Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Липцер Р.Ш. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

20.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 7111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 1]	ВИНЕРОВСКИй	ПРОЦЕСС	97
Беря затем f (xu	х„) = ехр і	П
Беря затем f (xu	х„) = ехр і	2 А. :Xj , находим
		/=1
М	W,{s))
/=1
		А? (t — s)	(4.17)

что и доказывает требуемый результат.

4.В заключение этого параграфа, посвященного винеров-


скому процессу W = (Wt, &~t),				0, приведем один результат
о	непрерывности семейства		а-алгебр		S T j.	вероятностное про
	Т е о р е м а 4.3. ГТустъ (Q, ГГ, Р )			— полное
странство, W=^{Wt,S r t),		t > 0 , — винеровский процесс					на нем.
Пусть STY = а{со: Ws, s^.t},			причем		предполагается,		что STY
пополнены множествами из ГГ, имеющими P-меру нуль.
	Тогда семейство а-алгебр		{ГГТ),		0, непрерывно: для всех
t >	О T T - = F f = ТГГ+,	где	<Г0* = К		-	слева, ГГТ- = TfY,
	Д о к а з а т е л ь с т в о .	Непрерывность

легко следует из непрерывности траектории винеровского про

цесса. Действительно, &~Т-=в / (JГ І ) и ^ Y = a l (J			U
\ s<t	!	\ s<t	)

где TFW(t) = а {Wt}■Ho Wt = lim Wr, где r — рациональные числа.

		nFw(t) s				r + t			—
Поэтому					(J	, и, значит,
	Несколько			сложнее		доказывается		непрерывность		справа
g-f+ =		t >
	Пусть		s.	В силу (4.13)
	М (ео т <I і Т Г ) =				М [ М ( e “ w >I i T j I r			f ] - -	е ‘" Г ^	(4. 18)
Пусть е таково, что					0 > е < / — s. Тогда
М	I r	t )	s	М [М (ef		I ^f+e) I іГ7+] =
			=	M [exp I fclPs+e — 4 r (t — s						(4.19)
Переходя		к	пределу при е j О,				находим, что
М [eizW*I &-Y+] =				М [exp { izWs -			(t -	s) } \|Г І +] =
						— exp I izWs —			{t — s) I ,	(4.20)

4 P. Ш. Липцер, А. H. Ширяев

98 СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ [ГЛ. 4

поскольку Ws измеримо относительно &~s+- Следовательно,

М [eizWt IF f ] = М [eizWt I P j + l

(4.21)

Отсюда вытекает, что для любой измеримой ограниченной функции

М [/ (Wt) \ r f ]	= М \f (Wf ) I F j + l		(4.22)
Пусть теперь s < t l < t 2	и /, (х),	f2(x) — две	ограниченные
измеримые, функции. Тогда	согласно	предыдущему равенству

М \ h (IT,.) /, (IT,,) I * 7 ] = M [M (f„ (W, j		T f ] =
=	M [M (h (« Щ I IT,,) f, (У,,) I<Fjy = M [f (IT,,) / (ІІЩ I S ™ ] (4.23)
и	аналогично


		м				= м Ц Ч Д О Д Д					(4-24)
где	s < tx < . . .		< 4 . a fj(x) — измеримые						ограниченные функ
ции,	/ = 1 , . . . ,		п.	Отсюда	следует,		что		для	t > s	и любой
^Г-измеримой			ограниченной			случайной* величины rj = г] (со)
				M h l ^ f ]		= Mlril	<^7+].				(4.25)
Беря,		в частности, £Г7.-измеримую случайную									величину
Т] =	г](со),	находим, что М (г\|\|				&~J) = ц (Р-п.			н.).	В силу полноты
o-алгебр		1W	1W	отсюда		вытекает,		что т)			1W
		£TS,	@~s+							является £TS -из
меримой.		Следовательно,			3~Y ^3?~Y+.			Обратное			включение
s		очевидно. Поэтому @~s =@~s+-							Теорема		доказана.
	§ 2. Стохастические интегралы. Процессы Ито
1.		Будем считать			заданным			вероятностное			пространст

(£2, &~,.Р) с выделенным в нем неубывающим семейством о-под-

алгебр F = {&~t),		0. Далее всюду будет предполагаться, что
каждая а-алгебра $Ft, t ^ O ,			пополнена*) множествами		из 9~,
имеющими нулевую Р-меру.			0 ,— винеровский	процесс.	В на
Пусть	W = (Wt, @'і),
стоящем	параграфе	будет приведена конструкция и даны свой-
			t
ства стохастических		интегралов It (f) вида J		/ (s, со)	для
некоторого класса функций			о	всего отметим,
			/ = f(s, со). Прежде

*) Такое предположение дает возможность выбрать у рассматриваемых на (Q, W , Р) случайных процессов модификации с нужными свойствами из меримости (см., например, замечание к лемме 4.4).

СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ ИТО

что интегралы такого типа нельзя определить как интегралы Лебега — Стилтьеса или Римана — Стилтьеса, поскольку реали зации винеровского процесса имеют неограниченную вариацию на сколь угодно малом интервале времени (гл. 1, § 4). Однако винеровские траектории обладают все же некоторыми свойст вами, которые в каком-то смысле аналогичны конечности ва риации.

Л е м м а 4.3.	Пусть 0 = t{0n) < t\n} <	. . . < t ^ = t-разбиение
отрезка [0, і], причем max[^+i —		0, гг-> оо. Тогда
		(4.26)
и с вероятностью	1
		(4.27)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку при любом п

п- 1

то для доказательства (4.26) достаточно проверить, что

гауссовости приращений винеровского процесса

Доказательство равенства (4.27) проведем в предположении,

что 4га>= — t (в общем случае доказательство несколько слож

нее). Для этого воспользуемся следующим общим фактом.

Пусть {£„, п — 1, 2, ...} — последовательность случайных ве личин и для каждого в > О

	ОО			(4.28)
	S Р{1 І я \| > е } <	°°-		(4.28)
Тогда \| п—>-0	с вероятностью 1 при п —>оо.
Действительно, пусть Агп — [а>: \| І „ \| > 8} и			ß e =	lim sup А® —
ОО оо				П
= П U	Тогда {“ : i«(ö))T4 0}=	( J ß I/^.	Но	в силу (4.28)

100		СТОХАСТИЧЕСКИЕ	ИНТЕГРАЛЫ
по лемме	Бореля — Кантелли (гл.		1, § 1)	P (ß 8) — 0.
Р{ю: S»7*0} =		0.		^	.
Возвратясь		к доказательству (4.27), где		t\n) — — t,
		E» = £ V j ± i , - « Ч , ] 2 - т ) -
		і=о I L n	n J	>
В силу неравенства Чебышева
		P { I I J > e } <	Mill. I

[ГЛ. 4

Поэтому

положим

Используя независимость приращений винеровского процесса на непересекающихся интервалах и формулы

m W t - W sf m = { 2r n - !)!!(* — s f , т = 1, 2, ....

нетрудно подсчитать, что

где С — константа.

оо

Поэтому ряд S P { U J > 8 } < ° ° , и согласно сделанному

П — \

выше замечанию g„—>0 (Р-п. и.), п-> оо, что и доказывает (4.27)

в предположении tf'1= ~ t.

З а м е ч а н и е . Утверждения (4.26) и (4.27) символически часто записывают в следующей форме:

Jt (dWsf = Jt ds.

оо

2.Определим класс случайных функций f = f(t, со), для ко-

			t	f(s,
торых будет построен		стохастический интеграл	о	f(s,	<o)dfl7s.
О п р е д е л е н и е	2.		о
О п р е д е л е н и е	2.	Измеримая (по паре переменных (t, со))
функция f = f(t, со),		0, со ей , называется неупреждающей
(по отношению к семейству F = (STt), t^ O ), если			J
она ^-изм ерим а.			при каждом t
она ^-изм ерим а.	3.	Неупреждающая функция f —			со)
О п р е д е л е н и е	3.	Неупреждающая функция f —			со)
называется функцией класса 2РТ, если
	J f2(t, а ) dt < оо j= 1.				(4.29)

