книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

Продолжая

неравенства (2.6),

находим

I

(хп — xx) d P >

I

{Xn+i — xx) d P ^ ...

ЛП{а=п}Л{т>га}

ЛП{а==/г}П{т>«+1}

. . . >

J

(xN - x x)dP = 0.

(2.7)

ЛЛ{сг=гс}Л{т*=.Ѵ}

N

Поскольку

ß \ ( J ( a

— «}

есть

множество

меры

нуль,

то

п= 1

из (2.7) следует (2.4).

п =

1,

. . . . N, — супер­

С л е д с т в и е

1.

Пусть X = (хп, &~п),

мартингал.

Если

Р ( т ^ а ) = 1 ,

то Mxj ^

Мха ^

Mxt ^

Мх^.

С л е д с т в и е

2.

Пусть

X = {xn,STn), п =

1, . . . ,

N, — суб­

мартингал.

Если

Р ( т ^ а ) = 1 ,

то МХ[ ^

Мха

Мхт ^

Мх^.

С л е д с т в и е

3.

Пусть X =

(хп, @~п),

п =

1,

. . . , N, — супер­

мартингал. Тогда,

если г — марковский момент и P ( x ^ N ) =

1,

то М I хт I <

Мх, +

2Мх~ ^

3 sup М I X

I.

В

самом

деле,

|хт | =

хт +

2х~ и, по следствию 1,

М | х т | =

= Мхт +

2Мх~

MXj +

2Мх~. Поскольку (хп Д 0, 5TJ, п =

1, ...

. . . ,

N, — супермартингал

(пример 3),

то

последовательность

(х~, £Г([),

где

х~ — — хп Д 0,

образует субмартингал и, по

следствию 2,

Мх~ ^

Мх~. Значит,

М I хт j <

Mxj -f- 2Мх~ <

IVJXj +

2Мх" <

Mxj +

2М j xN| <

< 3 sup M I хп |.

га< N

Просматривая доказательство теоремы 2.1, замечаем, что

если

Х = (хп, @~п),

п =

1, . . . ,

N,

является

мартингалом,

то

в (2.6),

(2.7)

неравенства

превращаются

в равенства.

Следова­

тельно,

справедлива

Т е о р е м а

2.2. Пусть X =

(х„,

@~п), п — 1, . .., N, — мартин­

гал. Тогда для любых двух

марковских моментов т и о таких,

что Р (т ^ N) = Р (о ^ АО =

1,

ха =

М (хт\&~а)

({т>а},

Р-п. н.)

(2.8)

или,

что эквивалентно,

хаЛТ— М(хт |ЗГ0) (Р-п. н.).

С л е д с т в и е

1. Если Р ( т < а ) = 1 ,

то Мх,=Мха==Мхх==Мхѵ.

4.

Т е о р е м а

2.3.

Пусть X =

(х„, @~п),

п = \ , . ..,

N, — суб

мартингал.

Тогда для всякого Л > 0

Р (шахх„

J

^ 4 “

xNd P ^ - T Mx+,

(2.9)

М

П

А

§

1]

ПОЛУМАРТИНГАЛЫ (КОНЕЧНОЕ

ВРЕМЯ)

49

=

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Введем

марковский

момент т —

m in{n< A :

х„>Я}, полагая т = А,

если

max хп < Я. Тогда

по следствию 2 теоремы 2.1

tis^N

Мл:« >

Мхт

J

Хх dP +

J

xx dP ^

I max

х„ ^ Я)

max X ,

< AI

1»<JV

"

< N

'

J

d P +

J

xNdP.

f max

* „ >

Al

Г max

x„ <

Al

Отсюда

получаем

U<AT

"

/

U<N n

]

ЯР {max

> Я} < M.%

J

Я д ,

d

P

=

n=C N

max

x„ < A)

n^N

n

}

=

J

xNdP^

J

x+dP<Mx+,

f max

x„ > Al

( max

x„ >

Al

ln < (V П

)

l « < (V

"

j

что и доказывает (2.9).

