книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы
.pdf§ 2] |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПРОЦЕССЫ ИТО |
10? |
|||
|
|
|
|
||
упреждающего процесса |
f(s, со), |
является прогрессивно |
|||
измеримым случайным |
процессом. |
|
|
||
|
Приведенные рассуждения можно использовать (в случае, |
||||
когда 0 -алгебры |
t пополнены множествами из ЗГ, |
имеющими |
|||
P-меру нуль) для |
доказательства |
п. г) леммы 4.4 |
сведением |
||
к случаю, рассмотренному в п. в). Однако доказательство, приведенное в п. г), имеет ту ценность, что оно указывает способ построения простых функций fn(t, со) непосредственно по значениям самой функции f(t, со).
5. Итак, пусть /(=9№г. Согласно только что доказанной лемме существует последовательность простых функций fn(t, со), для которых выполнено (4.39). Но тогда, очевидно, и
|
lim |
М |
[ [fn(t, |
— |
со)]2dt — 0, |
||
|
Пя ~ > ООon |
|
j |
|
|
|
|
|
т~>оо |
|
|
|
|
|
|
а следовательно (по свойству (4.37)), |
|
||||||
lim М |
I fn(t, сü)dWt ~ |
\ |
fm(t, |
(0)dWt |
|
||
П-> оо |
о |
|
|
о |
|
|
|
т-> сю |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
= |
lim |
М |
Г [fn(t, со) — |
со)]2dt = 0. (4.41) |
||
|
|
« |
ОО |
|
V |
|
|
Таким образом, последовательность случайных величин IT(fn) фундаментальна в смысле сходимости в среднем квадратиче ском и, значит, сходится к некоторому пределу, который будем
|
т |
|
|
|
обозначать |
Іт(/) или J f(t, |
со)dWt: |
|
|
|
о |
|
|
|
|
IT(f) = |
U. m. l T(fn). |
(4.42) |
|
|
|
|
П |
|
Значение |
(с точностью |
до |
стохастической |
эквивалентности) |
этого предела, как нетрудно показать, не зависит от выбора аппроксимирующей последовательности {/„, п = 1, 2, ...}. Следо вательно, данное определение стохастического интеграла lT{f) корректно.
З а м е ч а н и е 1. Поскольку значение стохастического интег рала Іт(f) определено с точностью до эквивалентности, усло вимся считать Ir (f) = 0 для всех тех со, для которых f(t, со) = 0
при |
всех |
(ср. со свойствами стохастических интегра |
лов |
от простых |
функций, п. 3). |
108 |
|
|
|
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ |
ИНТЕГРАЛЫ |
|
|
[ГЛ. 4 |
||||||||
Пусть |
снова |
f е |
Шт. Определим семейство стохастических |
||||||||||||||
интегралов It (f) |
при 0 ^ / ^ Т , |
полагая |
It (f) = Іт |
т. е. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
/,(/) = J |
/(*, |
®)%t(s)dWs. |
|
|
(4.43) |
|||||||
Для |
It (f) |
естественно пользоваться |
также |
записью |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со) dws. |
|
|
|
|
(4.44) |
|||
Остановимся на основных свойствах стохастических инте |
|||||||||||||||||
гралов It (f), |
|
|
|
от функций f, fi<=3RT, 1= 1, 2. |
|
||||||||||||
|
|
It{afi + bf2) = |
alt (fl) + |
blt (f2), |
a, b = |
const. |
|
(4.45) |
|||||||||
|
|
t |
|
|
u |
|
0j f |
|
t |
|
|
|
u |
f (s, со) dWs, |
|
(4.46) |
|
|
|
0j |
/ (s, со) dWs = |
(s, CO) dWs + |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
где |
|
t |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
J/ ( 5, |
a>)dWs = |
f/(5, co)x[Ui ,,(5) dWSi |
|
|
|
||||||||||
|
|
u |
|
|
|
|
Ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a X[„, t) (s) — характеристическая функция |
множества и ^ |
s ^ t |
|||||||||||||||
|
|
lt (f) — непрерывная функция |
по t, |
|
|
(4.47) |
|||||||||||
|
|
M |
' t |
|
|
|
|
I |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J f ( u , |
a > ) d W u \ T S |
= |
J |
/ (и, |
со)d W a, |
|
|
(4.48) |
|||||||
|
|
|
Lo |
|
Г t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
j fi (и, со) |
|
J |
/г(«> ©) dWu, |
|
= |
M |
J fi(u, |
a) f2(u, |
a) du. |
|||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
J |
o |
|
|
|
|
(4.49) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
f (s, со)= 0 |
для |
всех |
s, |
0 ^ |
s ^ |
Г, |
и со e |
Л e |
$FT, то |
|||||||
|
|
|
J |
f{s, |
(äi)dWs = |
0, |
|
/ < 7 \ |
|
сое Л. |
|
(4.50) |
|||||
Процесс |
|
0 |
< f |
< |
7\ |
/ е З й г, |
прогрессивно измерим, и, |
||||||||||
в частности, |
It (f) STt-измеримы |
при |
каждом t, 0 ^ / ^ Г . |
|
|||||||||||||
Для доказательства (4.45) достаточно выбрать последова |
|||||||||||||||||
тельности простых |
функций |
f\n) |
и f(2n) |
такие, что |
|
|
|
||||||||||
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ ИТО |
109 |
и затем совершить предельный переход в равенстве
It {af^ + bff) = alt (f^) + blt (ff).