§ 2]	СТОХАСТИЧЕСКИЕ		ИНТЕГРАЛЫ.			ПРОЦЕССЫ ИТО				101
О п р е д е л е н и е 4. Неупреждающая функция								/ =	/(/, ш)
называется функцией класса				Шт, если
		т
		М J f2(t, u)dt <				оо.			(4.30)
		о
З а м е ч а н и е .		Неупреждающие			функции часто			называют
также функциями, не зависящими от «будущего».
В соответствии		с определениями §				2 гл.	1 неупреждающие
функции	f =	— это	измеримые			случайные процессы,				со
гласованные с семейством			F —		t ^ T .		Очевидно, что			при
любом Т > 0 ZPT Э Шт.
По аналогии с обычной теорией интегрирования естественно
сначала определить стохастический интеграл It{f)								для	неко
торого множества «элементарных» функций.							следующим		двум
Это	множество	должно		удовлетворять

свойствам: с одной стороны, оно должно быть достаточно «бо гатым», чтобы функциями из него можно было «аппроксими ровать» любые функции из классов Шт и SPT, и, с другой сто роны, таким, чтобы можно было просто описать свойства сто хастических интегралов от его представителей.

Такой класс «элементарных» функций составляют вводимые


в определении 5 простые функции.						e(t, ю),		назы
	О п р е д е л е н и е			5. Функция	e =	e(t, ю),		назы
вается		простой,	если	существует	конечное		разбиение 0 = t0<
<	/] <	. . . < t n — T		отрезка [0,	Т],	случайные		величины	а,
а0,	. . . ,	<*„_!, где	а	^-изм ерим а, а		at-	^F^.-измеримы,		і —

= 0, 1, . . . , п — 1,	такие, что
	п—I
е (*>	®) = а*{о) (0 + 2 ^ x (t[ и+і] (t)
(%{о}(0 — характеристическая функция «точки»		{0}, а 1(ti,ti+l\ ~
характеристическая функция полуинтервала (tt,		^ + 1]) и е ^ Ш т).
З а м е ч а н и е .	Простые функции e — e{t, со)	определены как

функции, непрерывные слева. Этот выбор мотивируется анало гией с обычным интегралом Стилтьеса, определяемым так, что если a = a{t) — неубывающая непрерывная справа функция, то

оо

J Х(в. ѵ\ (0 da (0 = а (ѵ) — а (и).

То обстоятельство, что при построении стохастического интеграла по винеровскому процессу мы отправляемся от «эле ментарных» функций, непрерывных слева, не является суще ственным. Можно было бы в качестве «элементарных» взять

102	СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ	[ГЛ. 4
ступенчатые функции, непрерывные справа.		Однако это обстоя

тельство становится существенным при построении стохасти ческих интегралов по квадратично интегрируемым мартингалам

(см. § 4 гл. 5).			функций	e — e(t,i о),	стохасти
3. Для простых			функций	e — e(t,i о),	стохасти
ческий интеграл /Де) по определению полагается равным
It{e) = aW0 +		2
		JO< i< m,	' m + l <*}
или, так	как	P(1F0 =	0 ) = 1 ,
<	2	im+1с I)		+	(4.31)
		im+1с I)
Для краткости вместо сумм в (4.31) будем использовать
следующую (интегральную) запись:
			It(e)=	e(s, со) dWs.	(4.32)
Под интегралом			)dWu будет пониматься		интеграл
Под интегралом			J е(и, соJ
/ tie), где	ё(и,	со) — е{и, со)%(и > s).

Отметим основные свойства стохастических интегралов от простых функций, непосредственно вытекающие из (4.31).

/<(аех+

be2) — alt{ex) + blx(е2),

a, b — const.

(4.33)

*•

[

e(s, со)dWs =

e(s, со)dWs +

e(s,

со)dWs

(Р-п. н.).

(4.34)

/Де) —

непрерывная функция по t, 0

(4.35)

ММ е(и,

(ü)dWu \

j = j

e{u,

a)dW u

(Р-п. h.).

(4.36)

М Ц et(u, d))dWaJ

e2(u,

a>)dWuJ =

e{(«, co)e2(w,

co)du.

Если e(s, co) =

для всех s,

(4.37)

соg A s

j., го

I е (s,

®)dWs = 0,

/ < Г .

Процесс

/Де),

прогрессивно измерим, и, в част

ности,

/ Д

е ) t-u3меримы при каждом t, 0

^ Г.

§ 2]

СТОХАСТИЧЕСКИЕ

ИНТЕГРАЛЫ. ПРОЦЕССЫ

ИТО

103

Из свойства (4.36),

частности,

следует, что

е(и, a)dW u = 0.

