Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 718 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 2] ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 67

неравенства'.
		Р {sup		(*	xr		Мх£,	( 3 . 6 )
		<<г	I sup	х ,>	М
			9 < Г	1	1
		Р {inf xt ^ . — Я} <	— Мѵ0 +		J	хтdP.		(3.7)
		/			f inf ХІ^ ~
					f inf ХІ^ ~
	Если	X — неотрицательный		субмартингал		с	Шхрт< о о для
1 <	р < °о, то
		M [ s u p ^ f < ( - ^ - r )PM4 .						(3.8)
(а,	Если	ßr (a, Ь) — число	пересечений (снизу			вверх)		интервала
(а,	Ь) субмартингалом X = (xt, £Гt),				t ^ T , то
		Mßr (а, b) ^	МI		Мх І +			(3.9)
		Mßr (а, b) ^	•		<			(3.9)
	Д о к а з а т е л ь с т в о .		Поскольку траектории				xt,	0, непре
рывны справа, то события

{inf xt ^ — Я,} == {inf xr r^T

— А} и {sup xt ^	A} = {sup xr ^ A}
t^T	r<T

принадлежат EF (r — рациональные числа). С учетом этого за мечания неравенства (3.6) — (3.9) легко получаются из соответ ствующих неравенств для случая дискретного времени, рас смотренных в предыдущей главе.

С л е д с т в и е	1.	Если	X =		(xt, SFt), t ^ O , — субмартингал
{или супермартингал) с непрерывными справа						траекториями,
то для каждого t >		0 (Р-п. н.)		существует лу_ — lirnxs.
Действительно,		если	бы	с	положительной	S^t
						вероятностью
этот предел не	существовал,				то тогда (ср. с рассуждениями,

использованными при доказательстве теоремы 2.6) для некото

рых	а < b Mßj(a,	Ь) =	оо. Но		это противоречит оценке (3.9).
С л е д с т в и е		2.	Пусть	X = (xt, &~t), t ^		0, — мартингал
с xt = M ( l\S rt), Mi l l			< оо,	а семейство {9~t),		0, непрерывно
справа. Тогда у процесса xt,					0, существует модификация Xt,
f^ O , с траекториями,			Р-п. н. непрерывными			справа и имею
щими предел слева (в каждой точке t > 0).
Действительно,		из	теоремы		1.5 следует, что для каждого
t	0 существует
	хг+ = Нш М (S \|0%) =			М (I IF t+) = М (I \ P t) =
	sit

Поэтому, если положить xt = xt+, то получим модификацию, непрерывную Р-п. н. справа. В силу предыдущего следствия

з*

68	МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)							[ГЛ. 3
процесс	xt,.	О,	имеет для каждого / > 0			пределы слева
xt- — lim xs (Р-п. н.).
s^t		3.3.		Пусть	X = (xt,@~t),	О,— субмартин
2. Т е о р е м а
гал с непрерывными справа					траекториями xt,		0,	такой, что
				sup Мх+ < оо.				(3.10)
				t
Тогда с	вероятностью			1 существует \\mxt ( = x )			и	МлА < оо.
Доказательство			следует		t-> ОО		с	помощью
					из неравенства (3.9)

рассуждений, использованных при доказательстве теоремы 2.6. 3. Аналогично случаю дискретного времени вводится поня тие потенциала П = (я/, @~t), t ^ 0, — неотрицательного супер мартингала с lim Мя*=0 — и доказывается следующий результат.

		t	оо	(разложение		Рисса). Если супермартингал
Т е о р е м а			3.4
X =	{xt, &~t),		t ^ O ,	с	непрерывными справа траекториями xt,
	0,	мажорируется			некоторым	субмартингалом		Y = (Уа @~t)>
П =	0,	то найдутся мартингал M =					(mt, @~t), t ^ O ,	и потенциал
	(я,, &~t),		0,	такие, что для			каждого t ^ O
				xt = mt + nt			(Р-п. н.).	(3.11)

Разложение (3.11) единственно (с точностью до стохастической эквивалентности).

