книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

§ 21

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

29

в таком виде *):

fl(x u

хп) =

е х р { - 1 ( Л ( х - m), (л: — m))J,

где %= (л:1,

хп), т — {ти . . . ,

тп).

Как и в одномерном случае (п — 1), вектор m = (mh . . . , тп)

и матрица

/? =

||гг/||

допускают

простую

и наглядную

интер­

претацию:

т г =

М|г>

гі; =

соѵ(|ь i/)=M (gi — m,-)(|у — m,).

(1.18)

Иначе

говоря, m

есть вектор

средних

значений,

а

Д есть

матрица

ковариаций

вектора £ =

(£,, . . . ,

£„).

— неко­

Система

случайных

величин

£ = {£а, а е %}, где

торое конечное

или

бесконечное множество, называется гаус­

совской, если

любая

линейная комбинация

1А і +

’ •'

+

Ч А л ’

“<е 91’ S е RX'

г — 1, 2.........п’

случайных

величин ^ = {ga, аеЗ І}

называется

гауссовской,

если

для

любого п и любых а,, . . . ,

ап е

91

случайный

вектор

, . . . ,

%а ^ является гауссовским.

§ 2. Случайные процессы. Основные понятия

1. Определения. Свойства измеримости. Пусть {Q,

Р) —

вероятностное

пространство

и

Г =

[0, оо).

Семейство Х — (%),

t

Т,

случайных

величин

=

называется

(действитель­

ным)

случайным

процессом

с

непрерывным

временем

t s Т.

В том случае, когда временной параметр

/

пробегает множе­

ство ІѴ =

{0, 1, ...,}, семейство

Х =

(|Д

if

е

I V , называют

слу­

чайной последовательностью или случайным процессом

с

ди­

скретным

временем.

в е Н функция

времени

^(ю)

( t ^ T

При

фиксированном

или t ^

N)

называется

траекторией или реализацией, отвечаю­

щей элементарному исходу ы.

X =

(где

С каждым

случайным процессом

{%t), t ^

Z

Z

— Т

в случае

непрерывного

времени

и Z = iV

в случае дискретного

времени), естественным образом связываются а-алгебры

ZFS —

=

a{£s, s ^ /} ,

являющиеся

наименьшими

a-алгебрами,

отно­

сительно

которых измеримы случайные величины | s, х

Для

условных

математических ожиданий

иногда

будем

30

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

[ГЛ. 1

использовать также следующие

обозначения:

М (rj [

и

M(rili')-

Для условных вероятностей

Р(Л |£Г|) применяются

анало­

гичные обозначения: Р ( Л ||Я,

и Р ( Л| ^) .

Случайный

процесс X = (%t),

tc=T, называется измеримым,

если для

любых борелевских

множеств В е

38 числовой

пря­

мой R1

{(со, t): ^ ( с о ) е й } е Г Х « ( П

где 3S(T)

есть

а-алгебра борелевских множеств на 7 =

[0,

оо).

странстве (£2,

Р).

Я =

(£*), / е Т, — измери­

Т е о р е м а

1.9 (Фубини). Пусть

мый случайный

процесс.

измери­

1) Почти все траектории этого процесса являются

мыми (по Борелю) функциями от t е

Г.

то mt =

является

2) Если

М\t

существует при всех t е Г ,

измеримой функцией от t e T .

Т — [0, оо) и

3) Если

S — измеримое

множество на

J

М|

I* |d* < °о,

то Р-п. н.

[ | ^ | ^ < ° ° .

S

і

j

J It dt.

s

s

Пусть

F — (9~t),

t ^ T

, — неубывающее семейство

сг-алгебр,

цесс

X =

s ^ t .

Говорят, что (измеримый) случайный про­

(%t), t ^ T ,

согласован с семейством сг-алгебр F = (&’t),

t ^ T ,

если при каждом t е Т случайные величины

являются

будут обозначаться X = (%t,iF t), t<=T, и л и

просто X = (\t, 3 rt)

и называться F-согласованными или неупреждающими *).

Случайный процесс Х =

(\и STt), t ^ T ,

называется прогрес­

сивно измеримым, если для

каждого І е Г

§ 2]

Сл учай ны е п р о ц е с с ы , о сн о вн ы е понятия

Зі

Очевидно, что в с я к и й прогрессивно измеримый

случайный

npoüecc

X = (%t,&~t), t ^ T , является измеримым и согласован­

ным с F =

{3~t), t е Г .

Всякий непрерывный справа (или слева) случайный процесс

X —

t ^ T ,

является

прогрессивно

измеримым

[126].

Два

случайных процесса

Х = (Іі (ы)),

І е Г , и X ' =

(£' (©')).

