книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи

Итак, соотношения (4.22), (4.23), совместно с (4.33) и (4.37), полностью определяют реакцию нелинейного элемента на воздей­ ствие случайной последовательности нѳперекірыівающихся им­ пульсов.

Формулам, (приведенным выше, (можно придать -несколько более общий вид, если увеличить до бесконечности интервал разложения в ряд Фурье. При этом ряд Фурье переходит в интеграл Фурье:

Соотношения (4.39) определяют комплексную свертку спек­ тральной плотности функции u(t). Спектральная плотность выход­

или как взвешенная сумма сверток спектральной плотности:

(4.40)

р=о

160

В заключение этого раздела отметим, что изложенная методика определения случайных амплитуды и формы импульсов нелиней­ ного преобразования последовательности неперекрывающихся импульсов достаточно легко может быть распространена на слу­ чайные 'последовательности перекрывающихся импульсов.

Преобразование функции распределения вероятностей длитель­ ности импульсов. В предыдущем параграфе было показано, что в результате прохождения импульсного случайного процесса через нелинейный элемент изменяется не только амплитуда, но и форма импульсов (а значит, и их спектральная плотность). Это означает, что нелинейное преобразование импульсного случайного процесса изменяет и длительность импульсов как один из параметров, опре­ деляющих их форму.

Длительность импульсов может быть определена множеством способов {25, 53, 86]. Практически наиболее широко используется определение длительности импульса как времени превышения функцией gW (t), описывающей форму импульса, некоторого за­

данного уровня (например, уровня, равного половине амплитуды), т. е. за длительность импульса принимается разность моментов времени между первым пересечением заданного уровня функцией g(ft)(7) (или un(t), что фактически равноценно) с положительной производной и последним пересечением этого же уровня с отри­ цательной производной. Наряду с приведенным определением до­ вольно часто длительность импульса определяется как ширина ос­ нования прямоугольника с площадью, равной площади импульса и высотой, равной его амплитуде, т. е.

00

Возможны, очевидно, и другие способы определения длительности импульса.

Закон преобразования длительности импульсов при воздейст­ вии импульсного случайного процесса на нелинейный элемент с заданной характеристикой f(x) может, по-видимому, оказаться различным при различных определениях длительности импульсов. В общем случае даже при очень простой функциональной связи процесса на выходе с процессом на входе £,(0—Ш(0] преобразо­ вание длительности найти оказывается весьма сложно. За исклю­ чением, конечно, тривиальных случаев, например, £(t)— Kl(t), где К •— постоянная величина.

Можно предположить, что в зависимости от способа определе­ ния длительности должна изменяться и методика определения за­ кона распределения ее вероятностей.

Следует отметить, что полученные ранее соотношения, связыва­ ющие амплитуду и форму импульсов процесса на выходе нелиней­ ного элемента с амплитудой и формой импульсов входного процес­ са, позволяют трактовать задачу определения изменений длитель-

«ости и ее статистических характеристик как задачу о функции рас­ пределения вероятностей длительности импульсов импульсного случайного процесса с известными статистическими свойствами прочих параметров (например, амплитуды, формы, временного по­ ложения) импульсов.

Заметим, еще, что при любом определении длительность им­ пульса можно трактовать как разность моментов времени двух ха­ рактерных точек функции %n(t) (или ип(і)), описывающей форму импульсов, т. е. фактически длительность импульса есть время пре­ бывания функции ^n(t) над некоторым уровнем Хо. Таким обра­ зом, задачу об определении функции распределения вероятностей длительности импульсов можно рассматривать как задачу о рас­ пределении вероятностей длительности выбросов случайной функ­ ции in(t) над заданным уровнем х0, причем уровень может быть одинаковым для всех импульсов или разным. В последнем случае

же, как и \(t), случайным процессом, в общем случае статистиче­ ски или функционально связанными с t).

