

П—1

+ T S

M (

p/W

- Л>>]2 I ^

І-

(4 J )

Покажем

теперь,

что

при п —>оо

Р-п. н.

п - I 4+1

М [ Г ( %„І) « , | « ' , ] ‘г“ - ' | м | Г Ы г „ | ! Г , ] л <

(4.8)

/= 0

t ( n )

га—1

■0.

(4.9)

, S M ( Af' h

? -

r r

' !

С этой целью определим

94 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4

Тогда		при	п -> оо
	А п )
п - і	7 + 1			г , I г 1 =
V	J м [Г			г , I г 1 =
/=0	г(/г)	1	'	' '	J
				t	.f M	K	W	t
				=	.f M	K	W	e j y - J r f u -
				s				s

всилу теоремы 1.4 и того, что f"{u)-+ f " ( xu) (Р-п. н.). Далее,

П—*\

Но	М[max I A/" j ]2—> 0		при	я ^ о о в силу непрерывности		с ве
роятностью		1 процесса	xt,	0	^ .Т , и ограниченности	функ
ции	f"(x),	а

п-і	7+1
= 2М [х\ — x ff + 8	J	Mx2t{n)gu du <
/= 0	t (n)	1
		t
		^ 8 K 2 + 8K2J Mg2u du < оо,
что и доказывает (4.9).

§	1]	ВИНЕРОВСКШ"! ПРОЦЕСС						95
	Лемма	4.2 доказана.
	2.	Д о к а з а т е л ь с т в о			т е о р е м ы		4.1.	Пусть <Тд,=
=	inf {t	Т: sup I Ws I = ІѴ}, oN =			T на множестве {со:			sup \| W, \| <
		s< r		_			_	s<T
<	N}. Обозначим также		WN(/) = Wt л aN и				T t = T t AoN- Со
гласно лемме 4.1 (WN (t),			t), 0 ^		t ^ T,	является мартингалом с
M ( [WN (t) ~ WN (s)FI T s) =				м {Д Д Gjv — s Д oN) , <FS]=
							t
						=	J М[хлс(м)І P's] du,
где				1,	Opj	U,
		X n («) =		1,	Opj	U,
		X n («) =		0,	О м	U .
				0,	О м	U .

Тогда по лемме 4.2 для любой функции f(x), ограниченной

инепрерывной (вместе со своими производными f'(x) и f"(x)),

М[f(WN( t ) ) \ r s A0N] =

= f (WN (s)) + ^ j M[f"(WN(u))xN(u )\‘r sA<,N]du. (4.10)

Заметим теперь, что с вероятностью 1 при ѵѴ-^-оо

WN(u)-+Wu, Xn (u)~*^> on ->T,

а 9~s haN \ @~s- Поэтому из (4.10), применяя теорему 1.6, пре дельным переходом по N —>oo получаем, что

мm W t)\STs] = f(W s) + \ \ M \ f " { W a)\Srs}du. (4.11)

Положим f{x) — eilx, где — оо < Я < оо. Тогда из соотно шения (4.11) (примененного к действительной и мнимой частям этой функции) получаем

М [eiKwt 1 = еіШ*- -j - J М [еіШ«\| &~s\ du.	(4.12)
S'

Пусть	yt =	и \ е іШі\&~Х t ^ s , с ys = eaws. Тогда в силу
(4.12) для	t ^	s


96	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ						[ГЛ. 4
Единственное	непрерывное		решение	у, этого	уравнения с на-
чальным условием у$ = е		iXW	s задается	,	«	—гг!*—s)		,
				формулой		yt — yse 1
откуда получаем
	М[е‘М » г » .) \|з г ,\|=			Д І,_".		(4.13)
Из этой формулы видно, что приращения Wt — Ws не зависят
от случайных	величин, измеримых относительно					сг-алгебры	s,

f ^ s , и являются		гауссовскими со средним М [Wt — ГД = 0 и
дисперсией	D [Wt — Ws] — t — s,
Теорема	Леви	доказана.

3.Приведем также многомерный аналог этой теоремы.

Т е о р е м а

4.2.

Пусть

W = {Wt, 9~t),

t ^ O ,

Wt = (WД/), .. .

. .. , r„(0 ), —n-мерный непрерывный мартингал с Р(Г;(0) =

0 )= 1

/ < я ,

М [Г , (/)| £■,] = №,(.?), / > s ,

Р-п. н. и

м l(Wt -

WS)(W, -

Wsy 13rs}= E - ( t -

s),

(4.14)

где E =

E ( n \ n ) — единичная

матрица

порядка

пу^п.

Тогда

W — {Wt, £Ft), /> 0 ,

является п-мерным процессом броуновского

движения с независимыми компонентами.

Д о к а з а т е л ь с т в о

мало

чем

отличается

от доказатель

ства в одномерном случае. Полагая

aN =

inf { t <

Т: sup

I Г,- (s) | =

./V

5 < t

I—l

и <JN =

T на

множестве

{со: sup

| W, (s) | <

N [, сначала

тем же

путем

/=1

устанавливаем, что для любой

функции f —

— f (хь . . . , хп),

ограниченной и непрерывной вместе со своими

производными /' И / " х ,

М \f (Г ? (/), . . . ,

WNn (/)) I

<Fe л oN] =

f ( # f (s), . . . ,

W(nm (s)) +

•••> ^ n ( u ) )x A u ) \ ^ s A 0 N\du,

(4.15)

+ | J

I—l

где

<yM> u,

%N(“) =

aN ^ u.

Отсюда после предельного перехода при УѴ-> оо получаем, что

М [/(ГД /), . . . . Wn{t))\srs) = f{W{{s), . . . . Wn(s)) -f

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 7110 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