/ е Т ,

заданных,

быть может, на разных вероятностных

про­

странствах

(£2, 3F, Р) и

(СУ,

, Р'),

будут называться

слабо

эквивалентными,

если

Р (со:

Ч . е

4 . } = Р > ':

&

It.

А..

для любых

tu . . . , Іл е Т

и борелевских

множеств Л,.........Ап

числовой прямой

R’.

( |<(со)) и X '=

(|'(а>)), t ^ T , задан­

Случайные процессы Х =

согласован

(с F = ( ^ ) , t ^ T ) ,

то у него существует прогрес­

сивно измеримая

модификация

[126].

Пусть £ =

£(<»)

и т) = л (со) — две

случайные величины, опре­

деленные

на

(£2, ЗГ),

причем

р является ^«-измеримой,

где

&’t = o(Q.

Тогда

существует

такая борелевская

функция

Y —

= Y (х), X е R \ что ц(со) = Y (|(со)),

Р-п. и. В дальнейшем часто

будет

использоваться

следующее

обобщение

этого факта

(см.

[46], стр. 543).

— случайный

процесс, опре­

Пусть

|(со) = (If (со)),

деленный

на

(£2, £Г), ^ ~ « = а { со: \ t (ш), t ^ Г} и

&т — наимень­

шая ст-алгебра в

пространстве RT всех действительных функ­

ций x = (xt),

0<П ^ T ,

содержащая множества

вида {л:: я* е

g 4|,

... ,

xi/t^ A

nJ, где 0< Н ( ^ 7 ’

и At — борелевские множе­

ства

на числовой

прямой, і =

1, . . . , п, п =

1, 2, ...

Если случайная величина г) = г|(со) является ^«.-измеримой,

то найдется такая ^-измеримая

функция

У — Y (х), x ^ R T,

что г] (со) =

У (| (со)), Р-п. и. *).

Более того, существуют не более

тервалу [О, У], и (измеримая) функция

У = У (г), определенная

для z — (z{, z 2, ... ) ^ R ° ° , такие,

что

ті(<в) = У (£,_(<»),

. . . )

(Р-п. и).

§ 2]

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

33

ного А конечномерные

распределения

не меняются

при сдвиге

на А:

Р fі/. е А ' • *• ’

:Р {^

+д

+д

-J

^

ьп

'ч

‘

'-Л 1

ѵЧ . “

если только

,

tn,

/,

+

A,

. . . ,

А е Г .

называется

Случайный

процесс

J

= (gf (ш)), / е Г =

[0, оо),

стационарным в широком смысле, если

< °°>

t ^ T

и

М|, =

М ^+д,

M|s| f — М|5+Д| г+Д,

т. е. если первые и вторые

моменты

не меняются при сдвиге.

М а р к о в с к и е

п р о ц е с с ы .

Действительный

случайный

процесс X — {\t,3~t),

t ^ T ,

заданный

на

(Q, £Г, Р),

называется

марковским

относительно

неубывающей

системы о-алгебр

F — {SFt), t ^ T ,

если Р-п. н. *)

Р ( Л П Я І Ы =

РМІ £,) Р( ДІ &)

(1.22)

для любых t ^ T , A ^ 3 T t,

ß e

f |

s ^ f ) .

Действительный

случайный

процесс

X =

{lt), t ^ T , назы­

вается (просто) марковским, если он

является марковским от­

носительно

системы

ст-алгебр

t =

&"\ =

а {%s, s ^ t ) .

цесса

X — {It, 9~t), t < = Т.

условия

эквивалентны,

Т е о р е м а

1.11.

Следующие

1) X — (%, &~t),

t ^ T ,

— марковский

процесс

относительно

F = (Sr,),

і е Г ;

и любой ограниченной SF^t

го)-измери­

2)

для

каждого t ^ T

мой случайной

величины г|

М (Т1І^)=М (Т1ІЫ (Р-п. и.);

(1.23)

3)

для

t ^ s ^ O

и

любой

{измеримой)

функции

f{x)

с sup I f{x) I <

о о

*

M[f(Zt)\Srs} =

M [ f( W \U

(1-24)

Для проверки того, когда

процесс

X = ( l t), t ^ T ,

является

(просто) марковским, полезно следующее утверждение.

{\t),

Т е о р е м а

1.12.