Аналогично доказывается и свойство (4.46).
Свойства (4.48) и (4.49) следуют из свойств (4.36) и (4.37), поскольку из сходимости случайных величин в среднем квадра тическом вытекает сходимость их моментов первых двух по рядков.
Свойство (4.49) можно несколько обобщить:
Проверка этого свойства проводится обычным порядком: сна чала устанавливается его справедливость для простых функ ций, а затем совершается соответствующий предельный переход.
Свойство (4.50) |
вытекает из |
сделанного выше |
замечания 1. |
||
Покажем |
теперь, |
что |
процесс |
lt(f), 0 < ^ Г , |
прогрессивно |
измерим |
и, более того, |
имеет Р-п. н. непрерывные траектории |
|||
(точнее, имеет модификацию с этими двумя свойствами). |
|||||
Для доказательства |
заметим, что для простых функций /„ |
||||
процесс |
(It(fn), $~t), 0 < г < 7 \ |
образует непрерывный (Р-п. н.) |
|||
мартингал (по свойствам (4.35) и (4.36)). Поэтому по теореме 3.2
о
т
(4.51)
о
Выберем последовательность простых функций fn, сходящуюся
к І ^ Ш Г, так, чтобы |
fo^O , |
т |
|
М J [f{s, |
a ) ~f n ( s , ö)]2ds-*0, tt-н-оо, |
о |
|
и |
|
т |
(4.52) |
|
|
о |
|
н о |
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ |
ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим |
теперь, |
что ряд |
|
|
|
|
|
t |
г |
t |
|
cd) ) dWs |
|
|
|
J f ! (s, со) dWs + |
J (f2 (5, cd) — fl (s, |
+ • • • |
|
||||
|
|
. . . + |
J (/„ +i (s, v>)-fn(s,®))dW8 + ..• |
||||
сходится |
в среднеквадратическом к |
оj f(s, cd) |
и члены этого |
||||
ряда Р-п. н. непрерывны по t, |
0 ^ t ^ . T . |
Далее, |
согласно (4.51) |
||||
и (4.52) |
|
|
|
|
|
|
|
Поэтому в силу леммы Бореля — Кантелли с вероятностью, равной единице, найдется такой (случайный) номер N — N (ü>), начиная с которого
t
Следовательно, |
ряд из |
непрерывных |
функций |
J fi (s, c d) |
dWs + |
J (fn+i (s, |
cd) — fn (s, cd) ) dWs |
сходится равномерно с вероятностью 1 и определяет непре
рывную функцию |
(Р-п. н.), которая при |
каждом |
t является |
[^-измеримой *). |
Из этих двух свойств |
вытекает, |
что случай |
ный процесс, определяемый этим рядом, является прогрессивно измеримым (гл. 1, § 2, п. 1).
Таким образом, мы видим, что можно так выбрать последова тельность простых функций f'n, удовлетворяющих свойству (4.52),
что построенные с их помощью интегралы |
O^t sS^T, будут |
|
непрерывны по t, 0 ^ . t ^ . T , |
с вероятностью 1. |
Поскольку с точ |
ностью до стохастической |
эквивалентности |
значения l t (f) не |
зависят от выбора аппроксимирующей последовательности, то отсюда следует, что у интегралов I t (f) существует непрерывная модификация. В дальнейшем при рассмотрении интегралов /*(/),
*) НапЬмним, что сг-алгебры t предполагаются пополненными множе ствами из нулевой вероятности.