Исследование статистических характеристик выбросов вообще и их длительности в частности — одна из актуальных задач совре­ менной теории случайных лроцеосов [53, 86, 104]. Рассмотрим более подробно возможности и особенности применения методики опре­ деления функции распределения вероятностей длительности выб­

Здесь 1п(0 — функция, описывающая форму п-го импульса в слу­ чайной последовательности неперекрывающихся импульсов. Мо­ мент времени to, очевидно, расположен на оси времени вблизи мо­ мента t n , так что без потери общности можно принять t o = t n -

Учитывая, что по определению функции %n(t)-*-0 при |f|-»-oo в некоторый момент времени ^о+тп(т„^ 0 ) функция \ n ( t ) снова пе­

Применим к процессу г\(t) нелинейное преобразование вида

00

(4.43)

Я

162

Функция (4.43) может принимать значения 1,0, —1 в соответвии с изменениями г\(t):

Проинтегрируем v(t) в пределах от нуля до Т. Интервал интег­ рирования выбирается несколько большим, чем хп, т. е. таким, что­ бы в пределах отрезка времени 0, Т функция %n(t) успевала пере­ сечь уровень A(t) снизу вверх и сверху вниз. Тогда

ния вероятностей при функциональном преобразовании случайных

Моменты распределения (4.49) определяются по известной ме­

тодике [53].

Учитывая специфические свойства импульсных случайных про­ цессов и, в частности, постепенное убывание функции \ n(t), опи­ сывающей форму п-го импульса, можно несколько иначе опреде­ лить функцию распределения вероятностей длительности импульса.

Для этого функцию vn(t), представляющую собой прямоуголь­ ный импульс единичной амплитуды и случайной длительности хп, представим рядом Фурье, «а интервале (0. Г0), причем Т0^ 2 х п-

Тогда

CO

где coo —2я/7 о.

Случайная фаза Ѳп свидетельствует о случайном характере из­ менения длительности импульса vn(t) при изменениях параметров

г|(7)>0, т. е. при положительных значениях амплитуды преобра­

не меняется при изменении полярности преобразуемого процесса

ц(і), то

164

С другой стороны, функциональная зависимость между Ѳи и ис­ комой случайной величиной хп имеет также довольно простой вид.

В самом деле, учитывая разложение vn(t) в ряд (4.50) и объе­ диняя (4.50) с (4.45), найдем

Для простоты функцию распределения (4.60) целесообразно представить в виде ряда по ортогональным полиномам. Причем, учитывая, что случайная величина тп может принимать только по­ ложительные значения, в качестве ортогональных полиномов ис­ пользуем полиномы Лягерра, интервал ортогональности которых охватывает всю положительную полуось, т. е. (0, сю). Тогда

где Г(Х) — гамма-функция [112].

165

Для коэффициентов ск разложения (4.61) получим

(4.63)

РП«

Учитывая формулы для первых полиномов Лягерра, приведен­ ные в [53] из (4.63) для низших коэффициентов разложения wu (X), получим

где а и р - произвольные постоянные, поэтому их можно выбрать так, чтобы сі = С2—0. Тогда

a = т у о \ — 1

(4.65)

ß = о\ІтХх

где ти и о* — математическое ожидание и дисперсия случайной

длительности тп.

В таком случае функция распределения случайной величины г« (4.63) примет вид:

(4.66)

r = 3

Моменты функции распределения (4.66) можно определить с учетом (4.60) в виде

166

ность импульсов, может быть задан не только как постоянная ве­ личина, но и как произвольная (в том числе случайная) функция времени. Из предыдущего рассмотрения .видно, что ограничения, накладываемые на r j ( 7 ) = g(7)—А состоят в том, что г\(і) должна быть дифференцируемой и иметь нуль на интервале (0, Т).

Если уровень A(t) является случайной функцией, допуская, что известна совместная плотность распределения вероятностей Шг(ё, А) для распределения вероятностей т] имеем

Таким образом, задача определения закона распределения ве­ роятностей длительности импульсов сводится к отысканию функ­ ции, обратной (4.46), или, если воспользоваться промежуточным случайным параметром Ѳп и представлением и.'1х (х) в виде ряда

(4.66), к определению моментов w lx(x) по ф-лам (4.67) или (4.67а).

