книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

18

ВВЕДЕНИЕ

Оптимальной

линейной фильтрации (в схеме (12)) и опти­

В седьмой

главе излагаются существенно используемые

в дальнейшем

результаты об абсолютной непрерывности мер,

оглавления

и примечаний,

помещенных в конце книги. В при­

мечаниях указаны также

источники

излагаемых результатов.

В заключение авторы хотели бы выразить благодарность и

признательность коллегам

и друзьям за помощь и советы.

Особо нам

хочется поблагодарить

Р. 3. Хасьминского и

образует алгебру, если Q

e f ,

<4 =

Q \

и A\JB ^ З Г

для

любых

S e

J .

Алгебра ST образует о-алгебру,

если

вместе

с каждой последовательностью

множеств Аи А2,

. .. ,

принадлежащих 3F,

со

3F.

сумма (J

Лг е

Функция Р(Л), опреде­

ностной мерой,

если

она

обладает следующими

свойствами:

Р ( А ) ^ 0 , Л е ^ " (неотрицательность);

P (Q )= 1

(нормированность);

Р

Р (Л г)

(счетная, или а-аддитивность),

где

Аі ^ - Т ,

Аі С\ Af =

0 ,

іф '},

0 — пустое

множество.

Система множеств 3FP называется пополнением а-алгебры ЗГ

по мере Р, если ЗГР принадлежат все те

множества А s

Q,

для

которых

найдутся

такие

множества

Л,, Л2 е

3F,

что

А і < = А ^ А 2

и

Р (Л2 \

Л,) = 0 .

Система множеств З Г Р является

а-алгеброй, и мера

Р

однозначно продолжается на мно­

жества из @~р. Вероятностное

пространство (Q,

, Р) назы­

вается полным, если

&~р совпадает с

Согласно

общему

20

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

[ГЛ.

1

2. Случайные элементы и величины.

Пусть (У, ST) и (Е, 38) —

два измеримых пространства.

Функция

g = g(co), определенная

на (У, /Г) со значениями в

Е, называется 9~/^-измеримой,

Говорят,

что

две случайные величины % и ц совпадают

с вероятностью 1,

или почти наверное (п. н.),

если Р (g == rj) == 1.

В этом случае пишут:

£ = гі(Р-п. и.). Аналогично,

запись \ ^ г \

(Р-п. н.) означает,

что

Р ( |^ т і ) = 1 .

Запись

g =

T] (А; Р-п. н.)

применяется

для

обозначения того,

что g =

r| почти наверное

Для краткости слова

«Р-п. н.»

в дальнейшем

часто будут

опускаться.

3. Математическое

ожидание.

Пусть (У, 9~,

Р) — вероят­

ностное пространство

и

g = g(cö)— неотрицательная случайная

интеграл Лебега*)

J |(со)Р(с/со), по определению равный

Q

' п- 2П

lim 2 i - 2 reP { t - 2 - n <

| < ( / + 1)2-"} + п Р { |> п }

,

оо I t=s*о

J

где {г • 2~п < g ^ ( г + 1)2~п}

обозначает множество точек ш е й ,

для которых г-2

" < g(o>) <Дг + 1) • 2~п.

Аналогично

опреде­

ляется

множество

(I > п).

В

силу предположения g(co)lX),

сое У,

интеграл J

g(co)P(c/co)

определен,

хотя, быть

может,

у

22

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

[ГЛ. 1

Пусть на измеримом пространстве (Q,

заданы две вероят­

ностные меры Р и Q. Говорят, что

мера

Р

абсолютно непре­

рывна относительно меры Q (Р <С Q),

если

Р(Л) =

0 для вся­

кого ^ e f ,

для которого О(Л) = 0.

Если Р <

Q, тогда

Т е о р е м а

Р а д о н а — Н и к о д и м а .

стохастической

эквивалентности (г. е.

если также Р(Л) —

= I" Г|(cd) Q(öfco),

Л ё ^ , то I — ц (Q-п.

н.)

