книги из ГПНТБ / Лебедев И.В. Элементы струйной автоматики

то согласно теореме об изменении момента количества

движ ения мож но

з а ­

писать:

6Gm [(^2i/?2 — U\UZ\)— (и2гу2— “ і2(/і)] =

6АГх .

(33)

Уравнения, аналогичны е

вы раж ению

(33),

м ож но

получить

и

для

осей

Уи Z:

6 G „ 1

[ ( t/2zA'2

« | Г-Ѵ|) —

(« 2 A Z2 —

г/1.1'г і)]

=

S M у ]

I

^

6 G m

[(« г .ѵ '/з — « i .v '/ i ) —

(«21/-Ѵ2 —

«11/Л‘і)]

=

б M z .

I

В результирую щ ие моменты ÖMX,öMy,бMzвходят моменты сил тяж ести,

моменты сил

давления,

действую щ их

в

концевы х

сечениях вы деленного

отсе­

ка. моменты,

вы званны е силами трения и нормальными

напряж ениям и

на

бо­

ковой

поверхности отсека.

Полученные

зависимости

представляю т

собой

уравнения

изменения

момента

количества

движ ения

в

проекциях на

прям о­

угольные оси координат.

Уравнение

энергии

для

потока ж идкости . Это

важ ное уравнение

является

вы раж ением

первого закона термодинамики, согласно которому для

системы,

механически

взаимодействую щ ей и обмениваю щ ейся

теплотой

с

окруж аю щ ей

средой, изменение ее полной энергии АЕ определяется

выраж ением

AAE=AQ-AAW,

(35)

где

AQ — полученное

системой

количество

теплоты;

— соверш енная

рабо ­

та;

. 4 — тепловой

эквивалент механической

энергии. П олная

энергия

системы

склады вается

из

кинетической

энергии

движ ения

системы

как

целого

Екк„,

потенциальной

энергии

системы, обусловленной

наличием внеш него

поля

сил,

и внутренней

энергии

системы

U. В нутренняя

энергия

U вклю чает

кинетиче­

скую

энергию

хаотического

движ ения молекул

и

потенциальную

энергию

их

взаим одействия.

Выделим

элем ентарную струйку в потоке вязкой

ж идкости

и рассмотрим

ее

отсек,

ограниченный

сечениями 1— 1 и

2—2, нормальными

к

оси

струйки

(рис.

18).

З а

бесконечно

малое

время отсек

переместится в

повое положение

1'— V и

2 '— 2'.Изменение

полной

энергии

отсека

за

это

время

будет

равно

разнице

его энергии

£ , _ 2 в

положении 1— /

и

2—2 и

энергии

Е| , _ 2, в

поло­

ж ении

1'— 1'и

2'—2'. Но энергия

Е,_2м ож ет

быть

представлена

как

сумма

энергии в объем ах 1— 1— 1'— V и / '— V — 2— 2,т. е.

£ | _ 2 =

_ | >+

£

j

2 •

(36)

А налогично мож но вы разить и энергию Е

£ | - _ 2 ' =

'_ о

+

£ 2 —2' -

(37)

Вычитая из уравнения

(36) вы раж ение

(37),

находим

изменение полной

энергии

выделенного отсека за

время dt-,

Д £ =

£ , _ 2 — Еѵ_2,=

£ ,

Е2_2,.

(38)

П оскольку

через лю бое

поперечное сечение

рассм атриваем ой

элем ентарной

струнки проходит один и тот

ж е

весовой

расход

ж идкости,

целесообразно

вместо

энергии

всего отсека

рассм атривать

удельную

(т. е.

приходящ ую ­

ся

на

единицу

веса

протекаю щ ей ж идкости)

энергию . П олная

удельная

энер­

гия

ж идкости,

прош едш ей за

врем я

dtчерез некоторое

сечение струйки

будет

вклю чать удельную

кинетическую энергию

еипп— EHn„löG= u2/2g, удельную

потенциальную энергию г (численно равную

расстоянию до некоторой услов­

ной

горизонтальной

плоскости

о т сч ет а — плоскости

сравнения)

и

удельную

внутреннюю энергию

и= —-— ,

вы раж аем ую

обычно

в

тепловы х

единицах.

