книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи

Соотношения (3.49) и (3.50) можно преобразовать с учетом им­ пульсного характера воздействия:

N оо

Перейдем теперь к определению моментных функций второго порядка. Согласно (3.14) и (3.36) корреляционная функция слу­ чайного процесса t,(t) на выходе узкополосной системы

U+т

В, (t, t + x ) = B <.(t, t) = j j B^ (vt, D2) h0 (t — vj) h0 (t 4- X— oa) X

о0

120

После .преобразований можно представить это выражение в виде

t і+ Х —ѵ

0—и

—ü — z) Re [Aj (v) Aj (i> -f- г) ei top (2 i 4 - z ) — І (Op ( 2 / + T ) ] cfocfc

или, раскрывая ßg (А ^+т), можно записать

N N оо оо

S" ('’ T, = T S S S S p<z"=,‘' х' " Х) х

n=0 /=0 x=0 X=0

X X

О—а

121

Взаимно корреляционные функции квадратурных составляющих тоже могут быть найдены по той же методике. Так, для ßg Cs(t, х) получим

Г — 1 < 7 = 1

Средняя по множеству мощность процесса £(t) определится как значение корреляционной функции в совпадающие моменты времени, т. е.

122

где Bzc(t, 0), BiS(t, 0), Bs-cs(t, 0) и BQSc(t, 0) определяются ф-ла­ ми (3.54) — (3.63) при т = 0.

Дисперсия процесса t,(t) на выходе узкополосной линейной си­ стемы может быть выражена через вторые центральные моменты квадратурных составляющих:

M2 Cc{t) = Dc (t) = B. c(t, 0) — m\c(/)

M2c s (/) = Ds (t) = B . s(t, 0) — m2s (t)

ф-л (3.47) — (3.51).

Полученные в этом разделе формулы для математического ожи­ дания, авто- и взаимно корреляционных функций, средней мощ­

ности и дисперсии определяют статистические характеристики пе­ реходного режима узкополосной линейной системы при воздейст­ вии на нее нестационарного случайного процесса.

Известно [24], что для стационарности импульсного случайного процесса необходимо, чтобы статистические характеристики слу­ чайных параметров импульсов (групп импульсов), зависили толь­ ко от взаимного расположения импульсов (групп импульсов), но не зависили бы от самых этих номеров. Точнее говоря, при вы­ полнении этого условия стационарными будут только апериодиче­ ские процессы, а процессы с детерминированным тактовым интер­ валом будут циклостационарными, согласно классификации при­ нятой в данной работе.

Однако, если длительность импульсов во много раз больше пе­ риода их повторения, т. е. периода изменения моментных функ­ ций рассматриваемого нестационарного процесса, то амплитуда этих изменений будет ничтожно мала по сравнению со средним временным значением. Это означает, что импульсный случайный процесс с детерминированным тактовым интервалом и сильно пе­

123.

рекрывающимися импульсами практически стационарен (по край­ ней мере в широком смысле).

стационарности квадратурных составляющих отклика системы вы­ полняются для моментов времени отдаленных от момента вклю­ чения системы на время не меньше Тѵ. Тогда соотношения для оценки статистических характеристик процесса на выходе можно

вания импульсов процесса £(7).

При этом нестационарность случайного процесса g(0 оказыва­ ется обусловленной только переходным режимом самой линейной системы. Это видно, например, из соотношения для корреляцион­ ной функции процесса £(7). В предположении стационарности входного воздействия %(t)

С+т—V

<+т—о

о— V

Нетрудно показать [53], что второе слагаемое в выражении (3.67) в моменты времени отдаленные от момента включения не меньше, чем на Твкл^Тр, = л/Дсоп пренебрежимо мало, так как

внутренний интеграл его содержит быстроосциллирующую функ­ цию. Поэтому для достаточно больших значений времени авто- и

взаимно корреляционные функции процесса £(7) будут определять­ ся формулами:

со

(Д т) = B ,s(t, т) = I*F%(ю) Re [Г (і со, і)Т (і со, t + т)]

О

оо

cos (со —сор) т d со-----— ГF. (со) Jm [Т (і со, t) Т (і со, t -j- т)]

2п J 6

(3.68)

оо

О

124

Причем в совпадающие моменты времени взаимно корреляци­ онные функции равны нулю, т. е. значения квадратурных состав­ ляющих процесса t,(t) не коррелированьи

В установившемся режиме, соответствующем бесконечно отда­ ленному моменту включения системы, пределы интегрирования по времени (суммирования по N) распространяются до ± оо. В этом случае процесс t,(t) становится стационарным, и корреляционная функция его определяется известной формулой [53]:

Нетрудно показать, что для дисперсии процесса t,(t) и его квадратурных составляющих в установившемся режиме справед­ ливо соотношение:

где Fjii (со) — непрерывная часть энергетического спектра про­ цесса £(7). Конкретные примеры воздействия импульсного случай­ ного процесса на узкополосную линейную систему будут рассмот­ рены в параграфе 3.5.

3.4, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ МГНОВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ РЕАКЦИИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим воздействие на линейную систему с постоянными параметрами случайной последовательности б-импульсов вида

П = — со

оо

где £„■= J u(t) dt — случайная величина, пропорциональная пло-

—00

щади n-го импульса; б(t—tn) — смещенная на случайное время tn дельта-функция единичной площади.

125

Эта задача имеет самостоятельное прикладное значение, а кро­ ме того, к ней может быть сведено большинство задач о линейных преобразованиях импульсных случайных процессов с произволь­ ной, в том числе и случайной формой импульсов.