Аналогично

доказывается

и (2.10).

Нужно лишь положить

т = т іп { я ^ А :

хп ^ — Я} с т = А,

если

min хп >

— Я.

мартингал с

< оо, n =

1, . .

А).

Тогда

последовательность

хп> ^ п )

будет

субмартингалом

(пример А)

и в силу

(2.9) вы­

полнено

неравенство

мА

Р {max 1хп 1^

Я} ^

(2.11)

-„г -.

п< X

А

Т е о р е м а

2.4. Пусть X = (хп, 9~п), п =

1,

А, — неотри-

цательный субмартингал.

Пусть

Мх^ < оо

( 1 < р <

оо). Тогда

M{maxxn¥ ^ ( p ^ {)

MxpN.

(2.12)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим

у — max хп и

F (Я) =

= Р { у ^ Ц - Тогда в силу (2.9)

ЯР(Я )< j xN dP.

(2.13)

(У >А)

50

МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 2

L

L

м {у Д L f = - I XPF (dX) =

J F (X) d (Xp) - [XpF (Я.)]^ <

0

0

L

L

“аI1»L оI

Ar" 'ІР = 1Г=ГТМ^ » < !'Л Ц "‘ ІІ-

Согласно неравенству Гёльдера y q =

М [xN(y А V f ' '] <{Mx»Nf

М [(у A l )(p~I)?]I/<7 =

= [MxP/]llp{ M ( y A L f f lq.

Итак,

М(у А L f ^ q [ M ( y А L f ] Uq[MxpN]llP

и, поскольку М (у А L)p^

Lp < оо,

М {у А L f ^ q pMxpN.

(2.14)

По теореме 1.1

Мур — Нш M ( y A L f .

Поэтому из

(2.14) сле-

дует требуемая

оценка:

Мур ^ qpMxpN<

оо.

С л е д с т в и е . Пусть X = (хп, ЗГп),

— квадра-

ПОЛУМАРТИНГАЛЫ

(КОНЕЧНОЕ ВРЕМЯ)

51

вверх интервала (а,

Ь) субмартингалом

X». С этой целью обоз­

начим:

то — О,

п ^

N : хп^

а},

Т] =

min {0 <

т2 =

min {tj <

п ^ .Ѵ: лг„

Ь},

т2т_, =

min {т2т_2 <

/г <

А1;

хп<

а},

т2т =

min {т2т_; <

п <

TV:

>

ft),

При этом,

если

inf

лг„ >

а,

то

Ті

полагается

равным N,

а мо-

менты т2,

т3, ...

п<іѴ

Соответствующие замечания

не определяются.

относятся и к последующим моментам.

пересечений

снизу

О п р е д е л е н и е

2.

Числом

ß =

ß(a, Ь)

Т е о р е м а

2.5. Если

X =

(хп, £Г„),

п = 1

, N, — субмар-

тингал, то

Mß(a, b

М[; N '

Мх + + |

Ь—а

(2.15)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку

число

пересечений интер­

вала (а, Ь)

субмартингалом

Х — \хп,ЗГп),

n ^ .N , совпадает

с числом пересечений интервала (О,

b — а) неотрицательным

субмартингалом Х + = ({хп— а)+, @~п),

n ^ .N ,

то можно считать,

что исходный субмартингал неотрицательный и а = 0.

Итак, надо показать,

что для b >

О

Mß(0,

=

(2.16)

N

bß(0, ЬХ: S %i

Xi —

* / _ ,]

и

1=1

h i — 1} —

U [hm

І} \

hm+l ^ f}]-

m нечетно

N

N

ЬЩ(0, &)< М

—

J

{Xi — Xi-i)dP =

i=i

; = i {x;= i }

N

N

= 2 1 М(л:,—jc,_, |^-, _,)dP—

j

[ М ( д с , | ^ - і ) - ^ - і ] г і Р <

i=ip-r'}

N

i=1{xi=1}

< V

Г[M(JC/ l&'i-i) — JC£_,]rfP = MxN.