4. Т е о р е м а 3.5. Пусть X — (xt,H~), t ^ O , — супермартин гал, с непрерывными справа траекториями, такой, что для не которой случайной величины г) с М | т] | < оо

		xt > U {y \\^t),			t ^ O ,		Р-п. н.
Тогда, если	х	и о — марковские				моменты и P (0 ^ t ) ~ 1,				то
			ха> Щ х х \д-а).						(3.12)
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Для	каждого		п — 1,		2 , . . . свяжем
с моментом т м. м.,			т„ — т„(ш),		полагая
Н = -\|г на {со: -^=-!<т(со) < ^ - } ,								6 = 1 , 2 , . . . ,
и тге((о) = + ° °		на	(со: т(со) =		оо}.	Аналогично			определим	и
моменты ап, п = 1,2,			... Будем предполагать,					что Р (а„<лг„)=1
для каждого	п = 1,		2, ...	(в противном случае					вместо ап надо
рассмотреть	оп Л т„).
Пр теореме		2.12
Хоа > М ( х Ха\0-аа)				(Р-п. н.),			п== 1,		2, ...

§ 2]	ОСНОВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	69
		69

Возьмем	множество	Тогда, поскольку Ѳ~а <=дга ,
то А ^ З г „п,	и из предыдущего	неравенства	получаем
	J x0n d P >	J AtndP.	(3.13)
	А	А
Заметим	теперь, что случайные величины		п = 1, 2, . .. )

и (xT/j, п = 1, 2, . . . ) равномерно интегрируемы (лемма 3.1) и

т„(со) I т(со), а„(со) j а (со) для всех со. Поэтому, совершая в (3.13) предельный переход при /г—>оо, найдем (теорема 1.3), что

			I	х0 dP ^	I	х%dP.		(3.14)
			А		А
Поэтому	М [хх \ЗГ0]			(Р-п. н.).
З а м е ч а н и е		1. Из доказанной теоремы 3.5 видно, что
неравенство	(3.12) сохраняет свою					силу для		супермартингалов
с непрерывными		траекториями			X = (xt,£Ft),			0 ^ / ^ 7 '< о о , и
м. м. т и о таких,			что Р (а ^ т ^			Т) — 1.	0,—неотрицательный
З а м е ч а н и е		2.	Если X — (xt, ^ ) , t ^
супермартингал		и xt =		0, то л^ =		0 ({t ^	т}, Р-п. н.).

5.Проведенное выше доказательство показывает, что если

супермартингал

X =

(xt, $Ft),

есть

равномерно

интегри

руемый мартингал, то неравенство (3.12) обращается в равен

ство. Чтобы это утверждение

сделать

по своей форме

анало

гичным соответствующему утверждению (теорема 2.9) для дис

кретного времени, введем такое определение.

назы

О п р е д е л е н и е

Мартингал

X =

{xt,

t),

вается регулярным, если существует интегрируемая случайная

величина т] (М I

tj | <

сэо) такая, что

xt =

М (л |£Г(),

0 (Р-п.

н.).

Как и в теореме 2.7, можно показать, что регулярность

мартингала X — {xt, ЗГt),

эквивалентна требованию равно

мерной интегрируемости семейства случайных величин (xt,

0).

Т е о р е м а

3.6.

Пусть

X =

(xt,

SFt),

0, — регулярный

мартингал с непрерывными справа траекториями. Тогда, если х

и а — марковские

моменты и Р ( с г ^ т )= 1 , то

ха=Ы\{хх \д~а)

(Р-п. н.).

(3.15)

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует

из проведенного выше дока

зательства теоремы 3.5, если учесть, что для регулярного мар

тингала

семейства

случайных величин

{х0п, п =

...}

{хп, п =

2, . . . ) равномерно

интегрируемы.

X — (xt, @~t),

З а м е ч а н и е

Поскольку

для

мартингала

его

mt =

N[xt = const,

то

для

непрерывности

справа

траекторий

(в соответствии

с теоремой

3.1)

достаточно

требо

вать лишь

непрерывности справа

семейства

і),

Более

70	МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)	[ГЛ. 3
70

точно, в этом случае существует			мартингал Y = (yt,		t), f^O,
такой, что его	траектории yt,		0,	непрерывны	справа и
P { x t = y t) = L t > О-				теоремы 3.6	остается
З а м е ч а н и е	2.	Утверждение (3.15)
справедливым для		мартингалов	X = (xt, OFt) с непрерывными

