книги из ГПНТБ / Лебедев И.В. Элементы струйной автоматики

О чевидно i= X, У

и Z. Компоненты скорости их, иу и и- запиш утся

н, (і =

л-, у, z).

С

ледуя м етоду

Эйлера, вы разим проекции скорости в произвольной точ­

Проекции ускорения могут быть записаны в виде

йщ

du;

dui

ди-с

ht

dt

(t,X

У’ 2) = hi +

Uj

h i

(15)

где

/ — обегаю щ ий

индекс,

принимаю щ ий

при

данном

іпоследовательно

зн а ­

чения а',

у и г. Н аличие

в отдельном

вы раж ении

повторяю щ егося

индекса

означает

суммирование

по

этом у

индексу. Так,

например,

проекция ускорения

на ось I = Xзапиш ется:

dux

dux

dux

âux

dux

dt

dt +

ux

dx + üy

ây + «г

dz

И з уравнения

(15)

следует, что

ускорение

в

точке

потока ж идкости скл а ­

ды вается

из

двух

частей.

П ервая

д у

характеризует

изменение

скорости

—

в данной точке во времени и

назы вается

локальным

ускорением.

В торая

ди;

характеризует

изменение

скорости

в пространстве, т. е. при переходе

Uj—

от данной точки к соседним и

назы вается

конвективным ускорением. Если

п а ­

раметры потока (и в первую

очередь скорость)

не

меняю тся во

времени,

т а ­

кой

поток назы вается

установившимся или стационарным. Д л я

установивш е­

гося

потока

локальное

ускорение

равно

нулю.

Если

ж е

парам етры

потока

изменяю тся

с течением

времени,

такой

поток

будет

неустановившимся (неста­

ционарным).

і) и

Конвективное

ускорение вклю чает

одноименные

(/ =

разноименны е

(у ф і)

ди;

производная

вы р аж ает

скорость

прои зводны е — г— .О дн о и м ен н ая

удлинения отрезка

о/

длины при

его

движ ении

параллельно

данной

единичной

оси. Разноим енная производная

характеризует угловую

скорость

вращ ения

отрезка

относительно оси, неуказанной в производной. Рассм отрим

движ ение

плоского

элемента

ЛОВ с

ребрами

dy и

dz (рис. 12). З а время dtотрезки dy

и

dz перем естятся

н повернутся

на малые углы dQ, и еШ2.

О

повороте

всего

элем ента

судят по повороту его биссектрисы ос. Если dOi = dQ2,угол dQ по­

ворота биссектрисы равен нулю, т. е. в этом случае

поворота

элем ента не

будет.

При dQiФ d02угол dQФ 0

и,

следовательно,

имеет

место

поворот

элемента относительно оси х.Угол dQмож но найти из вы раж ения

У гловая

скорость вращ ения

Йх эл ем ен та . относительно

оси х определяет­

ся уравнением

Аналогично могут быть получены угловы е скорости

вращ ения

элем ента

относительно других осей:

( 16>

П олученные угловы е

скорости

назы ваю тся компонентами

вихря,

а

дви ­

ж ение

с

вращ ением частиц — вихревым

движ ением . П олная угловая

скорость

й

вращ ения

элем ента равна геометрической сумме

компонентов

вихря:

Если

все

компоненты

вихря

равны

нулю,

движ ение

назы вается

безвихре­

вым или

потенциальным, поскольку

в

этом

случае

сущ ествует

функция

ф = ф(х,

у,z),назы ваем ая потенциалом скорости, частная

производная

кото ­

рой по лю бому направлению

равна

проекции

скорости потока

на

это

направ ­

ление,

т. е.

П одстановкой

ф орм ул

(16)

в

вы раж ение

(17)

легко

показать,

что

если

функция

ф сущ ествует, то

все

компоненты вихря равны

нулю,

т. е. движ ение

является

безвихревым.

М одели и характеристики

потоков

ж идкости . В

общ ем случае

в

лю бых

точках

потока

все

три составляю щ ие

скорости

могут

быть

соизмеримы . Такой

поток

назы вается

пространственным или

трехмерным.

Если

составляю щ ая

скорости

по какому-либо одном у направлению равна нулю или много

меньш е

составляю щ их

по двум другим направлениям , такой

поток назы вается

плос­

ким или

двумерным. И, наконец,

если

составляю щ ие

скорости по каким -либо

двум направлениям

равны

нулю

или

много меньш е

составляю щ ей

по третьем у

направлению ,

такой поток

назы вается

одномерным.

Н аиболее

слож ным

д л я

исследования

является трехмерный поток, а наиболее

простым — одномерный.

