книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи

Из сравнения графиков, представленных на рис. 2.17—2.19, вид­ но, что корреляционные связи, обусловленные изменением пара­ метров импульсов даже в соответствии с последовательностями без последействия (с простыми цепями Маркова), настолько сущест­ венны, что заметно изменяют характер непрерывных частей энер­ гетических спектров по сравнению с тем случаем, когда парамет­ ры импульсов изменяются в соответствии с дискретными некорре­ лированными последовательностями.

С другой стороны графики, приведенные на рис. 2.18—2.19, еще раз иллюстрируют тот факт, что корреляционные связи парамет­ ров импульсов не изменяют дискретных составляющих спектра.

Корреляционная функция марковской последовательности им­ пульсов. Последовательность импульсов, амплитуды которых из­ меняются в соответствии с некоторой цепью Маркова, часто назы­ вают марковской импульсной последовательностью. Выражение корреляционной функции В*{т) такой последовательности можно получить, выполнив обратное преобразование Фурье от (2.168). В результате легко показать, что при одинаковой форме импуль­ сов, постоянной и равной то их длительности и детерминированно­ сти тактового интервала следования импульсов

90

при любых целых А, включая нуль.

Соответственно для прямоугольных импульсов вместо соотно­ шений (2.173) и (2.174) можно записать:

ных импульсов приведены на рис. 2.20.

Пусть теперь цепь Маркова характеризуется только двумя со­

и матрицей вероятностей переходов из состояния в состояние за один шаг (тактовый интервал)

91

в результате решения которой

так что соотношение для апериодической и периодической частей корреляционной функции марковской последовательности импуль-

Рис. 2.20. Корреляционная функция случайной последовательности прямоуголь­ ных импульсов, амплитуды которых принимают значения X i = — іі, Хг=0, х3=1 в

соответствии с простой цепью Маркова, при различных значениях То/Г

сов, амплитуда которых принимает только два значения «0» и «1», можно записать в виде

92

Зависимость В*А (т) от р ц ( А ) = р 0о(А) при 1/і=1/2 и т0/7’=1/4 представлена на рис. 2.21.

Рис. 2.21. Апериодическая часть корреляционной функции марковской последо­ вательности импульсов

2.5. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСНЫХ РАДИОСИГНАЛОВ

Общие соотношения для энергетических спектров случайных последовательностей групп радиоимпульсов. Приведенные выше общие соотношения для энергетических характеристик различных импульсных случайных процессов справедливы для последова­ тельностей видеоимпульсов, радиоимпульсов и импульсов более сложной формы, высокочастотное заполнение которых не является гармоническим.

Оценка энергетических характеристик последовательностей ра­ диоимпульсов сопряжена с некоторыми особенностями, рассмотре­ ние которых представляет значительный интерес с учетом группо­ вой структуры.

Рассмотрим k-jio реализацию импульсного случайного процес­ са, представляющего случайную последовательность групп радио­ импульсов:

(2.191)

93

Заметим, что спектральная плотность r-го радиоимпульса п-й группы k-H реализации имеет вид

со

— со

(2.192)

(2.193)

Предположим, что рассматриваемая последовательность групп импульсов однородна, т. е. что вероятностные характеристики всех параметров импульсов групп не зависят от номеров групп и мо­ гут зависеть только от разности этих номеров. Допустим также, что случайные величины, характеризующие число импульсов в раз­ ных группах, взаимно независимы. Выполнив преобразование Фурье функции, описывающей k-ю усеченную реализацию процес­ са, представляющую собой 2N +1 групп импульсов, усреднив помножеству реализаций квадрат модуля спектральной плотности и устремив N к бесконечности, получим энергетический спектр в виде:

где

94

/(3'*) (®) = Sn.r (ю + < ? ) g„-A,q (® — ®^Д,q) exp { — І [((0 + <o$) X

И = ^п.л (® + < } ) S„_A., (® + <Ä ,<)exp{ - i[(©+ ©<£)) X

Х ^ - ( « + С м ) ^ д „ 1 } ,

Ф0'*’ ==exp { i (ф„*гФп-д, 9)}, 0 (2 fe) =exp{i (Ф^>+ ф<!1д,9)} ,

Приведенное соотношение справедливо не только для последо­ вательностей радиоимпульсов, но и для последовательностей чере­ дующихся радио- и видеоимпульсов. Кроме того, если й „, г = 0 и Фп, г= 0 при любых п, г, то соотношение (2.194) сводится к при­ веденному ранее соотношению (2.50) и характеризует энергетиче­ ский спектр случайной последовательности групп видеоимпульсов.

В часто встречающихся в практике случаях частота заполне­ ния импульсов радиосигналов значительно больше длительности импульсов. В этих случаях соотношение (2.194) для оценки энер­

щении о независимости амплитуды от остальных параметров им­ пульсов можно преобразовать к виду

95

2N

Заметим, что приведенные соотношения могут быть обобщены на случай последовательностей комплексов групп импульсов і[47]. С другой стороны при Р(х = х=1) = 1 и Р(%Ф1) =0 соотношения (2.194), (2.195) характеризуют энергетический спектр статистиче­ ски однородных последовательностей радиоимпульсов.

Энергетические спектры последовательностей групп радиоим­ пульсов с детерминированными тактовыми интервалами. Из при­ веденных выше общих соотношений нетрудно получить соотноше­ ния для конкретных последовательностей групп радиоимпульсов, полагая максимальный период высокочастотного заполнения ра­ диоимпульсов много меньшим их минимальной длительности.

Рассмотрим, например, случай последовательности групп, со­ стоящих из m импульсов с детерминированными интервалами сле­ дования групп и импульсов в группах. В рассматриваемом случае

(2.196)

При независимости разнородных параметров импульсов с уче­ том (2.196), из (2.195) получаем

(2.197)

где

/л

Д,r,q

Ѳ2ф.О?(1’ _ 1 > =

В частных случаях, когда случайным является какой-либо один из параметров импульсов, соотношение (2.197) упрощается.

96

Если случайна только амплитуда радиоимпульсов, причем

Если форма и амплитуды радиоимпульсов детерминированы, а случайными являются только изменения временного положения относительно детерминированных тактовых точек, то

и из (2.197) с учетом (2.201) получим следующее соотношение для энергетического спектра:

получим спектр последовательности групп радиоимпульсов со слу­

98

дискретные составляющие спектра.

Из сопоставления соотношений (2.202) и (2.97), (2.204) и (2.104) — (2.106), (2.206) и (2.107) — (2.109) соответственно нетруд­ но заключить, что форма как непрерывной, так и дискретной ча­ стей энергетического спектра последовательности групп радиоим­ пульсов со случайно изменяющимися амплитудой, временным по­ ложением и длительностью повторяет в несколько измененном мас­ штабе и с учетом сдвига на соо форму энергетического спектра ана­ логичных последовательностей групп видеоимпульсов. Рассмотрим случайные изменения параметров высокочастотного заполнения импульсов. Если случайной является начальная фаза заполнения радиоимпульсов, а остальные параметры импульсов детерминиро­ ваны, то

в связи с чем /д q(ю) = tg | g [(со — co0) r0] |2 e“ 1(“~“o) (r~q) тX

—i (и—co0)AT

X e

Согласно (2.197) — (2.199) энергетический спектр последова­ тельности групп радиоимпульсов со случайной начальной фазой высокочастотного заполнения имеет вид

/•=1 q=1