справа траекториями, заданных на конечном временном интер

вале	Г <	°о,	и марковских моментов т и а таких, что
Р ( а < т <	Т )= 1.		Если в условиях		теоремы 3.6 не требовать,
З а м е ч а н и е		3.
чтобы Р ( а ^ т ) — 1,			то	утверждение	(3.15) заменится	на сле
дующее:		Хслт =		M(xt \|^~а)	(Р-П. Н.)	(3.16)

(ср. с (2.25)). Отсюда, в частности, вытекает, что «остановлен

ный» процесс X* =			(xtAx, Ѳ~t),		0,	также будет мартингалом.
Для доказательства (3.16) заметим,						что согласно (2.25)
	^ A		t n= M (x TJ ^ o n)				(Р-П. H.)
для всех k ^ n .		Отсюда		в силу	равномерной интегрируемости
величин	{xTfe, k = \ ,		2, . . . j при		k —>oo		получаем, что
			Хоп лт = М (лг-сI $ Г
Полагая	теперь	п-> оо,		приходим		к	требуемому равенству
(3.16).

§3. Разложение Дуба — Мейера для супермартингалов

1.В настоящем параграфе рассматривается аналог те ремы 2.13 (разложение Дуба) в случае непрерывного времени.

Введем предварительно необходимые понятия.

О п р е д е л е н и е

Супермартингал

Х — {х1,

SFt),

с непрерывными справа траекториями лу= лу(со),

/ ^ 0 ,

при

надлежит

классу

если

семейство

случайных величин

(хх, т е і ) ,

где

Z — совокупность

марковских

моментов

т с

Р (т <

оо) = 1, равномерно

интегрируемо.

X — (xt,

@~t),

О п р е д е л е н и е

Супермартингал

с непрерывными

справа

траекториями

xt =

xt {a),

t >

при

надлежит

классу

DL,

если

для любого

а,

0 ^ а < оо,

семей

ство случайных велич-ин (хх, т е 3"й), где

— совокупность

мар

ковских моментов т с Р ( т ^ а ) = 1 ,

равномерно

интегрируемо.

Ясно, что класс

DL э

теорема дает

крите

рии принадлежности классам D и DL.

X =

(xt,

t),

t ^ 0 ,

Т е о р е м а

3.7.

Всякий мартингал

с непрерывными справа траекториями принадлежит классу DL.

2) Всякий равномерно интегрируемый мартингал X ~ { X t, @~t),

t ^ 0 ,

непрерывными

справа

траекториями

принадлежит

классу

§ 3]

РАЗЛОЖ ЕНИЕ

ДУБА -

МЕЙЕРА ДЛЯ СУПЕРМАРТИНГАЛОВ

Всякий отрицательный

супермартингал X =

(xt, &~t),

О,

с непрерывными справа траекториями принадлежит классу DL.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

Р ( т ^ а ) = 1 ,

а <

оо.

Тогда,

согласно замечанию 2 к теореме

3.6,

хх = Ш {ха \@~х)

(Р-п. н.).

Но семейство (х%,

t g I J

таких случайных величин равномерно

интегрируемо,

что

доказывается

так

же,

как

импликация

(А)=Ф(В) в теореме 2.7. Аналогично доказывается и второе

утверждение. Докажем последнее утверждение.

Пусть

Р ( т ^ а ) = 1 .

Тогда,

согласно

замечанию

тео

реме 3.5, для %>

{

I хт I dP =

—

[

хт dP <

—

xadP

(K l > 4

{|<|>М

и также

M | хх | ^

М | ха |.

Поэтому

по

неравенству

Чебышева

7Р{[хт | > Я } < М [xt | < M | x a |.

Значит, Р {\хх I >

А,}—> 0,

Х->оо,

и,

следовательно,

sup

I х%I dP ^

sup

—

[

xadP

О,

X—>оо.

Т5Е*а { К і> м

■ т" г<

{ К ‘|>4

Теорема доказана.

