книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи

Тогда в соответствии с (3.81) для функции распределения ве­ роятностей линейного преобразования импульсного случайного про­ цесса получим

Если распределение амплитуды импульсов и моментов их воз­ никновения одинаковы для всех п, соотношение (3.86) принимает вид.

Из (3.87), используя соотношение для 6-функции, прямым пре­ образованием Фурье легко получить характеристическую функцию ілучайного процесса t,(t):

ся характеристической функцией одного слагаемого в сумме (3.75), так что можно записать

Для усреднения характеристической функции (3.89) в соответ­ ствии с (3.83) необходимо знать распределение вероятностей Р(Х— Щ случайного числа импульсов, появляющихся в интервале времени (О, Т). Известно [53], что если вероятность появления лю­ бого^ по счету импульса в интервале времени (7, ^+Д^) не зависит от временного положения остальных импульсов и при Д/-ѵО убы­ вает быстрее, чем At, то вероятность появления к импульсов на интервале (t, t + T) определяется законом Пуассона:

и*

130

Очевидно, что последнее соотношение определяет интенсивность потока импульсов, т. е. среднее число импульсов в единицу време­ ни в момент времени t. С другой стороны среднее число импульсов

«- Е

и= 0

Расширяя интервал усечения (О, Т), после некоторых преобразо­ ваний получим окончательное соотношение для характеристической функции реакции линейного фильтра на воздействие импульсного случайного процесса:

Для определения плотности вероятности мгновенных значений реакции фильтра целесообразно представить In Ѳ1; (со, t) в виде

ряда. Тогда

после почленного интегрирования и перегруппировки можно полу­ чить ряд Эджворта [53]:

(3.102)

где

/ 2я (^)к

Для анализа более удобна иная, чем в (3.102), форма записи ря­ да Эджворта:

полиномы Эрмита [53], а 0(х) — остаток ряда.

132

Формула (ЗЛОЗ) показывает, что закон распределения вероят­ ностей мгновенных значений реакции линейной системы на воз­ действие импульсного случайного процесса в общем случае зави­ сит от времени и при определенных условиях может аппроксими­ роваться нормальным законом. Приемлемость такой аппроксима­ ции определяется соотношениями

133

будет представлять собой сумму затухающих синусоид (см. рис. 3.4) со случайной равномерно распределенной фазой. Тогда закон распределения вероятностей мгновенных значений каждого сла­ гаемого суммы ,(3.106) можно записать в виде

Условная характеристическая функция процесса на выходе филь­ тра определяется возведением ф-лы (3.106) в степень N. Если при­

Графики функций, определяемых ф-лами (3.109) и (3.110) для не­ которых значений N, представлены на рис. 3.6 и 3.7 соответствен­ но. Рисунки показывают, что уже при N — 5 закон распределения вероятностей Z,(t) близок к нормальному.

В более общем случае нормальным законом распределения можно пользоваться, если время затухания реакции системы оп­ ределяемое ф-лой (3.4) значительно превышает интенсивность по­ тока импульсов, т. е. тп ^>Ти, Т и — средний период следования

импульсов.

Следует отметить, что характер распределения вероятностей линейного преобразования импульсьіого случайного процесса силь­ но зависит от распределения импульсов на временной оси и ста­

тистической взаимосвязи моментов их возникновения даже в слу­ чаях, когда тп Э>7'н . Если же это условие не выполняется, то на

закон распределения вероятностей реакции системы оказывает влияние и форма воздействующих импульсов и вид импульсной ха­

134

рактеристики ее. В частности, при тП/Ги -»-О, распределение веро­

ятностей процесса на выходе системы совпадает с распределением вероятностей мгновенных значений воздействующего процесса.