меры (Р) по другой (Q) или производной

Радона — Никодима.

В связи

с этим определением используют обозначение |(ш) =

dP

= -^ q (co). По теореме Радона — Никодима, при условии P < Q ,

dP

плотность -^q- всегда существует.

Если

g (со) = Ха (®)—характеристическая

функция множества

Л е

(иначе — индикатор множества Л),

то М(%л (со)|3?) обо­

Р ( Л | ^ )

определяется

однозначно с точностью до множеств

P -меры нуль (зависящих, быть может, от Л).

Функция Р(Л, со), Л е ^ ,

w e Q , удовлетворяющая условиям:’

1)

при каждом фиксированном со она является вероятностной

мерой

на

множествах

Л ё

^ ,

2)

для

каждого Л ё

J

она является ^-измеримой,

3)

с вероятностью 1 для каждого Л ё J

Р(Л,

0>) = Р(Л 13),

24

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

[ГЛ. I

Будем писать

t

I

или

Іп \ 1 (Р-п.

н.), если

^-н> £ (Р-п. н.)

и Ѣп^іп+і (Р-п. н.)

для всех п — 1,

2, ...

Аналогично

опре­

деляется и сходимость Іп

Говорят также,

что

на мно­

жестве y l s f , если

Р(АП(^п7 4 |)) =

0.

| n, п = 1,

2, . . . ,

Последовательность

случайных величин

чается: £=-l.i.m .L),

если М§2 < оо,

М |2 < оо и МІ£ — S,I2 —>О,

П-*оо

У

'

П - > о о .

величин

п = 1 ,

2, . . . ,

Последовательность случайных

с М 11„ I < оо называется слабо сходящейся к

случайной

вели­

чине £ с М Ш <

если для любой ограниченной случайной

величины г) — г)(©)

lim М£„г|= М£г|.

П->ОС

используемые

в дальнейшем.

сходимости).

Пусть а-алгебра

Т е о р е м а

1.1 (о монотонной

3 £ £Г.

Если %п f £(Р-п. н.) и М|~ <

оо,

то М (ln \3) t

М (£ \3) (Р-п.

н.).

Е сли\п I |(Р-п. н.) и

<

оо,

то

М (I l^) (Р-п.

н.).

Для формулировки других критериев необходимо ввести

понятие равномерной

интегрируемости.

Семейство

случайных

величин {£а, а <= 1} называется равно­

мерно интегрируемым, если

lim

sup

J

Ua|rfP = 0.

(1.1)

Х - > оо

а <=91

( И а | > Д

Условие (1.1) эквивалентно следующим двум условиям:

s u p M | | a ) <oo

и

lim

sup

I la I dP = 0, A ^ S E .

a

Р (Л )-» 0

a

д

М (lim sup ln \3) >l i m sup M ( | \3)

(Р-п. н.),

(1.2)

П

П

ti

n m

__ *)

Для верхнего предела limпsup

используется также

обозначение

Пт 4л-

Соответственно нижний предел

lim inf %п обозначается

lim

«

п

~

§ п

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

25

В частности, если для

последовательности %п, п =

1,

2, . . . ,

существует интегрируемая

случайная

величина

| такая,

что

то справедливо неравенство (1.2).

и

п =

2,

Т е о р е м а

1.3.

Пусть

(Р-п. н.)

<

оо,

1,

. . .

Для того чтобы

М Цп\S)-> М (£ \S) < оо

(Р-п. н.),

(1.3)

необходимо и достаточно, чтобы последовательность

п = \ , 2,...,

была равномерно интегрируемой.

полезное

Из теорем 1.2 и L3 вытекает следующее

С л е д с т в и е .

Если

(Р-п. н.) и последовательность Іп,

п — 1,

2, . . . , равномерно интегрируема,

то

М ( |£„— %W§)-+Q,

я-»оо

(Р-п. н.)