§2] СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ ИТО
/е Шт, будет предполагаться, что It {f) имеют непрерывные Р-п. н. траектории.
З а м е ч а н и е |
2. Отметим, |
что из построения аппроксими |
|||||
рующей последовательности {/„, п = 1,2, ...} |
со свойством (4.52) |
||||||
вытекает, в |
частности, что с вероятностью |
1 |
|
||||
|
t |
|
t |
|
|
|
|
sup |
j |
/ (s, ®) dWs — j |
fn (S, со) dWs |
|
0, |
oo. |
|
0 < С < Г |
о |
|
0 |
|
|
|
|
Иначе говоря, |
равномерно no |
t, |
с вероятностью I |
||||
|
t |
|
t |
|
|
■е |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
J fn(s, ®)dWs -± J f(s, со) dWs, |
|
n-* oo. |
|
|||
|
о |
|
0 |
|
|
|
|
Отметим еще два полезных свойства |
стохастических инте |
||||||
гралов lt (f), |
f е |
Шт, непосредственно вытекающих из теоремы 3.2 |
|||||
и того замечания, |
что (/r (f), £Tt), |
|
является |
квадра |
|||
тично интегрируемым мартингалом с непрерывными траекто риями:
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
< -р - j |
M/2(s, <o)ds, |
(4.53) |
||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
т |
|
|
|
|
М sup |
J f(s , |
a )d W s |
< 4 |
J |
Mf2(s, (S))ds. |
(4.54) |
||
|
о<г<г |
о |
|
|
|
|
|
|
|
Из |
последнего |
свойства, |
в частности, |
вытекает, |
что |
если |
|||
f ^ M T и последовательность |
функций {fn, п — 1,2, ...} такова, |
||||||||
что fn е= ЗЯТ и |
г |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
м / |
[/ (t, со) — fn (t, |
со)]2 dt ->0, |
|
|
||||
то |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
l.i.m. Гfn (s, со) dW s |
j f(s, со)dW s. |
|
|
|||||
|
П |
V |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е |
3. |
Проведенная выше |
конструкция |
стохасти |
|||||
ческих |
интегралов |
O ^ t ^ T , |
и |
их |
основные |
свойства |
|||
остаются в силе и в случае |
Т = оо. |
Нужно |
лишь потребовать, |
||||||
чтобы |
/ е |
где |
371^ — класс |
неупреждающих |
функций |
||||
f = / (s, со) со свойством |
|
|
|
|
|
|
|||
J M/2(s, со) ds < оо.
о
112 |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ |
[ГЛ. 4 |
||
6. Построим |
теперь стохастические |
интегралы |
t ^ . T , |
|
для функций f из класса &т, удовлетворяющих условию |
||||
|
|
|
|
(4.55) |
С этой целью установим сначала справедливость следующей |
||||
леммы. |
Пусть f<=tPT, Г ^ о о . Тогда найдется последо |
|||
Л е м м а 4.5. |
||||
вательность функций fn е Шт такая, |
что по вероятности |
|||
т |
[/(t, со) — fn(t, со)]2 dt ->0, |
|
|
|
I |
п->оо. |
(4.56) |
||
о |
|
|
|
|
Существует |
последовательность |
простых функций |
f n(t, со), |
|
для которых (4.56) выполнено как в смысле сходимости по
вероятности, так и с вероятностью 1. |
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
|
Положим |
|
||
|
inf |
|
J f2(s, со) d s ^ N |
> |
||
|
Иѵ (®) = |
|
О |
|
||
|
|
т |
|
|||
|
Т, |
если |
J f2(s, a>)ds < N, |
|||
и |
|
|
о |
|
|
|
fN(s, co) = /(s, |
co)x{s<Xiv(a)}. |
(4.57) |
||||
|
||||||
Поскольку предполагается, что ст-алгебры @~t, |
попол |
|||||
нены |
множествами из |
нулевой |
вероятности, |
то, в соответ- |
||
|
|
|
|
t |
|
|
ствии |
с замечанием к лемме 4.4, |
процесс J f2(s,(a)ds, t ^ T , |
||||
|
|
|
|
о |
|
|
является прогрессивно измеримым. Отсюда вытекает, что
моменты |
т ѵ (со) являются, марковскими (по отношению к семей |
||
ству |
О |
Г). |
2, . . . , являются неупре |
Поэтому |
функции fN(s, со), N = 1, |
||
ждающими |
и принадлежат классу Шт, поскольку |
||
|
|
г |
|
|
|
J M/^(.s, со) d s ^ N |
< оо. |
|
|
о |
|
Чтобы доказать заключительную часть леммы, воспользуемся леммой 4.4, согласно которой для каждого ІѴ =1, 2, . . . суще