П оэтому

для

упрощ ения реш ения

задач

стрем ятся

свести

трехмерный поток

к

двум ерном у

или

одномерному. В

этом

отношении

оказы вается

полезной

изображ ения потока. Д л я указанного изображ ения

потока вводится

понятие

линии тока. Линия тока есть воображ аем ая линия,

к каж дой

точке

которой

касателеи вектор скорости в данный момент времени. Таким образом,

в

к а ж ­

дый момент времени поток геометрически

м ож но изобразить

семейством

ли ­

ний тока. У равнение тинии тока в общ ем случае имеет вид:

dx

dy

dz

(18)

их

иу

и2

Если течение ж идкости

неустановивш ееся, то

от одного

момента

времени

ск другому картина линий тока будет изменяться. При

установивш ем ся

тече­

нии! она остается неизменной.

П роведем

в

потоке в

определенный

момент времени

произвольную линию

•тока. Н ам етим

на

ней

некоторую

точку

1.

В округ

этой точки

в плоскости,

нормальной

линии

тока,

проведем

элем ентарны й

контур,

ограничиваю щ ий

площ адку

6о>і

настолько

малую ,

что

в

ее пределах скорость мож но

считать

•постоянной. Если теперь через все точки этого контура

в

рассм атриваем ы й

.момент времени провести линии тока, то они

образую т

трубчатую поверхность

тока — трубку тока. Ж идкость,

двигаю щ аяся

в трубке

тока,

назы вается эле-

.ментарной струйкой. Течение в

трубке

тока

является

одномерным,

так

как

вследствие

ее

малы х

поперечных

разм еров

скорость

меняется

только

вдоль

трубки тока.

П оскольку

поверхность

трубки

тока

образована

линиями

тока,

ж идкость

через

эту поверхность

перетекать

не мож ет. С ледовательно,

масса

ж идкости,

проходящ ая

за

единицу

времени

через лю бое поперечное сечение

элем ентарной

струйки

(массовый

расход),

остается

постоянной.

П оэтому

м ож но записать

уравнение

постоянства

расхода вдоль

элем ентарной

струйки:

рибш =

c o n st.

(19)

П роизведение

ибш =

б Q назы вается

объемным

расходом

элементарной

•струйки. Д л я

двух

сечений

элем ентарной

струйки

уравнение

постоянства рас ­

хода м ож ет быть записано:

Если ж идкость не сж им аемPiU|öco, =

р2и28(й2.

(20)

р2 и д л я

этого случая

а, то

рі =

t£l6ci}1=

ы2бсо2.

(21)

Ц елый

поток

ж идкости

всегда

имеет

тверды е

границы . Они либо

окру-

экаю т поток,

как например,

при

движ ении

ж идкости

в

трубах, либо находятся

внутри потока (при обтекании потоком тел).

Ц елый

поток

ж идкости

часто

является

трехмерны м . П редставив его со ­

стоящ им из

м нож ества

элем ентарны х

струек,

получим

струйную модель пото­

ка, упрощ аю щ ую

решение задач,

так

как

движ ение

в

каж дой

элементарной

■сечения в нем

проводятся так, чтобы пересекаю щ ие их линии

тока

были нор­

м альны к сечениям. Такие сечения

назы ваю тся

«живыми».

Ж и вое

сечение

будет плоским,

если линии тока в

этом

сечении

параллельны

одна

другой.

Ч асто непараллельиость линий

тока

оказы вается несущ ественной,

в этом

•случае ж ивы е

сечения м ож но с некоторым приближ ением считать

плоскими.

изменяю т его скорость, т.

е. от того,

как границы деформирую т поток.

М ож но

различать

(23]

потоки

слабо деф орм ированны е и сильно деф орм и ­

р о ван н ы е

(рис. 13). В слабо деформ ированном потоке «ж ивые» сечения я в ­

л я ю т с я практически

плоскими,

в

сильно деформ ированном — неплоскими.

ч етн о

скорость потока. Если линии

тока

на

некотором участке потока п ар ал ­

лельны

одна другой, это

означает,

что на данном участке

средняя

скорость

и распределение

скоростей

по сечениям

(эпюры скоростей)

остаю тся

неизмен­

ными. Н а

таком

участке

поток

оказы вается

равномерным (стабилизирован­

ным). Если

ж е на участке потока

линии тока

непараллельны

м еж ду собой, по­

потоке средняя скорость или распределение скоростей

по

длине не остаю тся

неизменными. Очевидно, неравномерный поток

м ож ет

быть

слабо

или

сильно

деф орм ированны м . С ходящ иеся и расходящ иеся

потоки

относятся

к

неравно­

мерным, так как по длине

их

изменяю тся н средняя скорость и распределение

скоростей

в сечениях.