В самом деле, пусть форма импульса задается функцией u(t), а импульсная характеристика системы функцией h(t). Тогда, в соответствии с (3.5) реакция системы на воздействие импульса u(t) будет иметь вид

СО

иі (0 = j и (т) h (t — т) dr

— оо

Функции u(t) и Ui(t), в свою очередь, можно рассматривать как импульсные характеристики некоторых линейных систем, причем функция Ui ( t ) определяет характеристику приведенной линейной системы, образующейся при последовательном включении систем с импульсными характеристиками u(t) и h(t) (рис. 3.4). Переда-

t M(t)

Рис. 3.4. Реакция одиночного колебательного контура на .'воздействие случайной последовательности 6-импульсов:

а) воздействующий .сигнал; б) реакция на 1-й импульс; в) реакция «а 2-й им­ пульс; г) реакция на 3-й импульс; д) реакция на три импульса

точная функция приведенной системы, как легко показать, опре­ деляется перемножением передаточной функции исходной линейной системы и преобразованной по Лапласу функции u(t).

Очевидно, что предлагаемая методика легко распространяется и на задачи исследования преобразований импульсных случайных процессов в линейных системах со случайными параметрами.

Вероятностные характеристики процессов %(t) задаются, вооб­ ще говоря, бесконечномерным распределением совокупности слу­

126

чайных величин іп(п= 0, ±1, ±2, ±3, . . ± оо). Однако, что­ бы избежать бесконечной совокупности случайных величин, вы­ делим на оси времени интервал (О, Т) настолько большой по сравнению с длительностью h(t), средним периодом следования импульсов Ти и временем корреляции тк, чтобы можно было «е принимать во внимание импульсов, частично попавших в этот ин­

тервал.

.Пронумеруем N импульсов, попавших в интервал і(0, Т), числа­ ми натурального ряда, так что t\<h<tz< . . ,<tn- i < t N. Тогда ре­ акцию линейной системы на последовательность /Ѵ-импульсов в

Исчерпывающей характеристикой процесса \(t) является 2N- мерная функция распределения вероятностей параметров gn и tn

Ввиду того что t,(t) функционально связан с процессом £(7), пользуясь законами преобразования распределений вероятностей случайных величин при функциональных преобразованиях самих случайных величин, можно определить 2УѴ-мерную функцию рас­ пределения случайных параметров N импульсов процесса t,(t).

Из соотношения (3.75) следует, что процесс £|(0 ІВ каждый

Для определения функции распределения случайной величины t,(t*) необходимо знать вероятность события В, состоящего в том, что %(t*) находится в интервале (z, z + dz):

Это означает, что вероятность события В связана с вероятно­ стью суммы случайных величин Z,n(t*). Следует заметить, что слу­ чайные величины t,n(t*) связаны со случайными моментами воз­ никновения tn через промежуточные функции r\n= h(t*-—tn) (как правило, нелинейные). Поэтому для того, чтобы определись функ­

127

—oo — oo

асама функция распределения w K (z) определяется как обратное преобразование Фурье от Ѳк (со):

СО

или после изменения порядка интегрирования и введения много­ мерной 6 -функции

— оо

получим окончательное выражение для одномерной функции рас­ пределения вероятностей линейного преобразования импульсного случайного процесса в виде

Из соотношения (3.81) с очевидностью следует, что определение распределения вероятностей линейного преобразования импульсно­ го случайного процесса связано с громоздкими выкладками, в осо­ бенности сложна задача явного решения (3.81) при наличии ста­ тистических связей параметров импульсов на входе системы и про­ извольном виде импульсной характеристики h(t) линейной сис­ темы.

Решение поставленной задачи возможно только в некоторых простейших частных случаях или приближенными методами, ос­ нованными опять-таки на упрощающих предположениях относи­ тельно вероятностных характеристик входного случайного процес­ са и вида линейной системы.

128

Отметим, что соотношения (3.70) и (3.81) определяют условные характеристическую 'функцию и плотность вероятности линейного преобразования импульсного случайного процесса для произволь­ ного, но фиксированного числа импульсов N. Для определения бе­ зусловной плотности вероятностей необходимо дополнительное ус­ реднение по N, т. е.

N = О

Соотношения (3.82) и (3.83) показывают, что определение рас­ пределения вероятностей линейных преобразований импульсных случайных процессов связано с громоздкими выкладками, а при наличии статистических взаимосвязей параметров импульсов яв­ ные выражения для w K(x) или Ѳг (со) могут быть найдены только

численными методами (82, 107]. Для некоторых частных случаев, при упрощающих предположениях относительно вероятностных ха­ рактеристик параметров импульсов и вида h(t) (импульсной ха­ рактеристики линейной системы), задача решена в [107].

В качестве примера рассмотрим случай статистической неза­ висимости случайных амплитуды \ п и моментов возникновения tn импульсов процесса (3.74) на входе линейной системы. Плотность вероятностей случайной амплитуды n-го импульса задается функ­ цией w ^n(x), а плотность вероятностей временного положения «-го

импульса функцией wUn(x), причем

Интервал времени (О, Т) в (3.83) по-прежнему выбирается та­ ким, чтобы он значительно превосходил длительность функции h(t) и средний интервал между импульсами (средний период их сле­ дования) .

Допущение о статической независимости параметров ,и tn означает, что 2/7-мерная функция распределения вероятностей этих параметров является произведением одномерных функций при лю­ бом п, т. е. (3.76) ів этом случае примет вид

N

w2N(xi,..., XN, уъ ..., уп) = П wn n (xn)wun (yn)-

п= 1