4.3. СПЕКТРАЛЬНО-КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ИМПУЛЬСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Энергетические характеристики процесса на выходе нелинейно­ го элемента. Общее определение энергетических характеристик им­ пульсного случайного процесса, данное в гл. 2, позволяет для слу­ чая воздействия на безынерционный нелинейный элемент случай­ ной последовательности импульсов записать соотношения: .

167

корреляционная, усредненная корреляционная функции и энерге­ тический спектр процесса t,(t) н-а выходе нелинейного элемента, а Цк\ Д.(*) и /)*)- амплитуда, длительность и временное положение

г-го импульса k-й реализации процесса Z,(t).

Учитывая, что форма (функция v(t)] и статистические характе­ ристики случайных параметров импульсов процесса tj(t) при -воз­ действии на нелинейный элемент случайной последовательности неперекрывающихся импульсов могут быть найдены по методике предыдущего параграфа, и полагая для простоты разнородные па­

Причем при ограничениях характеристики y = f(x ) нелинейного элемента, принятых в параграфе 4.2, для первого смешанного мо­ мента случайных амплитуд п-го и /-го импульсов процесса t,(t) на основании ф-лы (4.25) получим

тг { £<*>} = 2 j \ b Kb i m i { f C T [&<*>]'}. (4.76)

к=0 l—О

Двумерная функция распределения вероятностей длительности ц-го и /-го импульсов процесса £(7) определится в рассматривае­

168

Относительно статистических характеристик временного поло­ жения импульсов процесса t,(t) с учетом безынерционности нели­ нейного элемента и отсутствия перекрытия импульсов воздейст­ вующего процесса \(t) можно считать, что

графе 4.2 методов.

Таким образом, энергетические характеристики безынерционно­ го нелинейного преобразования импульсных случайных процессов типа различных формирований неперекрывающихся импульсов могут быть достаточно просто1определены, если для всех случай­ ных параметров (включая и амплитуду) импульсов известны дву­ мерные функции распределения вероятностей их возможных зна­ чений.

В более общем случае, когда длительность импульсов преоб­ разуемого процесса \(t) неограничена или импульсы, возникаю­ щие в различные моменты времени, могут накладываться друг на друга для определения энергетических характеристик, целесооб­ разно воспользоваться представлением усеченных реализаций им­ пульсного случайного процесса в виде ряда (4.8), а не (4.4) или (4.5), как это делалось в предыдущем параграфе для случая им­ пульсов ограниченной длительности. При этом удобнее найти сна­ чала корреляционную функцию ßg (t, т) процесса t,(t) на выходе

нелинейного элемента, а затем, преобразуя по Фурье усредненную корреляционную функцию В* (т), определить и энергетический

спектр F (со) процесса £(7). Можно показать это на примере инерционного нелинейного преобразования.

В качестве примера инерционного нелинейного преобразования импульсного случайного процесса рассмотрим воздействие случайной последовательности им­ пульсов на типовое радиотехническое звено (рис. 4.4).

Преобразование импульсного случайного процесса в типовом радиотехниче­ ском звене [53] должно, по-івадимому, привести к некоторому сглаживанию флук­ туаций мгновенного значения процесса (см. параграфы 3.3 и 3.5), т. е. к уве­ личению длительности импульсов на выходе преобразующей системы, так что процесс на выходе инерционной нелинейной системы можно рассматривать как импульсный с перекрытием .импульсов.

Для простоты положим, что рассматриваемая нелинейная система полностью разделима и линейные фильтры на нелинейные системы рис. 4.4 можно опреде­ лять независимо от других.

Пусть на вход линейного фильтра I типового радиотехнического звена воз­ действует случайная последовательность импульсов ограниченной длительности, k-я реализация которой

(4.79)

169