(4.38)

Отправляясь

от

интегралов It (e)

от

простых

функций,

определим теперь стохастические

интегралы

It {f),

t ^ . T ,

для

функций

feäJ£ r .

МJ

Возможность такого определения основывается на следую

щей лемме.

Пусть функция

/ е

Шт. Тогда найдется после

Л е м м а 4.4.

довательность простых

функций

fn,

п — 1,

2.........

таких,

что

[f(t,

со)— fn(t,

в))]2 dt-* 0,

п-> оо.

(4.39)

Д о к а з а т е л ь с т в о ,

а) Прежде

всего

заметим, что

без

ограничения общности

можно

считать функцию f(t, со) ограни

МJ

ченной,

I f (t, со) |<!С <

оо,

(ö g Q.

(В

противном

случае

можно

перейти

от

f(t,

со)

функции

f(iV) (t,

co) =

= f(t, со)%N(t, со), где

\f(t,

со) К

Ж,

%N(#, со) =

\ f(t,

со) I >

и использовать

то,

что

М | | / ( ^ , с о ) — f(N) (t,

&)\2d t-* 0

при

N -> 00.)

Далее,

если

Г =

го

сразу

можно считать,

что

оо,

функция

f (t, со)

финитна,

т. е.

обращается в

нуль

вне

неко

торого конечного

интервала.

Т < оо.

Итак,

пусть I / (/,

со)) ^

С <

оо,

б) Если функция f{t, со) непрерывна по t (Р-п. н.), то после довательность простых функций строится просто. Например, можно положить

£	ч t (kT	,	\	kT	„ ^ ( k + l ) T
fn{t,	=	,	со],	—	< * < -----~---- .

Тогда (4.39) выполнено по теореме Лебега о мажорируемой сходимости.

в) Если функция f(t, со), соей , прогрессивно из мерима, то построить последовательность аппроксимирующих

функций можно следующим образом. Пусть F(t, со)= J f(s, со)ds,

где интеграл понимается как интеграл Лебега. В силу про грессивной измеримости функций f ( s , со) процесс F( t , со),

104	СТОХАСТИЧЕСКИЕ	ИНТЕГРАЛЫ	[ГЛ. 4
	измерим и при каждом t случайные величины /Д/, со)
^-измеримы .
Положим
fm(t, С0) =	I	CO) — F((t — -^)

т	I f (s, со) d s ( = [f(t,		V о, c o )]/i).

( - І ) VO

Случайный процесс )т (Дсо), ( Х Д ^ Г , coeQ , измерим, является неупреждающим и имеет Р-п. и. непрерывные траектории. По этому согласно пункту б) для каждого т существует последо

вательность

неупреждающих ступенчатых

функций

f min(t, со),

п = 1, 2,

. . . ,

такая,

что

М J

со)—

со)]2 £#->(),

П-> О О .

Заметим

теперь,

что Р-п. н. для почти

всех t ^ T

суще

ствует производная

F'(t, со) и F'(t,

—

со).

Но

в тех точ

ках, где производная F'(t, со) существует,

F'(t, со)= lim m \F{t, со) — F ((?-----V 0,

со)

lim f m{t,

со).

Поэтому

для

почти

всех (t, со)

(по

мере

dt dP)

lim

f m{t, co) =

— f{t, со)

по

теореме

Лебега о

m-> oo

мажорируемой

сходимости

М с

)

— f(t,

со)]2с^->0,

m -> оо.

Этим утверждение леммы доказано в случае, когда функции f(t, со), 0 < Л г ^ 7 \ со<=П, прогрессивно измеримы.

г) В общем случае доказательство проводится следующи образом. Доопределим функцию /(/, со) для отрицательных t, полагая f(t, co) = f(0, со). Будем считать функцию f(t, со) огра ниченной и финитной. Положим

' Ы 0 =	-^г. -рг<*<"Цаг-. / = 0, ± 1 .........
и заметим, что	функция fn(t, со) = /[фпД — s) + s, со] является

при каждом фиксированном s простой. Лемма будет доказана, если показать, что можно так выбрать точку s, что будет выполнено (4.39).