(1.4)

Т е о р е м а

1.4

(теорема

Лебега о мажорируемой сходи­

мости). Пусть

(Р-п. и.) и существует такая интегрируемая

случайная

величина

т),

что |£,г |^ т ]. Тогда

М (| £„ — £ 11^)->0,

я —> оо

(Р-п. и.).

З а м е ч а н и е

1.

Теорема

1.3, ее следствие

и теорема

1.4

сохраняет свою силу, если сходимость

(Р-п. н.) заменить

на

сходимость

по вероятности: £ = P-limg„.

З а м е ч а н и е

2.

Беря

в

П

в качестве S

теоремах 1.1 — 1.4

тривиальную

сх-алребру {0,

й},

получаем

обычные

теоремы

о предельном переходе под знаком интеграла Лебега,

поскольку

в этом

случае М(т}]^)=Мті.

@~о, $~\,

Пусть

теперь . . . ,

~2,

gr2s

•••

— неубываю­

щая (...,

...) последовательность а-под-

алгебр

Обозначим

Ѳ~^ =

er |( J ЗГпj

минимальную сг-алгебру,

содержащую алгебру событий

и положим ^~ -0O=

f '|^ V

Т е о р е м а

1.5 (Леви).

П

g — случайная

П

Пусть

величина

С M U K

оо. Тогда

с вероятностью 1

M ( £ | ^ ) ^ M ( | | < r j ,

rt_> оо,

M ( i l ^ n) - >M( | [ S T -J,

п - > - оо.

Следующее предложение содержит в себе утверждение как

теоремы 1.4, так и теоремы

1.5.

(Р-п. н.) и существует такая

Т е о р е м а

1.6.

Пусть

интегрируемая случайная величина тр что I

\ т І^Л -

Пусть,

далее,

...,

- 2 s

5Г_ І s

П~0s

^

@ ~ 2

— • • •

— неубывающая

после­

довательность

о-подалгебр

ЗГ^ =

g і ц г л ,

г . „ =

п

\

П

}

п

Тогда

с вероятностью

1

lim

M( | m| ^' n) = M ( | | ^ ‘J ,

п, m->оо

(

1. 6)

lim

M(gm|0-_„)=M (£N T -«).

п, m

оо

Т е о р е м а 1.7

(критерий компактности Данфорда — Пет­

тиса).

Для

того чтобы семейство случайных величин {£а, а е

21}

с МI £а I <

оо было

слабо компактно, необходимо и достаточно,

слабая

компактность семейства

{£а, а е

21}

означает,

что каж­

дая последовательность £аІ. «,■*е

21,

/ = 1 ,

2,

. . . ,

содержит

слабо сходящуюся

подпоследовательность.)

В заключение этого пункта приведем одно необходимое и

достаточное условие равномерной интегрируемости.

последо­

Т е о р е м а

1.8

(Валле-Пуссен).

Для

того

чтобы

вательность | |(

| 2> •

• • интегрируемых случайных величин

была

равномерно интегрируемой,

необходимо

и

достаточно,

чтобы

существовала функция

G(t),

0,

положительная,

возрастаю­

щая и выпуклая книзу,

такая,

что

lim

с (О

=

оо,

(1.7)

t -> оо

t

sup MG(| ln о <

оо.

(1.8)

6.

Основные неравенства для математических ожиданий.

Н е р а в е н с т в о

Г ё л ь д е р а .

Если

р > 1,

-^- +

-^-=1, то

М ит1|< ( М Ш Р)1/Д М |тіі7Д

(1.9)

М| £ т ||< Ѵ Ш 2Щ г-

(1.10)

Н е р а в е н с т в о

М и н к о в с к о г о . Если р ^ \ ,

то

(МI і + ц П1/р< (М и І7/Р+ (мң Гу».

(ini)

Н е р а в е н с т в о

И е н с е н а .

Пусть f(x) — непрерывная

выпуклая (книзу) функция одного

переменного и | — интегри­

f m x M H D -

(М2)

З а м е ч а н и е .

Все указанные неравенства

остаются

спра­

ведливыми, если

операцию математического

ожидания

М( - )