книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи

Г л а в а 1

Импульсные случайные процессы

1.1. СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ И ИМПУЛЬСНЫЙ ПРОЦЕСС

Моделями 'разнообразных физических явлений в радиотехнике, электросвязи и во многих других областях служат ищтульсные случайные процессы.

Случайный процесс представляет собой произвольную случай­

10

называется дискретной. Характер реализаций непрерывной и дискретной случайных последовательностей иллюстрируется на рис. 1.1а, б.

Очевидно, что реализации этих случайных последовательностей можно рассматривать как последовательности бесконечно узких импульсов, характеризуемых двумя параметрами: временным по­

ложением и амплитудой. В любой &-й реализации случайной по­ следовательности временное положение импульсов соответствует дискретным значениям аргумента, а амплитуда — самим значе­ ниям функции £(й)(/).

Рассмотренные случайные последовательности далеко не исчерпыівают обширный класс процессов, которые .представляют со­ бой последовательности импульсов со случайно изменяющимися параметрами и которые принято называть импульсными случай­ ными процессами. Однако, прежде, чем точно определить, что бу­ дем понимать под импульсным случайным процессом, приведем еще ряд примеров.

Рассмотрим совокупность реализаций, состоящих из импульсов конечной длительности, каждый из которых характеризуется не только положением во времени и амплитудой, но также и некоторой функ­ цией, заданной на отрезке времени, равном длитель­ ности импульса, и описы­ вающей его форму. Воз­ можные реализации про­ цессов такого типа пока­ заны на рис. 1.2.

Существует, вообще говоря, бесконечное мно­ жество процессов, реали­ зации которых можно представить как последо­ вательности импульсов конечной длительности, сколь бы сложными фун­ кциями не описывалась их форма. Разумными ограничениями, которые, по-видимому, следует на­ ложить на функции, опи­ сывающие форму импуль­ сов, являются условия Дирихле {112]. Примени­

тельно к импульсным процессам, используемым в качестве моде­ лей реальных процессов систем электросвязи 'введение этих огра­ ничений совершенно не умаляет общности, так как форма импуль­

11

сов реальных процессов практическій всегда удовлетворяет усло­ виям Дирихле. Б то же время введение этих ограничений сущест­ венно упрощает разработку общей спектральной теории импульс­

ных процессов.

Конечность длительности импульсов реализаций вовсе не яв­

ляется необходимым условием того, чтобы случайный процесс можно было считать импульсным. Совокупности реализаций слу­ чайных последовательностей импульсов бесконечной длительности

также обычно относят к импульсным случайным процессам, хотя при бесконечной длительности импульсов реализации таких про­ цессов чаще всего представляют собой непрерывные функции вре­ мени, как это видно, в частности, из рис. 1.3. Уместны ограниче-

Рис. 1.3. Реализация случайной последовательности импульсов неограниченной длительности:

а) различной формы; б) одинаковой формы

ния функций, описывающих форму импульсов бесконечной дли­ тельности, заключающиеся в том, что условия Дирихле выпол­ няются на любом конечном интервале, и эти функции абсолютно интегрируемы в бесконечных пределах. Известно [112], что прч этих условиях функции, описывающие форму импульсов можно представить их интегралами Фурье. Эти ограничения в случае реальных импульсных процессов легко выполнимы и в то же время существенно упрощают спектральный анализ процессов.

Любой из рассмотренных выше случайных процессов импульс­ ного характера можно записать в виде

п^=—оо

12

Пде £,n(it—tn) — случайная функция, характеризующая п-й импульс процесса.

Для случайной последовательности бесконечно узких импульсов

П = — 00

При детерминированности одного из параметров соотношение (1.3) описывает последовательность бесконечно узких импульсов со случайной амплитудой (при детерминированности значений tn) либо со случайным временным положением (при детерминирован­

ности %п). Если же детерминированы оба указанных значения, то имеем детерминированную последовательность бесконечно узких импульсов.

В случае последовательности импульсов конечной длительности (причем сама длительность может быть случайной величиной) для любой к -й реализации справедливо:

Лк )

вk-и реализации; хп — длительность «-го импульса.

Интервал, на котором определяется функция ип t tn зави­

сит от того, как выбираются моменты времени tn. Если tn харак­

теризует момент возникновения (Начало) «-то импульса, то

ц _'tп\

определена в интервале (0,1), а при отождествлении

в интервале (—1/2, 1/2).

Для случайной последовательности импульсов, длительность которых бесконечна, а форма различна, k-ю реализацию можно представить в виде

где t,(nk)(t—1 ^ ) — k-я реализация «-го импульса последователь­ ности.

П

Моменты времени tn, характеризующие временные положения импульсов, чаще всего отождествляют с моментами их возникно­ вения. Однако это не всегда возможно, так как в некоторых слу­ чаях имеет смысл рассматривать процессы, представляющие со­ бой последовательности импульсов, начала которых соответствуют —со. В этих случаях за tn можно принимать моменты времени, соответствующие каким-либо характерным точкам импульсов (ам­ плитуде, среднему значению функции, описывающей импульс, и т. и.).

Естественным практически важным обобщением рассмотренных процессов являются случайные последовательности групп импуль­ сов. В таких процессах случайными могут быть как параметры импульсов групп и их форма, так и количество импульсов в каж­ дой труппе.

Случайная последовательность групп импульсов определяется

случае случайная величина—количество импульсов в любой п-й группе.

амплитуды и временного положения r-го импульса п-й группы k-ü реализации; х{пк) — количество импульсов в п-й труппе k-й реали­

зации;

к;;p-о

Пример реализации случайной последовательности групп им­ пульсов приведен на рис. 1.4.

Рис. і1.4. Реализация случайной 'последовательности трупп импульсов

14

Дальнейшим обобщением являются случайные последователь­

ности комплексов групп импульсов. При этом в наиболее общем случае можно считать случайными все параметры импульсов групп,

а также количество импульсов в группе и число групп в комплек­ сах. Общее соотношение для случайного процесса, представляю­ щего собой случайную последовательность комплексов пру,пн им­ пульсов, имеет вид

( 1.8)

г=і 1

где t,n,i,r('t—tn,i,r) — случайная функция, описывающая r-й им­ пульс 1-й группы я-го комплекса; tn,i,r—случайная величина, ха­ рактеризующая временное положение r-то импульса, 1-й группы я-го комплекса; % и Т — случайные величины количества импуль­ сов в группе и числа групп в комплексе соответственно.

Для k -й реализации случайной последовательности комплексов групп импульсов можно записать

ветственно количество групп в я-м комплексе и количество им­ пульсов в 1-й группе k-й реализации;

Приведенные примеры позволяют дать следующее определение импульсного случайного процесса: Импульсным случайным процес­ сом называется процесс, представляющий собой последователь­ ность импульсов или групп импульсов (также комплексов групп, а возможно и более сложных формирований импульсов), парамет­ ры которых являются случайными величинами, а функции, описы­ вающие в общем случае различную форму импульсов последова­ тельности, удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости.

В данном определении из принятых ранее ограничений на функции, описывающие форму импульсов, оставлено только усло­ вие их абсолютной интегрируемости, поскольку в общем случае только это условие является необходимым, чтобы процесс можно 'было считать импульсным.

15

Однако в ряде случаев целесообразно, чтобы функции, описы­ вающие форму импульсов, удовлетворяли еще некоторым усло­ виям, не являющимся, вообще говоря, необходимыми. В частно­ сти, далее везде будем считать, что функции, описывающие форму импульсов в импульсных случайных процессах, наряду с условием

абсолютной интегрируемости, удовлетворяют еще и условиям Ди­ рихле на любом конечном интервале времени.

■Как и всякий случайный процесс, импульсный случайный про­ цесс можно характеризовать многомерными, в общем случае за­ висимыми от времени функциями распределения, характеристи­ ческими и моментными функциями.

Часто изменения импульсов можно свести к случайным изме­ нениям их параметров, тогда случайный процесс можно также до­ вольно полно описать вероятностными характеристиками парамет­ ров импульсов. Это обстоятельство весьма важно, так как описа­ ние импульсных случайных процессов при помощи общих харак­ теристик оказывается часто менее удобным, чем описание этих процессов посредством (вероятностных характеристик их пара­ метров.

Для п-імеріных плотности вероятности, интегральной функции распределения и характеристической функции какого-либо пара­ метра введем обозначения: wnn (хь х2, ..., xn), Fnn (хь х2, . •., хп),

связанные соотношениями, аналогичными ,(1.10) — (1.13). Значительный интерес представляют также числовые характе­

16

со случайным, в общем случае, числом импульсов в группах за­ дана в виде

число импульсов в п-й группе.

Такая последовательность может быть описана совокупностью вероятностных характеристик параметров шяпульсоз групп, и ве­ роятностными характеристиками случайной величины ХпОбозна­ чим функции распределения и другие статистические характеристи­ ки какого-либо параметра г-х импульсов групп, аналогично приве­ денным выше, заменив в них только индексы пП на пП, г.

Наиболее употребительны одномерные и двумерные характе­ ристики параметров. Приведем основные соотношения для некото­ рых из них. Одномерная и двумерая интегральные функции рас­

условии существования производных от этих функций, можно по­ лупить соответственно одномерную и двумерную плотности ве­ роятности:

18

Одномерная и двумерная характеристические функции опреде­ ляются так:

и, характеристическая функция связаны ів соответствии е ф-лами

Среднее значение и дисперсия (^первый начальный и второй центральный моменты распределения вероятностей) случайного параметра согласно ф-лам (1.14) и (1.16) определяются соотно­ шениями:

00

Ші(Пг) = м{Пг} = j xwm r {x)dx\ (1.33) —оо

Смешанные начальный и центральный моменты второго поряд­ ка какого-либо параметра г-х импульсов я-й и /-й групп также легко определить согласно ф-лам (1.14) и (1.16):

ти Л ПпУ> Пи ) = ы { П ПгГ я . г} =

19