книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи

Практически важным выводом, который следует из теоремы Ко­ тельникова в ее современном понимании, является принципиальная возможность передачи информации от непрерывных источников импульсными методами и целесообразность учета корреляционных связей при реализации аналогово-импульсных преобразований, со­ путствующих такой передаче.

Дискретизация непрерывных сигналов лежит в основе всех без

Аналогово-импульсное преобразование, включающие дискрети­ зацию и квантование, неизбежно ведет к возникновению ошибок при восстановлении переданных сигналов, даже в отсутствие по­ мех, поскольку обратное преобразование принципиально неодно­ значно.

С другой стороны, восстановление квантованного сигнала в ус­ ловиях шума, среднеквадратическое значение которого меньше ша­ га квантования, не приводит к существенным дополнительным ис­ кажениям исходного сигнала.

6.2. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИГНАЛОВ В ИМПУЛЬСНЫЕ

Аналогово-импульсный преобразователь как генератор импульс­ ного случайного процесса. Обратимся к рис. 6.2. Исходный непре­ рывный сигнал, поступающий от источника информации, перед дис­ кретизацией может быть предварительно подвергнут аналоговому преобразованию, в общем случае изменяющему статистические ха­ рактеристики преобразуемого сигнала. Далее непрерывный сигнал

210

подвергается дискретизации и на выходе дискретизатора образует­ ся последовательность отсчетов. Эти отсчеты сравниваются с по­ рогами квантования, в результате чего отсчеты принимают дис­ кретные значения. Процессу квантования в ряде случаев сопутст-

І_

Рис. 6.2. Структурная схема аіналогово-ямпульснаго преобразователя общего типа:

АП — аналоговый преобразователь; Д — дискретизатор; К — квантователь; КУ — кодирующее устройство; ФИ — формирователь импульсов.

вует кодирование, при котором каждому отсчету ставится в соот­ ветствие кодовая группа импульсов.

Формирователь импульсов (рис. 6.2) необходим потому, что сигнал на выходе аналогово-импульсного преобразователя пред­ ставляет собой случайную последовательность импульсов (групп импульсов) в общем случае различной формы.

Изменения параметров импульсов, а в некоторых случаях и их формы, определенным образом связаны с мгновенными значениями

ся амплитуда импульсов. При этом возможны две разновидности АИМ: 1-го рода и 2-го рода (АИМ-1 и АИМ-2).

При АИМ-1 импульсы, образующиеся в результате аналогово­ импульсного преобразования, наряду с амплитудой изменяют свою форму в соответствии с модулирующим сигналом (рис. 6.3а). При АИМ-2 изменения амплитуды импульсов не сопряжены с измене­ нием их формы (рис. 6.36).

Образующийся в результате амплитудно-импульсной модуля­ ции импульсный случайный процесс является последовательностью отдельных импульсов постоянной длительности то с детерминиро­ ванным тактовым интервалом Т. Форма п-го импульса k-й реали­ зации последовательности описывается функциями: при АИМ-1

211

п = — оо

определяются свойствами модулирующего сигнала gBi.(/)> причем в случае АИМ-1 эта взаимосвязь существенно сложнее, чем при АИМ-2. Покажем это на примере энергетических характеристик модулированного сигнала при АИМ-1 и АИМ-2.

Обратим внимание на то, что при АИМ-1 образование импульс­ ного случайного процесса можно рассматривать как результат пе­ ремножения модулирующего непрерывного процесса и детермини­ рованной последовательности импульсов единичной амплитуды. В связи с этим корреляционная функция процесса на выходе моду­ лятора АИМ равна произведению корреляционных функций 4) :

где ß |Bx (т) — корреляционная функция модулирующего сигнала.

Соответственно энергетический спектр сигнала при АИМ-1 мож­ но определить как свертку энергетического спектра модулирующе­ го процесса со спектром мощности периодической последователь­ ности прямоугольных импульсов:

оо со

T )

k= —оо

См. также параграф 7,2, в котором показано, что в общем 'Случае пере­ множения нескольких стационарных и одного нестационарного процесса корре­ ляционная функция результирующего процесса равна произведению корреля­ ционных функций перемножаемых процессов с учетом средней по времени кор­ реляционной функции нестационарного процесса. Энергетический спектр в этом случае определяется соотношением (7.33).

212

В случае АИМ-2 выходной сигнал (6.3) можно трактовать как; свертку дискретизированного входного сигнала с функцией, описы­ вающей форму импульсов, т. е.