В

практических

расчетах

часто

пользую тся

«моделью

средней

скорости

потока»

и

рассм атриваю т

лиш ь средние по сечению

скорости, т. е. действи­

тельны й

поток зам еняю т одномерным потоком. Т акая зам ена

требует введения

специальны х корректирую щ их

коэффициентов,

величины которых

могут

о к а ­

заться

м ало меняю щ имися

по всему полю течения [23].

Д иф ф еренциальное уравнение неразры вности. В ы делим

в потоке ж идкости

ф иксированны й объем пространства

в виде элем ентарного

параллелепипеда,

ребра

которого

diпараллельны оси

Оі (рис.

14). П лощ адь

грани

параллеле­

пипеда,

нормальной

к оси

/,

равна

dio. Если

скорость

потока

в направлении

•оси ів центре левой грани

(точка 1) равн а

«г,

то через

эту

грань

за

врем я dt

проходит масса

ж идкости, равн ая puidatdt.

2) из

З а

это

ж е

врем я через

правую грань (точка

элем ента вы йдет

масса

ж идкости,

равн ая

д

м еж ду

массами

посту-

piiidadt-ь -— (pui)didadt. Разность

ді

dt

пивш ей

в

параллелепипед

и

выш едш ей из

него

ж идкости

за

врем я

в на-

правлении

оси

і будет равна

д

Оі

м ож ет

быть

— - (pupdidadt. П оскольку ось

оі

(ОХ, 0Y или

0Z), то

лю бой

из

трех

осей

прямоугольной системы

координат

общ ее

накопление

массы в элементе

за счет

разницы масс,

поступивш их

и вы ­

ш едш их

за

врем я

dtчерез

все

грани

элем ента,

м ож ет

быть

записано

в

следу­

ю щ ем

виде:

д

(22)

- p - (p u i) didüidt.

Здесь

в

вы раж ении

(ри,) повторение индекса ібудет

означать

сумми­

рование по его значениям і= х,у,z.

Если

ж идкость

полностью заполняет выделенный

фиксированный

объем,

то наклопление

массы в нем м ож ет

происходить

только

за

счет

увеличения

плотности ж идкости в этом

объеме. П усть в начальный момент плотность ж и д ­

кости

в элементе равна р. З а время

dtплотность изменяется

и становится

рав-

др

ной р +

at dt.С ледовательно, изменение массы

ж идкости

в

элементе

за

счет

изменения ее плотности будет равно

др

(23)

— — dtdida.

И сходя из закона сохранения массы, мож но

утверж дать,

что если

в

ж и д ­

кости,

движ ущ ейся

через

выделенный

объем

пространства,

отсутствую т

пус­

тоты,

то

накопление

(22)

массы за

врем я dt в

элементе долж но быть

равно

ее изменению (23) за

то ж е время. И з этого условия находим:

dp

_â_

dt +

âi

(P«i) =

0.

1

dp

диI

У. г.

(24)

р

dt

ді

Это уравнение назы вается дифференциальны м

уравнением

неразрывности

(сплош ности).

Если

ж идкость

несж им аем ая

(р =

co n st),

то

уравнение

неразрывности

имеет вид:

йчх

диу

диг

dui

ді - = 0,

і =

X, у,г

или

дх 4* ■ ду - + ■dz ■= 0.

(25)

П оскольку

левая часть уравнения

(25)

представляет

собой дивергенцию

вектора скорости и,вы раж ение (25)

мож но

записать

и

в

векторной

форме:

div и= 0.

Д иф ф еренциальное

уравнение

неразрывности м ож ет

быть

получено так ж е

и в цилиндрической системе координат [41].

Д иф ф еренциальны е

уравнения движ ения

вязкой

ж идкости

в

напряж е­

ниях. Выделим

в потоке

вязкой

ж идкости

элем ентарны й

параллелепипед

с ребрами

dx, dy и

dz. Н а параллелепипед

действую т

объемные

н

поверхно­

стные силы. В общ ем случае поверхностные силы имеют не только

норм аль­

ные, но и

касательны е

составляю щ ие. Н а рис.

15 показаны

нормальны е и к а ­

сательны е

напряж ения,

действую щ ие

на

гранях

вы деленного

параллелепипеда.

И ндексация напряж ений

записы вается

по

следую щ ему

принципу:

первый

индекс есть

наим енование

оси,

нормальной

к

плоскости

действия

напряж ения, второй

индекс — наименование оси, вдоль которой

направлено

напряж ение.