<г

Рис. 3.6. Характеристическая функция случайного процесса .на выходе одиноч­ ного колебательного контура

Рис. 3.7. Функция распределения вероятностей процесса на выходе одиночного колебательного контура

3.5. СГЛАЖИВАНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

Вводные замечания. Очень часто необходимо оценить один или несколько случайных параметров импульсов по одной из реализаций процесса с учетом

его статистических характеристик. При этом задача сводится к нахождению та­ кого преобразования процесса, которое обеспечивало бы «аилучшую в опреде­

135

ленном смысле оценку. Ввиду того что изменения параметров импульсов слу­ чайны, оценка принципиально не может быть абсолютно тачной, а сводится к измерению статистических (усредненных) характеристик оцениваемого парамет­

ра. Понятие же «наилучшей» в определенном смысле оценки подразумевает на­ личие статистического критерия качества оценки.

(Критерии качества оценки в зависимости от условий задачи могут быть раз­ личными, а оценка, наилучшая с точки зрения одного критерия, не всегда ока­ зывается столь же хорошей при других критериях. Так как процесс формиро­ вания оценки состоит в усреднении случайных изменений оцениваемой величины за определенный промежуток времени, то преобразования, обеспечивающие получе­ ние усредненной оценки, называют сглаживанием случайного процесса. Сглажива­

ние, при котором обеспечивается наилучшая оценка в смысле избранного крите­ рия, называют оптимальным сглаживанием.

Как уже отмечалось,^случайные изменения параметров импульсов, как пра­ вило, обусловлены воздействием на них не только сигналов-носителей инфор­ мации, но и посторонних нерегулярных сипналов-помех. Поэтому в процессе формирования оценки необходимо выделить «полезные» (информационные) из-

менения оцениваемого параметра из общих, обусловленных обеими группами факторов.

Существует большое число критериев качества оценки. Это объясняется тем, что на их выбор влияет множество факторов, в частности, ограничения накла­ дываемые на вид оператора (например, условие физической реализуемости опе­ ратора и т. д.). Наиболее широко применяются критерии минимума среднеквадратииесмои ошибки, максимума апостериорной вероятности, минимума среднего риска, минимаксный и стр. Более подробное описание критериев качества оценки

и их сравнение можно найти в обширной литературе по оптимальной фильтра­ ции. Часть библиографии приводится в конце работы {79].

Каждый критерий позволяет теоретически определить преобразование обес­ печивающее наилучшую по избранному критерию оценку, а затем по найденно­ му виду преобразования построить (синтезировать) оптимальную систему.

Однако здесь не будем решать задачу синтеза оптимальной системы сгламеровИЯ ИЛИ Ф ильтРации’ а ограничимся лишь рассмотрением некоторых при-

В системах электросвязи наибольшее применение находят операторы сгла­ живания, основанные на принципе наименьших квадратов, такие, как оператор текущего среднего, оператор экспоненциального сглаживания, оператор Берн­ штейна и пр. Эти операторы по эффективности сглаживания уступают опти­ мальным, т. е. являются квазиоптимальными. Однако возможность скользящего сглаживания при малом его интервале позволяет существенно сократить объем выборки оцениваемого параметра случайного процесса. Это облегчает реализа­

ратов оцениваемого параметра до применения и после применения оператора:

136

живания, для оценки качества сглаживания могут быть использованы энергети­ ческие спектры. Рассмотрим несколько примеров сглаживания импульсных слу­ чайных процессов.

Сглаживание амплитуды импульсного случайного процесса наиболее просто

осуществляется усреднением значений случайной амплитуды импульсов на за­ данном интервале времени, изменяющем свое местоположение на оси времени (скользящее сглаживание) [79]. При скользящем сглаживании случайного про­ цесса %(t) применяется ^оператор интегрирования, т. с

если интервал сглаживания расположен несимметрично относительно момента времени t. Оба оператора линейны, хотя физически реализуем только оператор (3.113).