§ 2]

С Т О Х А С Т И Ч Е С К И Е И Н Т Е Г Р А Л Ы . П Р О Ц Е С С Ы И Т О

105

Для доказательства воспользуемся следующим замечанием: если f — 0, cosQ , — измеримая ограниченная фи нитная функция, то

lim М	f [f(s + h, со) — f{s, ti>)fds = 0.	(4.40)
h-*0	J
	0

Действительно, согласно пункту в) для всякого е > 0 най дется такая Р-п. н. непрерывная функция fe(t, со), что

М J [fAs, <o) — f(s, о)]2 fifs < е2.

		о
Но тогда в силу неравенства Минковского
00				-\| 1/2
Пт М I [f(s +	A,	to) — f{s, (ö)]2ds
h-*0
	<	lim					-.1/2
	<	lim	M J [fzis + h,		0	(ö)]2rfs	+ 2e,
		h-> О	M J [fzis + h,		( ) — fAs,	(ö)]2rfs	+ 2e,
		h-> О
откуда в силу	произвольности			е > 0 следует (4.40).
Из (4.40) вытекает также,				что для	любого	О

и, в частности,
	lim	М [ [/(5 + ф„(0, <o) — f(s + t, (o)]2ds =					0
	п->°°	о
	оо	оо
lim	М Г	f [/(s - f ф„(0. ©) — f(s + t, a>)]2dsdt =					0.
п-boo	*	J
	0	0
Из последнего равенства следует, что существует такая
последовательность чисел пІУ г = 1 , 2,					. . . ,	«г-> оо,	что	для
почти всех (s, t, со) (по мере dsdtdP)
[f{s + %.(t), öd) — f { s + t ,			öd)]2->0,			nt -+oo.
Отсюда, переходя к новым переменным					и — s, ѵ — s +		t,	полу
для почти всех (и, v,			со(п )]2о		мере	du dv dP)
чаем, что[f (« + % t{v — и), 0 — öd)			со(п )]2о	—> 0,		nt -+O0 ,

106		СТОХАСТИЧЕСКИЕ			ИНТЕГРАЛЫ		[ГЛ. 4
и,	значит,	найдется такая		точка	ü — s, что
lim М J [f(ü + \рПі(ѵ — й),				—	со)]2dv =
		lim М J		[f(s 4 - ^ (/ — s), ©) — /(/,			(ü)fdt =	0.
	Лемма	4.4 доказана.				со), 0 ^ ^ ^ Г <		оо,
	З а м е ч а н и е . Если случайный процесс f(t,					со), 0 ^ ^ ^ Г <		оо,
является прогрессивно измеримым и Р I J \| f (t,						со) \dt < оо I =		1,
			t		Vo		/
то	процесс	F(t, со)=	J f(s,	at)ds,	где интеграл пони-
мается как		интеграл	о				и F -согла
мается как		интеграл	Лебега, является измеримым				и F -согла

сованным и, более того, прогрессивно измеримым (как имеющий Р-п. н. непрерывные траектории).

Если же измеримый случайный процесс

Т < оо, Р ^ J ) f(t, со) \dt < ooj = 1, является ^-измеримым

при каждом t, 0 < 4 7\ то у него существует (§ 2 гл. 1, п. 1) прогрессивно измеримая модификация f {t, со), и тогда процесс

F{t, co)= J f(s, co)ds	также прогрессивно измерим. Покажем,
о
что F(t, со) является	(прогрессивно измеримой)	модификацией
процесса F(t, со).
Действительно, пусть х5(ю) = х{и: f(s ö)^ f (s ffl)r		Тогда по тео-
т	т

реме Фубини М J %s((ä)ds — | Mxs(со) ds = 0, и, следовательно,

т	о	о

Р-п. н. J xs(a>)ds = 0, а значит, и P(F(/, со) = F(t,				со))=		1, t ^ T .
о						предпо
Как было отмечено в начале данного параграфа,
лагается, что а-алгебры FTt пополнены множествами из
имеющими P-меру нуль.		Поэтому из того, что F(t,			со) являются
при каждом t	Т ^-измеримыми, вытекает,			что и		F{t, и)
также ^"(-измеримы для		каждого t ^ . T .
Учитывая также то, что процесс			F{t, со), t ^ T ,		непрерывен,
			t
получаем,- что	интеграл	F{ t , со)=	Г / ( 5 , a>)ds,	/ < Г ,		от не-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 7111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