Для того чтобы случайный процесс X =

t е Г,

был

марковским,

необходимо

и достаточно,

чтобы для

каждой

{измеримой) функции

f{x)

с

su p |/(*) | < оо

и любого

набора

0 ^

^

t2^

. . . ^

tn

t

X

h n] =

M[f{lt) \ltn],

(1.25)*2

МАРКОВСКИЕ МОМЕНТЫ

35

1. Свойства марковских моментов. Для

каждого

/ е Г

по­

ложим*)

s’

=

о ( [}&"<,) . ^ o - =

и

=

S > t

\ s < t

I

Последовательность

сг-алгебр F — {0~t),

t<=T,

называется

непрерывной

справа, если 8rt — 2T(+ для

всех

t& F .

Заметим,

что семейство F+=(TFі+) всегда непрерывно справа.

t} е

& t и,

Л е м м а

1.1.

Пусть

т =

т(<а) — м. м.

Тогда {т <

следовательно, {т =

і) е

t.

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует из того, что

Утверждение, обратное лемме 1.1, вообще говоря, неверно.

Однако справедлива следующая

t e T ,

непрерывно

Л е м м а

1.2.

Если

семейство F — (&"t),

справа и т =

т(со) — случайная величина со значениями в [0, оо]

такая,

что

для всех t ^ T , то т

есть марковский

момент, т. е.

{т«5Д}е£Г,,

І е Г .

{т <

t} е

ëFt, т о { т ^ ^ } е

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поскольку

е ^*/+е для любого

е >

0.

Следовательно,

{т ^

е

@~t+ =

9~t.

Л е м м а

1.3. Если хь т2— марковские моменты,

то tj Д т2 =

sm in (x i,T 2),

т,

V т2 === шах(т!; т2) и

Т| +

т2

также

являются

марковскими

моментами.

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует непосредственно из соотношений

{ т , А т 2

<

0 =

( т ,

<

t) U { т 2

<

t},

{ т , V т 2 <

/} =

{ т , <

f) П { т 2 <

і),

{Т[ + т2 < 0 = {и — 0, т2 = /} U

(J

U {И =

t, т2 =

0} U /

[{tj <

а}П{т2 <

Ь}]\ ,

a+b < t

. а, 6>0

где а,

b — рациональные

числа.

мар­

Л е м м а

1.4.

Пусть

т,,

т2, . . . — последовательность

ковских моментов. Тогда sup хп также марковский момент.

Если

к тому же семейство F =

І е Г ,

непрерывно

справа,

то

inf т„,

lim sup хп

и

lim inf тп

также являются

марковкими

мо-

п

п

п

ментами.

следует из того, что

Д о к а з а т е л ь с т в о

{sup хп<

t) = П

< t} e= & „

{inf t„ < t) =

(J {xn

n

„

n

„

*) Наименьшая 0 -алгебра в f

иногда обозначается

V r s.

и для lim sup!;* = inf su p tm, lim inf т„ == sup

inf x m

rt

n

п~^\т~5*п

CO

CO

OO

/-

J 1

{limsup t„ < =

U

U

П

І Т т < ^ ~ І Г

n

k— \ n= l

m=n

oo

oo

со

r

J л

{lim inf Tn > t} =

(J

Г)

\ J \ X m > tJ r ~k)'

личиной. Если % и а — два

марковских

момента и т(й))^а(ш )

(Р-п. н.), то SF%s

Т а.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть А — ( т ^ s}. Надо показать, что

Л П {т ^

0 ^

i s T ,

Имеем

{х < 5} п {т < /} = {т < t А s} s F t л « S T u

Следовательно, м. м. т является ^-измеримым.

поскольку

Пусть теперь

A s

{со: о < оо} и У Іе J t . Тогда,

Р { т ^ с г } = 1 и а-алгебры

пополнены,

то с точностью до мно­

жеств

нулевой

вероятности

множество

Л ГҢ о^О

совпадает

с множеством А П {т<П} Л {о=^/},

которое принадлежит &~t. Сле­

довательно,

множество ЛП {а<П }е ^ Д и, значит,

Л е м м а

1.6. Пусть хь х2,

. . . — последовательность мар­

системы о-алгебр F==(^',),

f е

Г,

и

пусть х — inf т„. Тогда

П

Согласно лемме 1.4 т является м. м.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Поэтому по лемме 1.5

^

Ts

f ' | ^

Tri.

П

С другой

стороны,

пусть

Л е |~ )5 г1. . Тогда

П

ЛП{т</} = Л П / и ( т» < 0 )

=

и ( л П{тп < / } ) е ^ .

\ п

і

п

Отсюда, в силу непрерывности

справа {£Ft — Srt+),

вытекает,

что А е SCj.

1.7. Пусть

х и

а — марковские моменты относи­

Л е м м а

тельно F —

t ^ T .

Тогда каждое из событий {т <

а}, {т > а},

{т^ст}, { х ^ о } и {х ~ о }

принадлежит

одновременно

х и @~а.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для каждого

і е Г