Теорема доказана.

аналогии с ß {а, Ь) можно определить

З а м е ч а н и е . По

Мсс(а, Ь) тем же методом, что и при

выводе (2.15), можно по­

лучить следующую оценку:

М(% - ^

м

+ 1ь\]

(2.17)

Ма(а, Ь) ^

В

этом параграфе будет

предполагаться, что полумартин­

галы

Х = (хп, S?~n) определены

для

п — 1, 2, . ...

Т е о р е м а 2.6. Пусть X — (хп, @~п),

п < оо, — субмартингал

такой,

что

оо.

(2.18)

sup Мхф <

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

х* = lim sup хп,

xt — lim inf хп.

Предположим, что

П

П

0.

(2.19)

Р {х* > x j >

Тогда, поскольку {х* > x j —

(J

{х* >

b > а > x j

(а,

b — рацио-

нальные числа), то найдутся

а <Ь

такие а и Ь, что

Р {х* > b > а > x j >

0.

(2.20)

Пусть $N(a, b) — число

пересечений

интервала

(а, Ь) суб­

мартингалом (хп,&~п),

и

ß00(a,

b) = lim ß^ (а, b). Тогда

согласно (2.15)

N

Mß^, {а, Ь) = Нш Mß^ (а, Ь ) <

sup Мх% + I а\

— ------- < о о .

N

о — а

Итак, Р (х* =

X,) = 1, и, следовательно,

Ѵ\тхп существует

с вероятностью

П

обозна­

1. Этот предел будем в дальнейшем

чать х^. Заметим, что в силу леммы

Фату

Мх+sSj sup Мх+.

С л е д с т в и е

1. Если Х — {хп, З г^),

п ^

П

\ , — отрицательный

субмартингал (или положительный супермартингал),

то с ве­

роятностью 1 существует lim хп.

С л е д с т в и е

П

1, — отрицательный

2. Пустъ X = (хп, ЗГ„), п >

следовательность X = {хп, @~п), п = 1,

2, . . . ,

оо, с

хоа = \\тхп

П

и

= о U 8~п \

образует отрицательный субмартингал (по-

'П=1 /

ложительный супермартингал).

п — 1,

2 , . . . ,

— отрица­

Действительно,

если X = (xn, 9 rn),

тельный субмартингал, то по лемме Фату

Мх^ =

М lim x „^ lim

>

— о о

С л е д с т в и е

3. Если Х ~ ( х п, @~п),

п ^ І , — мартингал, то

(2.18) эквивалентно условию

sup МI хп I < о о .

(2.21)

П

В самом деле, М | хп |=Мх+-|- Мх~=2Мх+ — Мхга=2Мх+ — Мхг

Поэтому sup М I хп I = 2 sup Мх+ — Мхг

п

п

хп — М (ті 12Гп) (Р-п. и.),

1.

54

МАРТИНГАЛЫ

[ГЛ. 2

Заметим,

что в случае конечного времени,

1

всякий

мартингал

является регулярным,

поскольку

xn = M(xN \£Гп),

1 ^

п ^

N.

Т е о р е м а 2.7. Следующие условия на мартингал Х = (хп, &~п),

1,

эквивалентны.

(A) регулярность, т. е. возможность представления в виде

хѣ— М (Л I 2Гп) (Р-п. и.)

с

М I т) I

< °°;

(B) равномерная интегрируемость величин xh х2,

(C)

сходимость последовательности

xt, х2, . . .

в

L1:

l i m

М 1 хоа — хп \ = 0\

П

(D)

sup МI А7 1 1<

оо и

величина

x^ — Um хп

такова, что хп —

П

П

_

=

М (*»!£■„)

(Р-п. н.),

т.