О п р е д е л е н и е

Пусть

(Q,

Р) — вероятностное

пространство

и F —

0, — неубывающее семейство

не

прерывных справа сг-подалгебр

Непрерывный

справа

слу

чайный

процесс

At,

называется

возрастающим,

если

величины At являются ^-измеримыми,

Д-,— 0 и As ^

At, s ^ t ,

Р-п. н. Возрастающий процесс

A =

(At,

@~t),

называется

натуральным возрастающим процессом, если для всякого огра

ниченного положительного мартингала Y — (yt, SXt),

имею

щего

пределы

слева,

м / У.-< м ,= = м УвА ,

(З.і7)

Возрастающий процесс At,

называется интегрируемым,

если

М Ам < оо.

Интегрируемый

возрастающий

процесс

Л е м м а

3.2.

A = {At, £Tt),

0, является натуральным

тогда и только тогда,

когда

для всякого

непрерывного

справа

и имеющего пределы

слева

ограниченного

мартингала

Y — (yt,

9~t),

t ^ O ,

М (

y s d A s =

M ^

y s- d A s

(3.18)

для любого Т > 0.

72		МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)								[ГЛ. 3
Д о к а з а т е л ь с т в о .				Покажем			сначала, что			для всякого
возрастающего процесса				А — (At, STj),				/ ^ 0 ,	с Л0 =	О, МЛТО< оо
и мартингала		Y — [уи	&~t),		t ^	О,	имеющегося			непрерывные
справа траектории,			т
			т
		М I		ys dAs = ЬЛутАт.						(3.19)
			ö
Положим	C;(co) = inf{s:			(со) > 0			и	воспользуемся тем, что
(для почти всех со) интеграл					Лебега — Стилтьеса можно свести
к интегралу		Лебега (гл.		1,	§ 1):
Т		А Т (“ >				те
I	ys dAs = J		ус^ {а) dt — I				ус^	t <		dt,
6		o				о
где, согласно		следствию		леммы		1.8,		ус (и)	является ^"^-изме
римой величиной. Но Р-п. н.
		{t: t <	Ат(со)} =			{t:	ct (со) <		Т}.

Поэтому

ТСО

I Us dAs — I ус^((й)^ . (ф)< ц dt,

оо

ипо теореме Фубини

Тсо

М J	ys dAs — J М	((0) ^ : Ct (ш) < 7'\|] dt.
о	о

Зафиксируем некоторое 0 и заметим, что случайный момент т (со) = ct (со) является марковским. Тогда, поскольку событие {со: т(со) < Т) е (лемма 1.7), а Y ~ ( y t, £Tf), Г ^ О ,— мартингал, то (замечание 2 к теореме 3.6)

М \ У і (а)Х {С: C t (а) < Г}] = М f Ух (а)Х{а: т (а) < Г)] =

М F{a: т(ш) <Г}М( Ут I ^х)] ~ М [^{а: т(а) < Г}^г]‘

Следовательно,

Тоо

М J ys dAs = J М {X щ<т]ут) dt =

оо

М м X{С: ct {a>)<T) dt — МутА7

Таким образом, (3.19) доказано.

§ 31	РАЗЛОЖ ЕНИЕ			ДУБА - МЕЙЕРА ДЛЯ				СУПЕРМАРТИНГАЛОВ			73
Поэтому,			если	(3.18)	выполнено			для	любого	Т > 0,	то
т
М J ysdAs — MijjAj-, откуда,						переходя к пределу при 7 -*					оо,
о		что процесс А = (Аи &~t)						удовлетворяет		равенству
получаем,		что процесс А = (Аи &~t)						удовлетворяет		равенству
(3.17).							Тогда, поскольку
Обратно, пусть выполнено (3.19).							Тогда, поскольку
	ОО					ОО			00
	М j	ys dAs — ЬАА^у^,			то.	М j	yadAa =		М [ ys. d A s.
	о					о		б
Пусть	теперь		у] =	ys_%{s<T] +		УтТц>ту Процесс Y* — (y*s, ^ ) ,
s ^ O ,	как	нетрудно проверить*),					является		мартингалом		(не
прерывным		справа,		ограниченным),			и равенство

мI у ; < М , = М

оо

превращается в равенство (3.18), что и требовалось доказать. Сформулируем теперь аналог теоремы 2.13 (разложение Дуба), ограничившись сначала лишь неотрицательными супер

мартингалами, являющимися потенциалами.