Чтобы

получить

дифференциальны е уравнения движ ения вы ­

деленного

элем ента,

запиш ем д л я

него вто ­

рой закон

Н ью тона

в

проекциях

на вы бран ­

ные оси координат. Н айдем ,

например, сум ­

му

проекций

на

ось

ОХ сил, действую щ их

на

элемент: проекция

объемной

силы

axpdxdydz,

где а* — проекция ускорения объемных сил

на ось ОХ\ проекция результиру­

Рис. 15.К выводу дифференци-

.да

ющей поверхностных сил

а

а

ч

альных уравнении

двиокения

/

------—

_)-------1—

|- -----—

dxdydz\

жидкостивнапряжениях

\

дх

ду

дг }

dt

pdxdydz.

П риравнивая

сумму

проекции

объемных

и

поверхностных

сил

проекции

силы

инерции

и

сокращ ая

на

м ассу

элем ента

pdxdydz,

получаем диф ф ерен ­

циальное

уравнение

движ ения

в

напряж ениях

в

проекции

на ось Ох

. дахх

даух

да2

дих

дих

+

и■у

дих

+ uz

ди.

рох+

ах

+ •

ду

+ -

dz

П

+ их т

ду

oz

dt

дхдх

' y

Аналогично мож но получить и два

других

уравнения

движ ения

в

проек­

циях

на

оси OY и

OZ. О бщ ая

форма

записи уравнений

движ ения

в

н ап р я ­

ж ениях в проекции

на лю бую ось им еет вид:

да,-;

диі

ди;

(26)

р а г- + —

—

^Г~+ иі—

dj

dt

ді

где I — наименование

оси,

в проекции

иа

которую

рассм атривается уравнение

движ ения

(і = X,

у,

г);

/ — индекс,

принимаю щий при данном і последова­

тельно значения х, у и

г.

Н апомним,

что

повторение

в

отдельны х

членах

индекса /, означает суммирование по

этом у индексу.

В

уравнениях

(26) aj;

при / = г есть

норм альное напряж ение,

а

при

]фі — касательное

нап р яж е ­

ние. К ак

м ож но

видеть,

напряж енное состояние

элемента

вязкой

ж идкости

характеризуется

в

общ ем

случае

девятью

составляю щ ими,

образую щ ими

тензор

второго

ранга

В

гидроаэром еханике

доказы вается,

что

тензор

н ап р я ­

жении,

действую щ их

в

вязкой

ж идкости,

является

симметричным

тензором

[58]. Это

означает,

что действую щ ие на

двух

взаим но

перпендикулярных гр а ­

нях элемента

касательны е напряж ения,

нормальны е

к

ребру,

образуем ом у

пересечением этих граней, равны по

величине,

т. е.

аху= аух, аyz=

azy и

azx— 0 x2 .

Д иф ф еренциальны е

уравнения

движ ения

вязкой

ж идкости.

Н апряж ения

поверхностны х

сил,

действую щ их

на

гранях

вы деленного

параллелепипеда,

связаны со скоростями его деформации. Вследствие

того,

что

составляю щ ие

скорости неодинаковы, в угловы х точках параллелепипеда происходит

скаш и ­

вание

ребер

(рис. 16). Угловые

деформ ации

для

рассм атриваем ой грани для

ребра

0— 1 определяю тся

диц

а

для

ребра 0—2— величиной

величиной—- — dt,

дихду

дх

dt.П олная угловая деф орм ация

будет равна

дих

да,I

dt.

~ду - + ■дх

XOY,

С корость ж е

угловой

деформ ации

в

плоскости

перпендикулярной

оси 2 , определяется вы раж ением

дих

диу

Уг= -Иу

дх

Аналогично могут быть определены скорости деформ ации в двух других

плоскостях:

диу

диг

ди2

дих

Ух'-

дг ■"Ь ■ду

Уу=- И х

дг

К роме

угловой

деформации

наблю дается

такж е

линейная

деф орм ация

ребер

параллелепипеда,

обусловленная

различием скоростей в

угловы х точ­

ках параллелепипеда. Так,

например,

ребро

0— 1при

движ ении

в направлении

1

Тензор — более

общ ее понятие,

чем

вектор,

характеризуем ы й

тремя

составляю щ ими. С каляр

есть

тензор нулевого

ранга,

а

вектор — тензор

перво­

го ранга.