§ 2] |
СТОХАСТИЧЕСКИЕ |
ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ ИТО |
113 |
ствует |
последовательность |
простых функций /<">, п — \, |
2, |
такая, |
что |
|
|
|
т |
|
|
|
м / [/£> (t, ® ) - |
fN (t, со)]2d t ^ 0 п -> О О , |
|
|
о |
|
|
и что (в силу свойства (4.57))
р { j [ f ( f , ö) - M* . co) ] 2d / > 0 |
} < Р | |
j f2(*. ®)<«>W J . |
(4.58) |
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
( |
Т |
|
|
1 |
|
|
Р |
J[/(*, <D)-fW(/t о)]гЛ > е |
к |
|
|
||
( о |
|
|
1 |
|
|
|
|
г |
Т |
|
|
. |
|
|
< Р |
J |
[/ (ty со) |
(^, со)]2 di >■ 0 с -)- |
|
|
|
|
о |
|
|
і |
|
|
+ Р |
{ |
М ' , ®) - / £ > ( * , |
со)]2 ^ > | [ < |
|
|
|
|
|
|
|
W |
со)]2dt, |
что и доказывает существование последовательности простых функций fn(t, со), аппроксимирующих функцию f в смысле (4.56) со сходимостью по вероятности.
Без ограничения общности можно считать, что функции fn уже выбраны так, что
Р J |
J [/ (*, со) - и (і, со)]2 dt > 2~п J < 2~ \ |
(В противном |
случае этого можно добиться, рассматривая |
некоторую |
подпоследовательность |
последовательности {/„}, |
|
п — 1, |
2, . . . ) |
Поэтому по лемме Бореля — Кантелли для почти |
|
всех со |
найдутся такие числа N (а), |
что для всех n ^ N ( со) |
|
т
I [/(*, со)-/„(*. со)]2Л < 2 - я.
о
114 |
|
|
|
|
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ |
ИНТЕГРАЛЫ |
|
|
[ГЛ. 4 |
||||||
В частности, с вероятностью |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
I |
[f(t, |
со) — fn(t, со)]2 eft = |
0. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
П-*00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Лемма доказана. |
Если |
неупреждающая |
функция f — f(t,<c>) |
||||||||||||
|
З а м е ч а н и е |
4. |
||||||||||||||
такова, |
что с вероятностью |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
I f (t, оо) \dt < оо, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
найдется |
такая |
|
последовательность |
простых |
функций |
||||||||||
|
со), |
п = 1, |
2, |
|
|
что с |
вероятностью |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limП S I f (t, со) — fn(t, со) I dt = |
0. |
|
|
||||||||
Доказательство аналогично случаю, когда |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Р |
|
I |
f2(t, |
со) dt < |
о о J = 1. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
В дальнейшем нам понадобится также следующее пред |
|||||||||||||||
ложение. |
4.6. |
Пусть |
f е |
Шг и событие 4 |
e f r . |
|
Тогда для |
|||||||||
|
Л е м м а |
|
||||||||||||||
любых N > |
О, |
С > |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
РІ |
А (1 |
sup |
|
f |
(S, |
со) d r s |
> C j |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
/ |
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
|
^ |
+ p| Лn ( Jf2{s, CO) d s > N |
|
(4.59) |
|||||
и, |
в частности, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P { |
sup |
|
f (S, |
со) dWs |
> C |
< |
|
|
|
|
|
|||||
I 0<C<7- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< - £Nr + |
P \ |
\ f2( s , u ) d s > N |
\. (4.60) |
||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
функции fN (s, со) |
определены |
||||||||||||
формулами (4.57). Тогда по свойству (4.49) |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
М |
J U |
* |
<*)dWa |
|
J |
Mf^(s, c o ) f t s ^ A f < |
о о . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
§ 2] |
|
|
СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ ИТО |
|
|
||||||||||
|
В соответствии со свойствами стохастических интегралов |
||||||||||||||
со: sup |
J |
|
[f(s, со)— M s , <a)]dWs |
О |
э |
|
|
|
|
||||||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
— I ®: |
J |
fI2(s, со) ds ^ |
N |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
А П 1 со: |
|
sup |
|
J |
[f (s, ®) — f N (s, <o)] dW s |
> 0 |
|
g |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
ЛЛ |
a: |
j |
f2(s, co)ds> N |
|||
и, |
значит, |
в |
силу неравенства |
(4.53) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р { |
А Л |
|
sup |
|
|
f{s, со)dWs > C |
= |
|
|
|
|
|
|||
|
\0</<Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
:P |
|
ЛЛ |
|
SUP |
fN (s, c0)dWs + |
|
|
|
|
|
||||
|
I |
|
|
|
\0<С=<Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ J [f (S, ©) — fN (S, ©)] dw s |
> C |
< |
|
|
|
|
|
|||||||
|
< P { |
А Л |
|
sup |
h (s, ffl) dW s |
> С |
|
+ |
|
|
|
||||
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Р { |
А л |
|
sup |
[f(s, со) - f N(s, со)}dWs |
> 0 |
< |
|
|||||||
|
|
|
|
|
\о<г<г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ P ) |
|
sup |
fN(s, со)dWs |
> С |
+ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0<С<Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
+ Р |
j лл\ f s[j( s , <*)dWs\\2 + Р М Л |
|
f 2(s, |
a ) d s > N |
|
< |
||||||||
|
|
|
|
|
f2(s, |
со)ds > N |
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< J r |
+ |
P{ |
Л fl I |
I f2is><a) ds > N |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
116 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4
Лемма доказана. |
|
|
|
С л е д с т в и е . |
Если f ^ . T t T, то |
|
|
|
> С |
< |
N |
|
с 2 • |
||
|
|
/ |
|
З а м е ч а н и е |
5. Утверждение леммы остается справедливым, |
||
если в ее формулировке заменить момент Т на марковский момент о, потребовав при этом, чтобы / е Ша, А е SFa.
Перейдем |
теперь непосредственно к конструкции интеграла |
|
l T(f) для |
f |
Г < о о . |
Пусть |
fn = |
fn{t, ю), п — 1, 2, . . . , — последовательность функ |
ций из класса Шт, аппроксимирующих функцию f(t, со) в смысле
сходимости |
(4.56). |
Тогда, |
очевидно, для |
всякого е > 0 |
|
||||||
|
|
г |
т |
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
lim P i |
[ |
<*>) — fm(t, а)]2 dt > е |
= 0 |
|
|
|||||
п, т - > о о |
\ |
J |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
и согласно лемме |
4.6 для |
любых е > 0, |
б > |
0 |
|
|
|
||||
, |
т |
|
|
т |
|
|
|
Л |
|
|
|
Ііш Р |
fn(U со)dWt — J* fm{t, ®)dWt > 6 |
< |
|
|
|
||||||
п, т - > оо |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 r + |
|
lim р ( |
Г [fn(t, ю) — fm(t, a ) f d i > |
e ) = ~ . |
||||||
|
u |
ft, |
m ->oo |
у |
J |
|
|
|
|
J |
u |
Отсюда в силу произвольности |
е > 0 получаем |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
|
|
|
Ііш |
|
fnit, ®)dWt - |
$ fm(t, ®)dWt |
> 6 = 0. |
|
||||||
гг, m - > оо |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, |
последовательность |
случайных |
величин |
|||||||
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h i f n ) — I fn{t> ®)dWt сходится |
по вероятности к некоторой слу |
||||||||||
чайной величине, которую мы обозначаем Іт(/) |
или J |
f(t, со)dWt |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
и называем стохастическим интегралом1{от функции f^.ZPT по винеровскому процессу W = (Wt, SFt), t ^ T ) .
Значение l r (/) (с точностью до эквивалентности) не зависит от выбора аппроксимирующих последовательностей (скажем, {/„} и {(?«}> я = 1 , 2, ...). Действительно, объединяя последователь ности {/„} и {g„} в одну, {/г„}, устанавливаем существование предела по вероятности последовательности величин lT {hn),