Т е о р е м а 3.8 (разложение				Дуба — Мейера). Пусть непре
рывный справа	потенциал П =			(щ, @~t),		0 ^ t < o o ,	принадле
жит классу D.	Тогда существует интегрируемый возрастающий
процесс А — (At,		@~t)>	такой,		что
^ =	М ( т и ^ ) - Д „				0	(Р-п. н.).	(3.20)
В разложении		(3.20)	процесс		At,	0, моокет	быть взят

натуральным.

Разложение (3.20) с натуральным возрастающим процессом

единственно.	Для		каждого	п = 0,	1, ...	последо
Д о к а з а т е л ь с т в о .
вательность (яг.2-л, У^-гТ),		і =	О, Г, . . . ,	образует		потенциал
(с дискретным временем	0,	2~п, 2 -2 ~ п, ...) .			Согласно след
ствию 1 теоремы 2.13 для	каждого п
к і.2~п = М[Аоо(п)\3-і'2- п } - А і,2-п(п),				г = 0 , 1 , . . . ,		(3.200

*) Более общий результат такого характера содержится в лемме 3.3.

МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ)

[ГЛ. 3

где величины Л/-2-л(я) являются ^ (._1) 2-я-измеримыми обра зуют возрастающий процесс и

Лоо (п) = Пт Л..2_л(я).	(3.21)
і->оо

Предположим сейчас, что величины {Л0О(«), о = 0, 1, .. .} равномерно интегрируемы (ниже будет показано, что для этого необходимо и достаточно, чтобы потенциал я принадлежал классу D). Тогда, согласно тео-реме 1.7, можно найти такую последовательность целых чисел пь я2, . . . —> оо и интегрируе мую функцию Лм, что для всякой ограниченной случайной величины I

lim МЛ,* (я,) £=N14*1.

(3.22)

t-> оо

Обозначим /Л; непрерывную справа модификацию М(Л00 \3?~t),

существующую в силу следствия 2 теоремы 3.2.

Пусть

r ^ s

являются

числами

вида

і-2 ~ п, і — 0,

1, ...

Тогда Лг (я)

Л5 (я), что вместе

с (3.20) дает

М [Л , (я) \ Т Г\ -

яг <

М [А,, (я) I .Г8] - ns.

(3.23)

Отсюда при

я =

я(-—>оо получаем,

что

тг — nr ^ . m s — я5.

(3.24)

Положим

At = mt — nt.

Эта

функция

Р-п. н. непрерывна

справа, и поскольку

согласно (3.24)

она не убывает на двоично

рациональной последовательности, то At

является

возрастаю

щим

процессом.

(Р-п. н.), t->oо,

mt = М (Л |

t) ->

Далее,

я*->0

-> М(Лте |£Г00) =

Л00,

t —> оо.

Поэтому

Р-п. н. lim Л*

совпадает

с ранее введенной величиной Лте.

t оо

Покажем

теперь,

что процесс

Лг, ^ ^ 0 ,

является

натураль

ным.

Пусть

Y = {уи

0 ,— ограниченный неотрицатель

ный

мартингал,

имеющий

Р-п.

н.

пределы

слева yt_ = \\m ys

в каждой

точке

t >

s^t

Поскольку процесс At,

непрерывен

справа,

то по тео

реме Лебега о мажорируемой сходимости

(теорема

1.4)

оо

I ysdAs =

lim V

М [г/Ь2-«(Л

~ ' ~

— Л ,2-„)1.

(3.25)

rt-»oo

‘ '

§ 3]

РАЗЛОЖЕНИЕ ДУБА — МЕЙЕРА ДЛЯ СУПЕРМАРТИНГАЛОВ

Я’і.2-”' измеримы,

поэтому

'~п(Аг +!)-2~п - Л |.2 - )] =

|9і.г- "^

(А/ +1)-2 -

•2~" 1

2_и)_

ОО

М |9і •2“" ^

((/?г(і+1)>2~п — Я(і+1)-2-я) ~

—

і=0

— (jn ,.2_«

я г,2-

2 -)] =

= І м

\Уі-2-

п М

9—я —

(=0

' Я(і+І)-

' ^ ^ [ у і-2~п(А^ +\).2-п(П)

А і2-п (л))].