длины ребра

дих

равно—J^~dt, а скорость относительного удлинения в иаправле-

нии

оси

дих

.В

направлении

других осей скорости относитель-

ОХ равна е* = ■

ных

удлинений

дии

ди,

будут определяться вы раж ениям и ѣу -------- —

и ег = -

ду

дг

З а

счет удлинения

ребер

параллелепипеда происходит

изменение его о б ъ ­

ема. З а

время dtизменение объем а параллелепипеда

,,

( дих

ди„

ди,

\

dt.

dV=

[ -------- dxdydz+

—

dxdydz+ --------- dxdydz

]

\ дх

ду

дг

]

П оделив

изменение

объем а

на первоначальны й

объем

V=

dxdydz, полу­

чим относительное изменение объем а:

dV

— ( е .с + б д + Bz)dt.

у

С корость

ж е относительного изменения

объем а

параллелепипеда

1

dV

Bz = div гг.

е = —

- - ^ - = &.i- + si/ +

Согласно

гипотезе

Н ью тона, касательны е

напряж ения

в

ж идкости про­

порциональны скоростям

угловы х деформаций:

охв- о ух- Н

дих

дии

1

—

+ —

= 2руг;

Gyz — Gzy ~

И1

диу

диг

= 2р.уА-;

(27)

дг

~ду

&ZX~ ®xz“

М'

диг

дих

= 2р.уу .

дх

дг

образом , для определения секундного

количества движ ения

массы

ж идкости,

проходящ ей

через ж ивое

сечение потока,

необходимо

зн ать

распределение

скоростей

по

указанном у

сечению. О днако

часто

при решении задач распреде­

ление скоростей

в рассм атриваем ы х

сечениях

потока

заран ее

неизвестно.

П оэтому для

вычисления

секундного

количества

движ ения используется сред ­

няя по сечению скорость. Вычисленное по этой

скорости секундное количест­

во движ ения

ро2ы будет

несколько отличаться от пстинноіі

величины, равном

р ( u2dü>.

Это отличие

устраняется

введением

поправочного

коэффициента

со

do, представляю щ его собой отнош ение истинного количества

движ ения к

ко ­

личеству движ ения, подсчитанному по средней скорости, т. е.

J u2dw

a° = j L ^

r -

(3°)

Коэф фициент

сіо назы вается коэффициентом

количества

движ ения. В ели­

чина

этого коэфф ициента

зависит от

неравномерности

распределения скорос­

тей

по сечению потока: чем она выше, тем больш е значение

коэфф ициента

а 0.

В общ ем

случае

коэффициент cto изменяется по

длине

потока,

поэтому

для

дву х сечений потока он м ож ет быть различным.

Таким образом , для отсека целого потока

уравнение изменения количе­

ства движ ения запиш ется так:

I pu2d(0 —

I pu-d<a=Fs

(31)

Ct)j

ü)j

PQ (a 02ü2S

“ 0iy is )

= FS'

(32)

гд е cbs и

0 ] s — проекции на

ось

S векторов

средних

скоростей в

контрольных

сечениях

/ — 1и 2— 2потока.

П роекция

Fsрезультирую щ ей

силы

на

ось S равна сумме проекции на эту

ось внешних объемных и поверхностных сил,

действую щ их

на

выделенный

объем

потока

ж идкости. И з

объемных

сил

чаш е

всего действует лиш ь

сила

тяж ести

Fg. Поверхностны е

силы вклю чаю т

силу

Р, давления

в

сечении

1— 1,

силу Р2давления

в сечении 2— 2,а такж е

силы, обусловленные напряж ениям и

трения

F Tps

и нормальны ми

напряж ениям и

F „ s , прилож енными

со стороны

тверды х

поверхностей, ограничиваю щ их выделенный

объем

потока.

С умма проекций всех сил на ось 5

будет равна

Fs = Fg S + р Is + P 2S +

Fтр S +

Fn s ■

При

вычислении суммы

проекций

сил

знаки отдельны х

сил

определяю тся

в

зависимости от

вы бранного направления

оси 5. Если направление проекции

на

ось

S

рассм атриваем ой силы

совп адает

с

направлением

осп

S, проекция

этой силы считается полож ительной. Так,

если ось 5 направлена по течению,

т о

проекция

P IS

будет полож ительной, a

P2S и

F TpS — отрицательны ми.

В е­

личины

и знаки

проекций Fgs и

Fnsсущ ественно

зависят

от

ориентации

оси

6 . Так,

если

ось

5 горизонтальна, то

проекция силы тяж ести Fes на ось S

будет равна нулю. В ряде случаев проекции

Fgs и F TpS оказы ваю тся малыми

по сравнению с проекциями других сил и ими пренебрегаю т.

Силы давления в «ж ивых» сечениях потока в общем случае могут быть

определены так: