книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи

па последовательности групп импульсов для корреляционной функ­ ции процесса на выходе инерционной системы с импульсной ха­ рактеристикой h(i), на основании (3.12) и (2.39) можно записать

t /+ X

t + т) = J J h (цг) h (t/2) B^{t — vx,t T — o2) dvxdvz =

о0

t t-\-T со oo со oo

соотношение (3.15) окончательно представим в виде

Формулы (3.14) и (3.17) определяют корреляционную функцию процесса §((), являющегося реакцией линейного фильтра на воз­ действие импульсного случайного процесса типа последовательно­ сти групп импульсов. Для случайной последовательности отдель­

н о

ных импульсов '(3.14) упірощается. Найдем, например, реакцию /?С-фильтра с характеристиками:

h(t) = ссехр(— at),

5 (,,=

п = —со

реализации которого представляют собой последовательности им­ пульсов конечной случайной длительности хп, имеющих случай­

а случайная величина длительности импульсов равна интервалу между моментами их возникновения xn = tn+i— tn, т. е. импульсы следуют вплотную друг за другом. Тогда распределение вероятно­ стей случайной величины хп однозначно определяется распределе­ нием разности случайных величин tn и tn+1 и согласно правилам

функциональных преобразований распределений [53] равно;

се

В частном случае пуассоновского стационарного процесса, когда функция распределения случайных моментов возникновения им­ пульсов задается формулой Wu(x)dx=fid4, случайные интервалы между импульсами, а значит и длительности их распределены по экспоненциальному закону:

рактеристики случайных амплитуд импульсов заданы функцией

пульса. іКроме того положим, что случайные амплитуды импульсов и моменты их возникновения взаимно независимы.

а|при п ф /.

11!

При экспоненциальном распределении вероятностей случайных длительностей импульсов корреляционная функция процесса на входе системы будет иметь вид

Для простоты положим —0, тогда

В6(т)= о * е-р|х'>

2ß2o|

(3.23а)

Л И “ ß2 + Cü2

Корреляционная функция процесса t,(t) на выходе /?С-фильтра согласно (3.14)

и произведем интегрирование сначала по переменной ѵь а затем по Ü2- После интегрирования и ряда алгебраических преобразова­ ний, получим формулу для корреляционной функции процесса t,(t) на выходе ^С-фильтра:

Соотношение (3.25) показывает, что корреляционная функция процесса на выходе /?С-фильтра зависит как от взаимного распо­ ложения разности моментов tt и к (т. е. абсолютного значения раз­ ности |^і—к\), так и от положения этих моментов по отношению

112

и выходе системы при —>-0 совпадают. Это обстоятельство объ-.

а

яс'няется тем, что при малой инерционности £?С-цепи напряжение на ее выходе успевает следовать за изменениями входного воз­

действия.

Положим теперь a<Cß- В этом случае память системы значи­ тельно превосходит длительность корреляционных связей входно­ го импульсного случайного процесса. Выражения для корреля­ ционной функции и дисперсии процесса на выходе і?С-цепи при­ мут вид:

Энергетический спектр процесса t(t) на входе системы в этом слу­ чае много шире полосы пропускания, а спектральное распределе­

ся суммой очень большо­ го числа реакций на предшествующие воздействия. Следовательно, инерционные линейные системы обладают сглаживающими свойст­ вами. Особенно сильно сглаживающие свойства инерционных СИ- стем проявляются у узкополосных линейных фильтров.

114

3.3. ВОЗДЕЙСТВИЕ ИМПУЛЬСНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НА УЗКОПОЛОСНУЮ СИСТЕМУ

Узкополосной системой принято называть линейную инерцион­ ную систему, частотная характеристика которой имеет резко вы­ раженную область резонанса в окрестности некоторой фиксирован­ ной частоты юр. Диапазон частот, в котором наиболее отчетливо проявляются резонансные свойства системы, называется полосой пропускания Аюп . Количественно за ширину полосы пропускания

принимают величину

или, в инженерной практике, диапазон частот между значениями частоты, при которых затухание системы не превышает 3 дБ по отношению к минимальному затуханию, принимаемому за 0 дБ. Для узкополосной системы <ор>>Дюп . Импульсная характеристика

узкополосной системы также имеет ряд особенностей (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Импульсные и частотные характеристики:

а) одиночного колебательного контура; б) идеального фильтра

Учитывая резонансные свойства узкополосной системы, ее им­ пульсную характеристику представим в виде

115

где hi (t) =h0exp i фі((),

для импульсной характеристики узкополосной системы получим

где косинусная hc(t) и синусная hs(t) составляющие определяют­ ся ф-лами (3.34) и (3.35) соответственно, а

116

симметрична относительно, резонансной частоты шр, импульсная характеристика системы имеет вид:

так как три этом hs(t)= 0 и, следовательно, ф(^)=0.

Рассмотрим теперь воздействие на узкополосную избирательную систему импульсного случайного процесса типа последовательно­ сти групп импульсов (1.18). Вероятностные характеристики слу­ чайных параметров импульсов и групп импульсов задаются, как и прежде, средним значением, дисперсией и коэффициентами кор­ реляции амплитуд, двумерной функцией распределения вероятно­ стей длительности, двумерной характеристической функцией мо­ ментов возникновения импульсов.

Тогда, принимая за момент включения системы момент возник­ новения первого импульса нулевой группы и считая, что t доста­

Квадратурные составляющие t^(t) и t,s(t) гармонического коле­ бания (3.41) со случайными амплитудой io(t) и фазой y(t), опре­ деляемыми по ф-лам (3.42) и (3.43) соответственно, могут быть найдены из соотношений:

n—0 /■=!

117

Соотношения (3.44) — (3.46) определяют реакцию узкополосной линейной системы на воздействие импульсного случайного про­ цесса в самом общем случае. При решении конкретных задач, при­ нимая те или иные предположения относительно характеристик си­ стемы ,и воздействия, можно получить формулу для определения реакции в частных случаях.

Рассматривается воздействие случайной последовательности одиночных импульсов, форма которых одинакова и задана детер­ минированной функцией времени u(t), длительность импульсов по­ стоянна, а каждый n-й импульс k-я реализации процесса g(7) об­ разуется умножением u(t) на случайную величину gn и сдвигом по оси времени на интервал времени пТ + ѵп, где Т — период следо­ вания импульсов (детерминированная величина), а ѵп — случай­ ная величина, распределенная на интервале (—Т/2, 772. Тогда ре­ акция узкополосной системы с импульсной характеристикой (3.36) согласно соотношениям (3.44) — (3.46) примет вид:-

№ 0 = То £ l (kn) I gt (СОрТо) I cos [юр (пТ + ѵ ^ ) — ф„ (0 ]

¥ к) (Л = То Yi Qik) I St к^о) I sin [шр (nT + vjV) — cp„ (()].

n = 0

Если дополнительно к сделанным выше допущениям принять, что ф (7)=0 и длительность импульсов очень мала, т. е. u(i) = ö(t), тогда

n ~ 0

T. e. реакция определяется формулой, полученной для этого част­ ного случая в [70]. •

Другой частный случай, рассмотренный в |28], можно полу­ чить из (3.44), приняв равным нулю случайные смещения им­

118

квадратурные -составляющие реакции будут равны:

N

i ck}(t){ =ToA>e- “ * Щ)е - апТ [sin шр пТ Re,S (р) — cosп Т Jrn s (р)]

=T0ß0e~ а 1У е~ апТ [cos сор п Т Re S (р) -j- sin <в р п Т Jrn S (/>)]„

При получении этих соотношений принято во внимание, что

для одиночного колебательного контура h0(t) = B0e~at и <p(t) =

= —я/2.

Статистические характеристики случайных амплитуды и фазы процесса на выходе узкополосной системы можно определить по заданным статистическим характеристикам процесса %(t) на вхо­ де системы и соотношениям, приведенным в первом и втором па­ раграфах данной главы.

В принципе, придавая различные значения случайным парамет­ рам импульсов процесса на входе системы, можно найти и функ­ ции распределения случайных амплитуды и фазы процесса t(t). Однако решение такой задачи в общем виде слишком громоздко и без ЭВМ трудно выполнимо. Некоторые частные случаи будут рассмотрены в дальнейшем (см. напр. параграф 3.4).

Значительно проще определяются первые моментные функции процесса t,(t). Рассмотрим методику их определения.

Математическое ожидание процесса £,(0 на выходе линейной системы на основании общего соотношения (3.12) для узкополос­

119