(3.26)

Заметим

теперь,

что А(.+^ 2- п&~1-2~п-измеримы,

значит,

М [уі-2~п/^{і+\)-2-'г(ПЦ= ^

[^(і+І)-2_п^(і +1)-2_/г]-

(3.27)

Из (3.25) — (3.27)

находим,

что

оо

( ys_ dAs = lim М [Лю(я) уJ .

(3.28)

Согласно (3.22)

Hm m

A M y J - m

A ^ y J .

(3.29)

П--> оо

Из

сопоставления (3.28) и (3.29) заключаем, что

оо

М j

ys- d A ^ M A ^ y ^ ,

(3.30)

At,

т. е. построенный процесс

натуральный.

Предположим

теперь,

что есть

еще одно

разложение щ =

= М (В^ I &-t) — Bt

натуральным

возрастающим

процессом

(Bt,

t^ O ) .

Тогда

ПІ'2~П~

М {Вдд j

В і 2~П

ОО

М j

ysdBs = M B 00y00,

(3.31)

где

Y — {уt,

@~t),

t ^ 0, — неотрицательный

ограниченный

мартингал

существующими пределами

слева yt_ — l\mys.

Возьмем,

частности,

некоторый

ограниченный

S ^ t

мартинга

76 МАРТИНГАЛЫ (НЕПРЕРЫВНОЕ ВРЕМЯ) [ГЛ. 3

(ß , 2-п , £Г	г),	/ =	0,1, . . . .		и образуем мартингал (с непрерыв
ным временем) У =			(//*,	t),	0, полагая yt =	2- n, / • 2
< ( / + l ) ' 2 ~ ' \		Тогда из		(3.31) вытекает, что
	00
	м 2 У(і-\).2 - п [ В і . 2 - п ~ В ( і - І).2- /г\| =					(3.32)
В теореме		2.14	было		показано, что из	(3.32) вытекает

/F. .-«-измеримость величии В[і+ху2-п. Поэтому, сравнивая два разложения:

П і-2~п =	^ [ A J n ) I			А іш2- п (fi),
Я(.2-я =	M [ß00(«)\| ^,.2-я] — В ІЛ-„(П),
видим, что в силу единственности разложения Дуба
Аіѣ2-п(п) = В 1ѣ2- п ( п ) ,		і = 0,	1,	. . .	(Р-п. н.).
Следовательно,	Ах (п) =	В00(п)	и	А00 =	В0о (Р-п. н.). Но

Щ = м [A^ Iff't) —At = М [ß^ \9~t] — Bt, откуда получаем: At= B t


(Р-п. н.)	для всех / ^ 0 .			доказательства			надо еще		устано
Для	полного завершения
вить, что для		равномерной		интегрируемости				последователь
ности {А^іп),		п — 0, 1, ...}	необходимо и				достаточно,		чтобы
потенциал я =		(я*, /7Д),	0, принадлежал классу О.
Если семейство (Л^Дя),			п = 0,		1,	. . .} равномерно интегри
руемо, то, как		было установлено,			nt — М [Л ^ \SFt\ — At. Следо
вательно, ят < М [Лс)0\&"х].				т е ! )		равномерно		интегрируемо
Но семейство {М[Л00\|^ ‘Т],

(теорема 3.7), поэтому таким же свойством обладает и семей

ство {ят, т е	Т},	т.	е. потенциал			я	принадлежит классу D.
Обратно,	пусть		л е й	Тогда		согласно		разложению Дуба
для каждого	п — 0,		1, ...	Р-п. и.
Пі.2~п“			М [	I	i-2~n)		^ і-2~п(rt)-			(3.33)
Поскольку Л(/+)).2-„(п)				/УС.^„-измеримы,				то	для	каждого
К > 0 момент
		^ =	inf Ь ' 2 :		Л(г.+1^2_га(ц) > я}					(3.34)
(т„,я = °о, если множество				{•}	в (3.34) пусто)				будет	марков
ским относительно семейства {/УС.2_„,							/ = 0,	1,	...J.
Ясно, что (со:		Ао0(п)>К} — {со: т„іЯ<оо},						и в силу		(3.33)

л “ М К » ІЗД„, J - К ,, («)

(Р-п. к.). (3.35)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 718 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