] \ 2 Івх( п Т ) Ъ ( х - п Т ) и(і — x)dx =

—оо [_ п=— оо

=Y i Ъ Л п Т ) и ( і - п Т ) .

П= — со

Соответственно, корреляционные функции сигнала при АИМ-2:

ßE(f, T) = m1{gW(OI<«(<+T)} =

T_

—2

аэнергетический спектр может быть найден как преобразование Фурье усредненной корреляционной функции (6.7). Нетрудно ви­ деть, что в случае АИМ-2 (рис. 6.4) энергетический спектр моду­ лированного сигнала представляет собой спектр мощности после­ довательности импульсов постоянной длительности хо^Т, форма которых задана функцией u(t), а амплитуда изменяется в соответ­ ствии со значениями модулирующего сигнала в моменты отсче­

тов пТ:

=—оо

где

со

g (со т0) = J и (t) e ~ ' at dt,

, a = m1{V £ (n T )},

213:

Таким образом, в случае амплитудно-импульсной модуляции для оценки корреляционной функции и энергетического спектра моду­ лированного сигнала достаточно иметь сведения об энергетичес­ ких характеристиках входного сигнала и не обязательно знать функцию распределения вероятностей его мгновенных значений.

Рис. 6.4. Примерный вид корреляционной функции и энергетического спектра: а) входного непрерывного сигнала; б) выходного сигнала при ЛИМ-1; в) выход­ ного сигнала при АИМ-2

Время-импульсная модуляция (БИМ). Для время-импульсной модуляции (ВИМ) характерно изменение временного положения импульсов модулированного сигнала в соответствии с мгновенны­ ми значениями модулирующего сигнала. Образующийся в резуль­ тате импульсный случайный процесс описывается соотношением:

П = — СО

где ѵл = і\Іъх(пТ)].

Корреляционная функция и энергетический спектр процесса (6.9) в соответствии с общими результатами спектрально-корреля­ ционной теории, приведенными в гл. 2, определяются формулами:

214

Из (6.10) и (6.12) следует, что в отличие от амплитудно-им­ пульсной модуляции в случае ВИМ оценка энергетических харак­ теристик предполагает, вообще говоря, знание двумерного закона распределения вероятностей мгновенных значений модулирующего сигнала, а не только числовых характеристик этого закона.

Учитывая, однако, что в системах электросвязи период дискре­ тизации выбирается, как правило, примерно равным интервалу корреляции модулирующего сигнала, при оценке энергетических характеристик выходного сигнала допустимо ограничиться опреде­ лением одномерных функций распределения (одномерных характе­ ристических функций) и моментных функций низших порядков дву­ мерного распределения.

В самом деле, представляя w2v (xi, x2, tj t + т) в виде ряда по ортогональным полиномам (см. [53]), можно записать, что

215

то для учета слабой зависимости, имеющей место при периоде дис­ кретизации, примерно равном интервалу корреляции, в (6.13) и (6.14) можно ограничиться только первыми двумя, тремя слагае­ мыми. Например, считать, что все слагаемые, соответствующие r ^ 2 , 2, пренебрежимо малы. Тогда,

В табл. 6.1 приведены формулы для некоторых одномерных 'функций распределения. Там же приведены выражения для соот­ ветствующих характеристических функций.

216

218

Более широкие классы законов распределения вероятностей случайных процессов, используемых в качестве моделей реальных

пульсов определяется как распределением вероятностей мгновен­ ных значений модулирующего сигнала, так и видом функциональ­ ной связи этих величин, т. е. функцией ѵп=Щвх|я7’)]. ‘При ФИМ распределения на входе и выходе модулятора можно считать прак­ тически одинаковыми. В зависимости от вида функции распреде­ ления вероятностей мгновенных значений исходного модулирую­ щего сигнала различают двустороннюю ФИМ — законы распреде­ ления 1—7 в (табл. 6.1), или одностороннюю ФИМ — законы рас­ пределения 8—40 (табл. 6.1). Одностороннюю ФИМ можно, кроме того, получить путем предварительного аналогового преобразова­ ния исходного непрерывного сигнала. Примером такого преобра­ зования может служить формирование на входе дискретизатора (см. рис. 6.2) сигнала е вычтенной огибающей.

Одномерная функция распределения вероятностей временного положения импульсов, модулированных по положению нормальным

мального случайного процесса с нулевым средним значением), к —■ коэффициент пропорциональности.

Соответственно характеристическая функция

к = 0

219