о и

Таким

образом ,

полная

удельная

энергия

ж идкости,

прош едшей за

время

dt через

сечения

/ — 1и

занимаю щ ей

объем

1— 1 и

1'— 1',будет

опре­

деляться

вы раж ением

И = гі +

“ і

+

о,

0

. ■

2g

А

а ж идкости, прошедшей через

сечения

2—2 и занимаю щ ей

объем

2— 2 —2 '—2',

вы раж ением

■г2+

и2

+

и2

2g

А

С ледовательно, изменение

удельной энергии

вы деленного

отсека элем ен ­

тарной струйки за время

dtсоставляет

Де = - Д£

2

2

—

— Со — 2| — Zo ~Ь '4

Г

“ 2

П[ — Ö2

(39)

6G

2&

А

Вычислим

теперь работу,

производимую при перемещении

рассм атривае­

мальными

и касательны ми напряж ениям и,

на внешней

поверхности отсека.

Если нормальны е напряж ения в

сечениях

1— 1 и

2— 2

равны

соответственно

Рі и р2,то силы давления в этих сечениях будут

Яі =

piöoi1 и

Р2= р2Ъа>2.За

время dtсила Я, произведет работу pi6o)i-dS |, а

сила

Я2 — p28a>2dS2.Р езу л ь ­

тирую щ ая

работа этих сил, отнесенная к

единице веса

протекаю щ ей ж идко ­

сти, будет

равна

р ,6 ев, dS\— р28^чdSo

8G= Уібсо,

dS,=

\i8a>2dS2,

-----------------— ------1— -

, но

ои

где Vi и уз — удельные веса ж идкости

в сечениях

1—1и 2— 2

соответственно.

П оэтому

РібЫ| dS{

Р1

p 2So)2 dS2

Рг

8G

Ѵі

6G

‘

У2

4*

51

Величины

P I/YI

н РгІУъ назы ваю тся удельными

энергиями

давления

в се­

чениях /— Iи 2— 2.

Силы давления,

действую щ ие

по

боковой

поверхности отсека, нормальны

к этой поверхности и поэтому их работа равна

нулю. Р абота

касательны х н а ­

пряж ений на

боковой

поверхности

струйки

(напряж ении

трения)

необратимо

превращ ается

в тепловую энергию . В

связи

с

этим

эф ф ект

действия

н апря­

жений трения в энергетическом отнош ении равносилен

подводу

к

каж дой

единице

веса

протекаю щ ей

ж идкости

некоторого

количества

теплоты

AQ Tp

из внешней среды. П отери удельной энергии

AQrp

(40)

Лс =

А

П риним ая

во

внимание

форм улу

(40),

а

такж е

полученные

вы раж ения

для

удельны х

энергий,

мож но

записать уравнение

энергии

для

сечений эл е ­

ментарной струйки вязкой ж идкости,

учиты ваю щ ее

механическую

и

тепловую

формы энергии:

Do

Un

Ѵі

г\+

Pi

+

“ і

+

«і

+

<7

= Зг +

и2

Ъ

+

ң :

+

Т" + Лс

(41)

Ух

2g

А

А

Ч

А

где

q— подведенное

к

рассм атриваем ом у отсеку

количество

тепла, рассчитан ­

ное

на

единицу

веса

протекаю щ ей

ж идкости.

В

дифференциальной

форме

уравнение (41)

м ож ет быть записано следую щ им

образом :

dz+ d

Jfl

dq

dhc.

(42)

Ч

~Ä

К ак

известно

из

термодинамики,

подведенное к газу

тепло

dq расходует­

ся

на повышение

его

внутренней

энергии и работу

расш ирения,

т. е.

dq

dv

(43)

А

+ р * .

где а— 1/у — удельный объем среды.

П од ставляя ф орм улу (43)

в вы раж ение (42), находим

Если ж идкость несж им аем ая,

т. е. у=

const,

то

уравнение (44) приобре­

тает следую щ ую форму:-

РI

иі

— г 2 +

Р2

+

“2

+ ht

гі + У

+ Ч

У

ч

(45)

В этом уравнении Бернулли для элементарной струйки

реальной несж и ­

маемой

ж идкости

каж ды й

член

м ож ет

быть

интерпретирован

геометрически

и энергетически. Так, с геометрической точки зрения

z — высота

полож ения,

р/у — высота

давления,

u2/2g— скоростная

вы сота

и

/іс — потерянная высота.