е. последовательность

X = (х,

5Гп),

1 ^ / г ^ о о ,

образует мартингал.

Надо показать, что

вели­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

(А)=Ф(В).

чины хп =

М (р 15Г„),

1,

равномерно интегрируемы. Имеем

\хп К

М ( h

I \ff~n),

M U „ | < M | t]|,

sup М| xn К

М| г) I <

oo.

Отсюда для

с > 0,

b >

0

получаем

П

хп I dP <

т] I dP =

Iplöfp-f

J

l p l d p <

{ I хпI > 4 П ! I Ч I > Ь)

{ I х п ] > с) п {I ЧI < Ь)

< Ь Р { І * я І > с } +

I | г ) М Р < у М и „ |

+

IТ] jöfp.

Следовательно,

{| чі>Ъ]

(I Ч I > Ь)

sup

x „ | r f P < y M | p | +

T\\dP,

{ \ х п \ > с )

(ІЧІ >Ъ)

lim

sup

\х п I dP <

J

I У]I d P .

С A

oo

п

{| *„ | >С)

{I Ч I > Ь)

Но b >

0

произвольно,

поэтому

lim sup

f

\xn \dP = 0,

С 4 oo

n

, .

%. .

(\xn\>c)

что и доказывает утверждение (В).

то,

(В) ==> (С). Поскольку х„== М (г] 15Гп) равномерно интегрируемы,

во-первых, supM|A:„|<oo

и,

следовательно,

lim xn( = x 00)

существует

П

3

теоремы

п

(следствие

2.6) и, во-вторых, согласно

§ 31

РЕГУЛЯРНЫЕ МАРТИНГАЛЫ. ТЕОРЕМА ЛЕВИ

55

х2, . . . сходится

в L 1

(скажем, к случайной величине

у),

то

sup МI хп I <

оо.

Тогда

на

основании следствия 3 теоремы

2.6

П

lim л:„(==хоо),

и,

значит,

М | хп —■у |-> 0,

Хп-^-х^

существует

П

Следовательно,

(Р-п. н.), п —>оо. Поэтому у — х^ (Р-п. н.).

т. е. М|ж„ — *то|->0, п-> оо,

и М(д:„|5гт ) — -> М ( * J ^*т), если

оо. Но М(д:„| &~т) — хт (Р-п. н.),

и, значит, xm — { x j 9~т)

щий полезный результат (П. Леви), упоминавшийся в §

1 гл.

1.

Т е о р е м а

2.8.

Пусть т) =

л(со) — интегрируемая (М | г) 1<

оо)

случайная величина

#"2 s . . .

— неубывающее семейство

Q-подалгебр 5F. Тогда

при я -> оо Р-п. н.

М (лІ^-я)-> М (гіІ^ те),

(2.22)

где

'«=і

'

Обозначим хп= М(г) |@~п). Последова­

Д о к а з а т е л ь с т в о .

тельность

Х = (хп, @~п), я ^ І ,

образует регулярный

мартингал.

Согласно

теореме

2.6 существует lim *,«(=--О ,

и

по

лемме

Фату М|

К

М|

л I-

Далее,

если

и т >

я ,

то

I

xm dP = I

хп dP =

I М(т] \g~n)dP =

J л^Р-

л

л

л

л

По теореме

2.7

последовательность

{дгт , я г ^

І}

равномерно

интегрируема.

Поэтому

МхлІ^т —

J —►0, т -> оо,

и,

значит,

J

x ^ d P ^ J Л^Р-

(2-23)

Равенство (2.23)

выполнено для любого А е

и, следова-

множества А из

оо

тельно,

fljÄ любого

алгебры [J

Левая и

правые

части в (2-.23) представляют

Я==1

ст-алдитивные меры (быть

может,

принимающие и отрицательные значения,

но конечные),