книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи

выражение для энергетического спектра имеет вид

пульсных случайных процессов приведены в [21], а также в разд. 7.4 данной работы.

Энергетические спектры последовательностей групп импульсов со случай­ ными интервалами следования групп и импульсов в группах. Рассмотрим теперь еще один класс импульсных случайных процессов, у которых отсутствует какаялибо периодичность следования импульсов или более сложных их формирований. К таким процессам можно, в частности, отнести последовательности групп им­ пульсов, у которых случайными являются как моменты возникновения групп, так и моменты возникновения импульсов в группах. Общие соотношения для энергетических спектров таких процессов могут быть получены из соотношения

Рис. 2.ІІ6. Реализация последовательности групп импульсов со случайными ин­ тервалами следования групп и импульсов в группах

і'В произвольной &-й реализации случайной последовательности групп непе­ рекрывающихся импульсов (см. рис. 2.16) разности моментов возникновения различных импульсов в одной и разных группах соответственно имеют вид:

»=?+l

80

ч=1

(2.155)

81

X — 1

9=1

(2.157)

Если корреляционными связями параметров групп и импульсов в группах можно пренебречь, то, учитывая взаимную независимость разнородных пара­ метров импульсов, соотношение (2Л57) легко преобразовать к виду

82

хѲіт ( - “) Ѳ1Т* ( - “)) < г‘ ( - “>)

где Ко, о(са)= j" x2 jg(wx) |2шІт (x)dx; а Q(Ü>), Qi(to)

о

ции Ѳ(ш) параметров импульсов и групп импульсов определяются соотношения­

2.4. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СПЕКТРЫ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ ИМПУЛЬСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ МАРКОВСКИХ ПАРАМЕТРАХ ИМПУЛЬСОВ

Энергетический спектр. Рассмотрим энергетические спектры им­ пульсных случайных процессов с детерминированными тактовыми интервалами при условии, что параметры импульсов изменяются в соответствии с' дискретными случайными последовательностями без последействия типа простых однородных транзитивных цепей Маркова.

Ограничимся рассмотрением импульсных случайных процессов, у которых вероятностные характеристики импульсов и их сово­ купности не зависят от номеров импульсов и зависят только от взаимного расположения импульсов в последовательности, причем корреляция имеет место только у однородных параметров импуль-

83

сов. Согласно (2.89) и (2.90) энергетический спектр импульсного случайного процесса с детерминированным тактовым интервалом в этом случае имеет вид:

7 — детерминированный тактовый сигнал; а и а2— соответственно среднее значение и дисперсия случайной амплитуды импульсов; RA — коэффициент корреляции п-го и /-го импульсов (А= п—/);

Со оо

мерная и двумерная плотности вероятностей длительностей им­ пульсов; Ѳ1ѵ(со), Ѳ2ѵ (со, —со, А )— одномерная и двумерная харак­

теристические функции смещений временного положения импуль­ сов относительно детерминированных тактовых точек.

-Из (2.160) следует, что если форма импульсов задана, то энер­ гетический спектр определяется статистическими характеристика­ ми изменений амплитуды, длительности и временного положения импульсов. Двумерная плотность .вероятности параметра, изменя­ ющегося в соответствии с цепью Маркова, имеет вид:

S=1 K=1

где Vs — априорная вероятность того, что в момент времени г) ве­ личина l(tj) принимает значение xs из счетного числа ее возмож­ ных значений, т. е. вероятность того, что £(^) на /-м шаге нахо­ дится ів s-м состоянии; pSK(А) — вероятность перехода |'(7) за А шагов из s-ro в /с-е состояние, I ^ S ^ SM, I S^ /C^ S M.

84

Если параметр последовательности изменяется в соответствии с простой однородной цепью Маркова, все элементы матрицы пере­ хода которой за А, шагов (Д і^ І) положительны, то значение Ѵя в (2.161) согласно предельной теореме ІЧаркова [20, 80] могут быть найдены по формуле

Величины pSK(A) и pKS(Ai) в (2.162) и (2.163) представляют собой элементы матриц перехода соответственно за А и Аі шагов и могут быть найдены в результате возведения матрицы переход­ ных вероятностей за один шаг соответственно в степени А и Аь

Согласно предельной теореме Маркова при А-»-оо, p SK(Д)-»-У11,

Соответственно двумерная и одномерная характеристические функ­ ции и коэффициент корреляции определяется соотношениями:

S—1

Заметим, что, как следует из (2.160)—1(2.167), при заданной форме импульсов и изменении их параметров в соответствии с дис­ кретными последовательностями типа простой цепи Маркова для

85

вычисления энергетического спектра импульсного случайного про­ цесса достаточно знать только матрицы вероятностей перехода мо­

дулирующих последовательностей за один шаг и значения воз­ можных состояний модулирующих цепей Маркова.

Приведем конкретные примеры энергетических спектров им­ пульсных случайных процессов с детерминированным тактовым интервалом, полагая, что в соответствии с дискретной цепью Мар­ кова изменяется только один из параметров импульсов, а именно амплитуда, длительность или временное положение.

В случае изменения только амплитуды импульсов выражение для энергетического спектра импульсного случайного процесса со­ гласно (2.160), (2.161) и (2.167) может быть записано так:

Пусть, например, цепь Маркова задана следующей матрицей вероятностей переходов из состояния в состояние за один шаг:

1 1 0

22

иизвестно также, что

Для оценки величин Vs и р$к(А) возведем матрицу (2.169) в степень А и при достаточно большом значении А найдем значения

8 6

Ѵ8. Производя расчеты с точностью до четвертого знака после за­ пятой, для рассматриваемого примера, получим:

Из (2.170) видно, что с точностью до четвертого знака после

Далее, по найденным Vs и PS]K(А) определяются значения ко­ эффициента корреляции R A и по ф-ле (2.168) вычисляется энерге­ тический спектр. Результаты расчета энергетического спектра для рассматриваемого примера приведены на рис. 2.17 (кривая 1). На рис. 2.17 для сравнения представлен энергетический спектр им­ пульсного случайного процесса при модуляции амплитуды импуль­ сов дискретной некоррелированной последовательностью, для ко­ торой RA = 0 при любом А ^ І (кривая 2). При расчетах принято, что все импульсы имеют прямоугольную форму, т. е. что

87

В случае изменения в соответствии с простой однородной цепью Маркова временного положения импульсов, имеющих постоянную амплитуду ао, и длительность то, выражение для энергетического спектра согласно (2.160) (2.161) и (2.165) принимает вид:

Результаты численной оценки непрерывной части и дискретных

.88

FH(u)T ГдМТ1

7f2

LЬrn

Результаты численной оценки непрерывной и дискретной частей энергетического спектра для матрицы переходных вероятностей за

g'(cox) = —— — , представлены на рис. 2.19. Графики 2 на этих2

2

рисунках соответствуют случаю изменения длительности импульсов в соответствии с дискретной некоррелированной последовательно­ стью с той же одномерной плотностью вероятности длительности импульсов.

89