С энергетической

точки

зрения

z — удельная

потенциальная

энергия

полож е­

ния,

р/у — удельная

потенциальная энергия

давления,

u2/2g— удельная

кине­

тическая энергия, а /гс — потеря

удельной энергии.

гидродинамическим на­

С умма трех

вы сот

z+

р/\>+ u2/2g

назы вается

пором.

ply+

В энергетической трактовке

сумма

трех

удельны х

энергий

z +

+ u2/2g= е.„

есть

удельная

механическая

энергия.

И ногда

при

течении

ре­

альной

ж идкости

потери

удельной энергии

оказы ваю тся

пренебреж имо

м алы ­

ми. При

этом

изменение

парам етров течения

происходит

так,

к ак

если

бы

ж идкость

была

невязкой,

т. е. идеальной. В общ ем

виде

уравнение Бернулли

для

элементарной

струйки

идеальной ж идкости

получается из

формулы

(45),

если

полож ить

/іс = 0.

Чтобы

пользоваться

уравнением

энергии

в

том

или

ином виде для целого потока, выберем на

участке

слабой деформации

сече­

ние,

нормальное к

оси

потока. Т акое сечение

является

практически

плоским.

Выделим в пределах указанного сечения

сечение

некоторой

элементарной

струйки

площ адью

do,

удельная

механическая

энергия

д л я

которой

опреде­

ляется вы раж ением

ея= z+

ply+ u2/2g. Чтобы

найти

полную

механическую

энергию

б G =

в сечении

струйки,

ум нож им

ее

удельную

энергию

на

весовой

расход

yurfco:

П олная

м еханическая энергия

всего потока

П ервы й интеграл в правой

части уравнения

(46)

вы р аж ает

потенциаль­

ную,

а

второй — кинетическую

энергию

потока

в

рассм атриваем ом

сечении.

При вычислении потенциальной энергии необходимо иметь в виду,

что

на

участке,

где

поток

параллельно-струйны й

или

слабо

деформированны й,

во

всех

точках лю бого

р

остается

одинаковой

[23].

ж ивого сечения сумма 2 + —

С учетом

этого потенциальная

энергия

Y

вы раж ением

потока

определяется

(47)

(О

Чтобы вычислить

кинетическую

энергию

потока, нуж но

знать

распределение

скоростей по сечению. Часто, однако, это

распределение детально не бы вает

известно,

поэтому

кинетическую

энергию

подсчиты ваю т

по известной

заранее

средней

скорости

о потока

в сечении. В озникаю щ ая

при

таком

подсчете

неко­

торая неточность корректируется введением поправочного

коэфф ициента

а

(коэффициента кинетической энергии). Э тот коэффициент

представляет

собой

отнош ение истинной кинетической энергии

потока,

проходящ его

через

рас­

сматриваем ое сечение, к кинетической энергии, подсчитанной по средней

ско­

рости. Таким образом , второй интеграл

в вы раж ении

(46)

м ож ет

быть

з а ­

писан:4

(48)

Из формулы (48) следует, что

а =

I” к3 dü)/v3a>.

(49)

К ак и коэфф ициент

количества движ ения

cto,

коэффициент

кинетической

энергии а зависит от неравномерности распределения скоростей по

ж ивом у

сечению потока.

а и

К оэффициенты

а 0 связаны

м еж ду

собой следую щ ей зависимостью :

а = Зсіо— 2.

(50)

С учетом формул (47) и (48) полная м еханическая энергия

потока м ож ет

быть записана в виде

I = yQ (г+ —

аѵ2

2g

\

У +

О тнося эту энергию

к весовом у расходу yQ, получаем

удельную

м ехани ­

ческую

энергию потока

в рассм атриваем ом

сечении:

З м -

Е„

— г 4*

р

а п 2

уQ

+

2ё

у

Очевидно,уравнение

энергии для

двух

сечений

потока

несж имаемой

ж и д ­

кости запиш ется:

Эм, = 3 Ѵ(

+ Я,

(51)

где

Э М] и ЭМг — удельны е

механические

энергии

потока

в сечениях

1— 1 и

2—2\ Н — потеря

удельной

энергии

потока

м еж ду

рассм атриваем ы м и

сечени­

ями 1— 1и 2—2.

П одставляя

в

уравнение

(51)

вы раж ение

для

удельной

механической

энергии потока, получаем уравнение Бернулли для

целого

потока

реальной

несж имаемой ж идкости:

Р1

' —22 +

Рг

а.,ѵ

(52)

2 2

■+ я,

2і +

У + -

2g

У

2g

где

Иі и а 2 — коэффициенты

кинетической

энергии

для первого

и

второго се­

чений соответственно.

