книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

§ 41

СИЛЬНЫЕ И СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ

147

таков, что при каждом t величины

£ = (^), f ^ l ,

являются

странство (Q, £Г, Р), система (&~,),

^

1, процесс | =

(1/, &~t)

и винеровский процесс W — (Wt, 3~\),

для которых

(4.108)

существует,

=

и,

следовательно, процесс W = {Wt, &~\)

является винеровским по отношению к системе сг-подалгебр

),

f ^ l .

Поэтому

в случае

слабых

решений

0 < / < 1 .

Из определения 9 следует, что слабое решение — это, в сущ­

ности,

совокупность

объектов

s4 = (Q, $F,

,, Р, Wt, |,),

где

для краткости

процесс

| = (|г),

0 ^ /^ С 1 ,

также будет

назы­

ваться

слабым

решением.

говорить,

что стохастическое

О п р е д е л е н и е

10.

Будем

= (□, Т , Т t, Р,

W„

It)

и

.s£ = (Q,

§Гt, Р, Wt, It) совпадают

распределения

процессов

£ = (£,)

и |

= (§,), O ^ f s ^ l, т. е.

где

ң (Л ) = Д| (-4),

Л е І ,

Р5(Л) = Р{ш:

Д| (Л) = P {б: § <= А).

О п р е д е л е н и е

11.

Говорят,

что стохастическое дифферен­

если для любых его двух

сильных решений | = (|(,

t) и | =

= (Іь $~t), 0 < / < 1 ,

Р{

sup

U , - I j > 0 } = 0.

(4.109)

0

< f <

l

148

с т о х а с т и ч е с к и е и н т е г р а л ы

[ГЛ. 4

Т е о р е м а

4.6. Пусть неупреждающие функционалы a(t, х),

b(t,

х),

t е

[0,

1], x e C j ,

удовлетворяют условию Липшица

I a{t, х) — а {t, у) I2 + 1b (f, х) — b {t, у) |2 <

t

< L S^ \ x s - y

s fdK(s) +

L2\ x t -

y

t \2

(4.110)

и

о

t

а2(/, X) +

ь2(/, X) <

Lx

(1 +

4 ) ^ ( s )

+

L2{\ +

X2),

(4.111)

о

где

Lu

L2— константы,

K(s) — неубывающая

непрерывная

справа функция,

0 ^ / ( ( s )J^ l , х, г /е

случайная

величина,

Пусть

rj = гі(со) — 2Г0-измеримая

Р ( I Л (ю ) I < ° ° ) = 1 •

Тогда:

1)

уравнение

dxt — a(t,x)dt-\-b(t,x)dW l,

х0 = гі,

(4.112)

имеет,

и

притом

единственное,

сильное

решение

g =

(g„ ZTt),

1;

оо, щ ^ 1, то существует такая константа cmr

2) если Mifm <

что

M^m< ( l

+

Mr)2m) é V

- l .

(4.113)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Начнем с доказательства

единствен­

ности. Если g = Ц[,

3F,) и І —(І„ ^ ,) — два непрерывных (Р-п. н.)

сильных решения

с

=

т],

| 0 =

г],

то

t

t

l t - l , ^ \ [ a { s ,

l ) - a ( s ,

I)]

+

j > ( s ,

% )-b(s,

i)]dWs.

о

0

Обозначим xf = X |SUp ^ 2+| ^ <7V|.

Тогда,

поскольку

xf = xf • X.

ДЛЯ

S,

TO

'/ *

f

( a

V

f x

(È)s -, a(s,I))dsj +

Из

определения + (jx"[&(s>£)-&(*, I)]

dWs

(4.114)

%t

следует,

что величины

X? ß - і ] 2>

%?[а (t,

l) -

а (і, Ш ,

X? [Ь (t, I) -

Ь (t,

f)]2

§ 4]

СИЛЬНЫЕ И СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ

149

« 2

I

Mx? I ( Е . - у Ы Х М Л + і,

о

<

l

o

o

’

< 2| і і I м* ."/х Ж ~ У !« М ^ + /Д

МхД І ,-у м Л <

< 2

ji, / I

М X? ( 1 , - 1 / < «(«)* + £ , /

M x ?G ,- I,T *}.

l o

o

о

>

(4.115)

Для

последующих рассуждений нужна

Л е м м а

4.13. Пусть с0, с,, с2— неотрицательные константы,

u(t) неотрицательная ограниченная,

а ѵ(і) — неотрицательная

интегрируемая

функции,

такие, что

u ( t ) ^ c 0-\- cl J

v{s)u(s)ds + с2 J o(s)

J

«(s,)0?/C(s,) ds,

(4.116)

где K{s) — неубывающая

непрерывная

справа

функция, 0

< /C (s )< 1.

Тогда

и (t) ^ с0exp I(с, ф- с2) j

V(s) ds | .

(4.117)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Подставим

в

правую

часть

(4.116)

вместо

функции u(s) ее мажоранту, определяемую правой же

П

+ с2);

Ы(0 < ^0

J t y d s j

+qpn{t),

(4.118)

—

і—0

где ф „ ( / ) - * 0 , п —> о о ,

в силу

ограниченности функции u( t ) .

Переходя в (4.118) к пределу по п-*оо,

получаем

требуемую

оценку (4.117).

150

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

[ГЛ. 4

Применим

эту лемму к неравенству (4.115),

полагая с0 = 0,

с, =

2L,,

с2 =

2L2,

v{t)^= 1 и и {t) —

[I; — і,]2-

Тогда найдем,

что

для

всех

t, O

s ^ ^ l ,

Но вероятность Р{ sup

( |2 +

І2) >

N\ —►0, N -+ оо, в силу

не-

l0<s<l 4

J

]

прерывности процессов

£

и I.

Поэтому для любого t,

1,

Р

{ І

І / —

І<1>0) = 0,

Р{ sup

II, — I, |> 0} = P{sup| £, — |,|> 0 } ,

0<(<1

(es

t

t

If) =

т| +

j

a (s, £<«-») d s + j b (s, l«"-») ДГ5.

(4.119)

о

0

Покажем, что

M (£(re))2 ^

e?, где константа

d не зависит ни

от п, ни от t

1.

Действительно, в силу условия (4.111)

М (i^ +,))2 < 3 j Mrf +

( М [а2(s, £<»>) + b2(s, |<я>)] ds J<

<

ЗМг)2 + 3L, j

t

j s

[1 +

M (If))2] dK (s,) ds + 3L2 Jt

[1 + M ($*)*] d s <

0

0

Js

о

3L2 Jt

<

3 (M rf+ Lj +

L2) + 31, Jt

M (£<«>)2 dK (Sj) ds +

M (£<“>)2 ds.

0

0

0

§ 'll

СИЛЬНЫЕ И СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ

15 ]

Отсюда, учитывая, что

М ( |f ) 2 =

Мт]2 < оо,

по индукции

полу­

чаем

оценку

М ( l f +1))2 <

3 (L +

Мл2)

<

3 (L +

Мл2) e3L

(4.120)

с L =

Ll -\-L2- Иначе говоря, можно

взять

d — 3 (L -f- Мл2) e3L.

В силу (4.119) и условия

Липшица (4.110)

t

М [If+1>-

I f f

<

2 J М [(a(s, |<">) -

a (s,

+

0

+ (ö(s, £<»>)-6 (s, £<»-i>)2)]d s <

< 2

fL, J*Js M

(|<f -

If"» )2 d K (s,) ds +

L 2 J*M (|f> -

|f-'> )2 ds I .

l - o o

0

>

Поскольку

M

sup

fl*/) — | f l 2< c ,

где

c — некоторая

кон-

станта,

то

0<<<11

1

(L = L , + L 2)

М [If -

I f f <

2Let,

М [I f -

I f f

<

t

S

< 2 L c

2Lt

2

I

s ds [ ^

о

о

t

< 2 L c \2Ll

s ds \ *Cc (2Lt)2

И вообще,

M [|f+I) — | f f <

t

S

J

<

c(2L)n- ‘

J

j

s n - i d K ( s ^ ds + 2 L 2

( n - 1)1

о

0

t

t

c (2Lt)2

^ ^ T j T

2L, J s ^

K {s)ds + 2L2 \

s - ' d s

(4.120')

nl

( n -

1)!

Далее,

l

o sup

J

| f +I) — I f

I <

j

I a(s,

| w) — a{s, l {n- l)) |rfs +

t

+

sup

J

[6 (5 , l ^ ) - b ( s ,

| <rt_1))] d W s \.

0<*<1

§ і]

СИЛЬНЫЕ И СЛАБЫЕ РЕШЕНИЯ

153

В силу условия Липшица (4.110)

t

S

J

[a(s,lin)) — a{s,l)]ds

< L , J

J

Jtu— | („n>\2dK(u) ds +

0

0

0

t

+

M

Г I g, -

&<?>[2 ds <

L sup

I

p.

(4.123)

J

1

11

1

Точно так

же

согласно (4.60)

и (4.110)

для

любых б > 0 и

е > 0

Р

J [Ms, l w) ~ b { s , l)]dWs

M J

J

\ l u- l f \ d K { u ) d s + L2 J | £ s - ^

)|2r f s > e k

0

0

0

>

< - ^

+ P{L

sup |gs - g w p > 6 } .

(4.124)

0 ^ s^ I

Ho p { sup [ Is — isn) f >

ö} -»• о,

n-> oo;

поэтому

из

(4.123)

0 < s < l

что величина (4.122)

стремится

по

вероят­

и (4.124) следует,

ности к нулю при я —>оо. Этим доказано,

что £ = (£,), О ^ ^ ^ І ,

римым по (t, со) и неупреждающим,

т. е.

^-измеримым

при каждом

t.

оо существование сильного решения урав­

Итак, при

Mr]2 <

нения (4.112)

доказано.

что

Мц2т <

оо, m >

1, и установим

Предположим теперь,

оценку (4.113). Пусть

Г 1,

supI gs K l

r\\ + N,

I

Xjv(0

j o ,

sup| |> |

tiI + JV,

V

s<i

_

I

l,

I л IO >

^ “ l o .

I Ti I > Я.

справедливым

(см. [16])

для

любых

а > 0,

О,

р > 1,

\ / p + \ / q = l .

Полагая

в

(4.126)

р = 2т/(2т — 1),

q = 2т,

имеем

1 ! , Г - '!<.(*,

і>1 = (? ? " ) % “ (*. і ) Г <

, —

2 т —

1 о 2 т I

1 2Ш/

(s,

I).

р = т/{т— 1),

q = m

2m

+2^7 я

Аналогично при

I

) .

і \ т- Ѣ Ц 8 ,

I ) ^

J H ^

l ^

. +

±

b2m{s>

Поэтому

для

каждого

т существует

такая

константа

ап

что

м (ftmt N(0 % ) <

щ ы +

+ flmIи М j

(s) % ( е

+

(1 + Е2) + J (1 + E2,)

(S.)

1 öfs,

)

где

(4.127)

+ « + J O

+

? y « ( S])

1 + E 2m+

J ( l + C ) rf* ( si)

(4.128)

с некоторой

константой

bm.

(ст— константа)

Из (4.127)

и (4.128)

находим

t-

t

М (l2tmXN (t) я[з„) <

Мл»« +

/

M (^mXjv(s)^n)rfs +

+

t

S

0

+

f

{

м (i|,mx^(s) Ч>„)

(«О rfs

(4.129)

0

0

жение.

4.14.

Пусть с,

d — положительные постоянные

Л е м м а

и u(t),

0, — неотрицательная ограниченная функция

такая,

что

І

t

S

u (t)^ .d - \- с

+ j и (s)ds-\- J

J u i s ^ d Ki s ^ d s ,

(4.130)

о

0

Тогда

и ( 0 < ( 1

+ d ) e ^

— 1.

(4.131)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из

(4.130)

следует,

что

1 + « ( / ) <

t

S

< ( 1 + d) + c

j" (1 -j- it(s))ds +

J

J (1 +

« (s1))rf/;C(s1) ds

о

0

Применяя лемму 4.13 с c0 — (1 -f d), c, =

c2 — c, v (t) s= 1 к функ­

ции 1-\-u{t), получаем требуемое неравенство (4.131).

u(t) —

Воспользуемся

этой

леммой,

беря в

(4.129)

Тогда

согласно (4.131)

М [l]ml N{t)*„] < (1 + М л * " ) -

1.

(4.132)

Отсюда, по лемме Фату, вытекает

< Hm М

[||* Х д г ( 0

Ф„1 < (:1+ М л 2" * )

е'т* - 1.

N - > СО

П->00

Для завершения

доказательства

теоремы

осталось

прове­

ложения

Mr)2 < оо.

Пусть

Лга = ФІѴ где

=

Х{,„ ,< я}, и gft = (5n(0),

1 ,-

решения

уравнения (4.112),

отвечающие начальным

условиям

Р { І Ы * ) - 6 „ ( 0 і > 0 } < Р { | т і | > п } .

( 4 . 1 3 3 )

Поскольку по

предположению

Р {

| ц I <

о о } = 1,

то

из

( 4 . 1 3 3 )

следует, что Р{ | \ m(t) — ln{t) | >

0}->0,

т, п-> о о , т.

е.

после­

довательность

{£„(/), п — 1, 2, ...}

фундаментальна

по вероят­

ности. Следовательно, для каждого

t,

1,

существует

P - l i m U ( ) =

l ( t ) -

/г -> оо