С ледует подчеркнуть,

что

уравнение

Бернулли

в

форме вы раж ения

(52)

м ож но

записы вать

только

для

сечений,

в

которы х поток является слабодеф ор-

мированным. М еж ду

этими

сечениями

на

некоторых

участках

поток

м ож ет

быть и сильно деформированны м .

У равнения движ ения

турбулентного потока. Турбулентны й поток по

своей

природе

есть поток

неустановивш ийся

(нестационарны й).

И зучение

такого

потока

связано со

значительны ми трудностям и, поскольку

случайный

х ар ак ­

ческой

гидромеханике. М еханические системы с такими

парам етрам и

(в

част­

ности,

турбулентный

поток)

изучаю тся

статистической

механикой.

Впервые

элем ентарны е

статистические

понятия при рассмотрении

турбулентного

пото­

ка ввел

Рейнольдс. Он представил меняю щ ееся во

времени мгновенные

зн а ­

чения парам етров турбулентного потока

к ак сумму

осредненного во

времени

значения парам етра,

около которого происходят мгновенные колебания,

и

его

турбулентной

пульсации. Т ак,

по Рейнольдсу мгновенная скорость потока

«,

в проекции на ось і(і= х,у,г) м ож ет быть записана в виде

и.=й.+ и[.

(53)

нения Рейнольдса п дифференциальное уравнение

неразрывности образую т

незамкнутую систему. Чтобы ее зам кнуть, необходимо найти

вы раж ения

для

турбулентны х напряж ений. П ервоначальны е попытки

в этом

направлении

со­

лили

бы

связать турбулентны е напряж ения

с

парам етрам и

осредненного

те­

чения.

Буссинеск предполож ил, что турбулентное

напряж ение

м ож ет

быть

вы ­

раж ено

зависимостью , аналогичной закону

Н ью тона для вязкого

трепня

[6].

Д л я

плоского потока это предполож ение позволяет записать

— рихиу= рб0

дих

(55)

ду

где

Ео— коэффициент

турбулентного

обмена, аналогичный

коэфф ициенту ки­

нематической

вязкости

В

отличии

от

определяем ого

основном

только

температурой

ж

идкости, коэфф ициент турбулентного обмена

е0

зависит

V .

V ,

в

от парам етров

течения

и геометрии

потока.

П рандтль,

исходя

из

сущ ествования

аналогии

м еж ду

хаотическим

дви ж е ­

нием частиц ж идкости

в турбулентном потоке и молекул

в

газе,

получил сле­

дую щ ую

формулу для

турбулентного

напряж ения

в

плоском

потоке

[6]:

-

р ихиу=

р/2

дих

дих

(56)

~ді

ду

где

/ — длина

пути

смешения, аналогичная

длине

свободного

пробега

молекул

в кинетической

теории газа.

П реимущ ество

формулы

(56) состоит в том,

что

относительно изменения

величины

I могут

быть

приняты

более

пли

менее

логически

обоснован­

ные

предполож ения. П одробное излож ение,

а

такж е

примеры

применения

полуэмпирических

теорий

Буссинеска,

П рандтля

и

других

исследовате­

лей

м ож но найти в

специальны х работах

по

турбулентны м

потокам

[3, 6,

59,

62].

П оле осредненных скоростей турбулентного

потока не дает полной харак ­

теристики его свойств. Так,

два турбулентны х

потока,

отличаю щ ихся лишь

уровнем

пульсаций

скорости, в общ ем

случае могут

оказы вать различное си­

ловое воздействие

на

обтекаемы е

поверхности.

Д л я

характеристики

уровня

лентности,

являю щ ейся

некоторой мерой

пульсаций

скорости относительно

осредненной

скорости.

Степень турбулентности представляет

собой

отношение

средней

к в ад р а ­

тичной пульсационной

скорости

У (и'}2

к осредненной скорости, т. е.

V К ) 2

(57)

и

т

где (и ')2 = -у I* (u')2dt

дисперсия пульсаций

скорости.

Величина

е часто

о

вы раж ается

в процентах.

Н ар яд у

со

степенью

турбулентности использую т и

другие характеристики

турбулентного

потока

(например,

масш табы и спектр

турбулентности)

[6, 41].

3. Механическое подобие потоков жидкости

и анализ

размерностей

Гидромеханические процессы в элем ентах струнной автом атики,

как п р а ­

вило, развиваю тся

под влиянием больш ого числа

ф акторов.

Эти

процессы

подчиняю тся

обшим

физическим

законом ерностям , конкретным вы раж ением

которы х для

потока

вязкой

ж идкости являю тся дифференциальны е

уравнения

(уравнения

Н авье-С токса)

и уравнение

неразрывности. Н о

эти

уравнения

справедливы

для целого класса

явлении

и имеют

бесконечное

число

решений.

С ледовательно, для

вы деления

рассм атриваем ого

явления из

целого класса

ственное

решение системы дифференциальны х уравнений. К условиям

одно­

значности

долж ны быть такж е отнесены физические

константы

(плотность,

вязкость

и

др .),

характеризую щ ие

сущ ественные

для

исследуемого

процесса

физические

свойства среды.

П од граничными

условиями

понимаю т

геометри­

ческие

характеристики

потока

(его

разм еры и ф орм у),

а

такж е

значения ки­

нематических

и

динамических

парам етров

на

границах

исследуемого

участка

потока. Н ачальны е условия

потока

характеризую т

геометрические,

кинем ати­

ческие,

динамические парам етры потока

в начальный момент

времени.

Количественно условия

однозначности

вы раж аю тся

рядом

постоянных

значений

кинематических

и

динамических

парам етров

на

границах

потока,

а в

начальный

момент

вр ем ен и — для всех

точек

потока. Эти постоянные п а ­

раметры

вместе

с заданны м и

геометрическими

разм ерам и

и

физическими

константами

являю тся

постоянными

парам етрам и

задачи . Таким

образом , для

реш ения

конкретной задачи течения ж идкости имеются система

дифференци­

альны х уравнении и совокупность значений постоянных парам етров,

т. е. ис­

комые

величины

являю тся

функциями независимых

переменных

и

постоянных

парам етров. К ак

независимые

переменные,

так и постоянные парам етры

пред­

ставляю т

факторы , определяю щ ие

процесс.

В

формировании

процесса

эти

факторы

проявляю тся

не

каж ды й

индивидуально,

а

в

слож ны х

сочетаниях

один

с

другим . С ледовательно,

при

решении задачи целесообразно

рассм атри ­

вать

не

м нож ество независимых переменных

и

постоянных

парам етров,

а их

безразм ерны е комплексы,

в

структуре которых

отраж ено

взаим одействие

р а з­

личных влияний.

Если

фиксирование значений постоянных разм ерны х

парам етров

вы деляет

частный случай течения ж идкости, то фиксирование

значений безразм ерны х

комплексов

вы деляет уж е

бесчисленную

группу

частных

случаев, назы ваем ую

обобщенным индивидуальным случаем. Обобщенный

индивидуальный

случай

охваты вает

группу родственных, подобных

м еж ду

собой

явлений,

поэтому

безразм ерны е

комплексы

назы ваю т

критериями

подобия.

Динамические

кри ­

терии подобия

вы раж аю т

соотнош ение

сил,

под

действием

которых

протекает

рассматриваемы й процесс. Эти критерии

могут быть получены

путем

подобного

преобразования дифференциальны х уравнений движ ения (41].

Н ар яду

с критериями

динамического подобия

процесс

м ож ет

определяться

и простыми

соотнош ениями

одноименных

величин,

назы ваем ы х

параметри­

ческими критериями. Будем

обозначать

их

П.

К ак

правило,

параметрические

критерии

представляю т

собой

определяю щ ие

геометрические

разм еры ,

отне­

сенные

к

какому-либо

характерном у разм еру

потока.

Равенство

таких п ар а ­

чески подобны.

Основные теоремы подобия и критерии

подобия

д л я

потоков

вязкой

ж идкости . Теория подобия

основывается

на

следую щ их трех

общ их теорем ах

подобия:

Первая теорема. Если

совокупность

явлении, определяемы х

системами

дифференциальны х уравнений и условиями однозначности,

образует

группу

подобных явлений, то величины, входящ ие в

определяю щ ую

систему,

долж ны

образовы вать

комплексы или критерии,

сохраняю щ ие

одно и то

ж е

числовое

значение для

заданной совокупности явлений.