Для представления структуры линейной системы, реализующей оператор скользящего сглаживания, преобразуем это соотношение к виду

t

о

Таким образом, операция скользящего сглаживания заключается в алге­ браическом суммировании значений процесса £(0 в моменты времени ^и t— Т я интегрирования полученной разности. На рис. 3.8 представлена структурная схе-

Рис. 3.8. Структурная схема устройства, реализую­ щего оператор текущего среднего

ма линейной системы, реализующей оператор сглаживания (3.113). Для опреде­ ления импульсной характеристики этой системы положим, что на нее воздей­ ствует в момент t бесконечно узкий импульс типа 6-функции. Учитывая, что

137

2

Практически реализация оператора сглаживания (3.113) возможна как цифро­ вой техникой, так и аналоговыми фильтрами. В последнем случае для исклю­ чения линии задержки и сумматора из схемы рис. 3.8 необходимо функцию е-рГ представить в виде дробно-рациональной функции параметра р. При этом оператор скользящего сглаживания можно реализовать в виде линейного фильт­ ра с сосредоточенными, постоянными во времени параметрами {25, 56, 79]. Ме­ тоды определения передаточной функции и параметров фильтра, наилучшим образом аппроксимирующего заданную импульсную характеристику, подробно рассматриваются в теории лилейных электрических цепей [25, 93].

Рассмотрим сглаживающие свойства оператора (3.113). Для определения эффективности сглаживания согласно (3.111) необходимо найти дисперсию флук­ туаций сглаженного процесса t,(t) и сравнить ее с дисперсией исходного про­ цесса %{t). Имея в виду, что при сглаживании случайный процесс |(<) подвер­ гается линейному преобразованию, на основании ф-лы (ЗЛ12) для дисперсии преобразованного процесса t,(t) запишем

t t + T

Соотношение (3.118) показывает, что дисперсия сглаженного процесса, а зна­ чит и эффективность сглаживания, для оператора (3.113) являются функциями интервала сглаживания Т. Для выяснения характера этой зависимости рассмот­ рим конкретный пример.

138

Пусть корреляционная функция сглаживаемого процесса задана соотноше­ нием о| е~ßI т I , т. е. |(0—стационарный пуассоновский поток импульсов про­

извольной формы и случайной длительности [53, 85]. После подстановки о| е— в ф-лу (3.118), интегрирования и ряда преобразований, .получим

Если интервал сглаживания выбран так, что рГЗ>1, соотношение (3.119) для дисперсии сглаженного процесса можно заменить приближенным выраже­ нием:

тивно, если дисперсия амплитуды КО после применения оператора сглаживания станет меньше, т. е. а\ < а| или Кэ <1. В рассматриваемом примере это усло­

вие, как следует из ф-л (3.121 )и (3.122), будет выполнено при Т > 2/ß. Учитывая, что величина ß характеризует интервал корреляции сглаживае­

мого случайного процесса, приходим к выводу: сглаживание—эффективно, если время интегрирования больше длительности корреляционных связей сглаживае­ мого случайного процесса.

Напомним, что к аналогичному выводу приводят результаты анализа про­ хождения импульсного случайного процесса через ДС-фильтр. Эго и неудиви­ тельно, так как при соблюдении условия аЗ>ß напряжение на емкости фильтра

Учитывая, что величина зависит от инерционности R C - цепи, а инерционность линейной системы (3.115а), реализующей оператор скользящего сглаживания, определяется временем интегрирования Т, положим а=1/Т. При этом инерцион­ ные свойства обеих систем будут примерно эквивалентны. Тогда соотношение (3.123) преобразуется:

'Величина ß в ф-ле (3.121) и (3.123а), как уже отмечалось, характеризует длительность корреляционных связей сглаживаемого случайного процесса.

Для сравнения эффективности указанных операторов сглаживания просле­ дим зависимость коэффициента сглаживания их от величины ß7\ Коэффициент сглаживания для оператора текущего среднего определяется ф-лой (3.120), а для ^С-фильтра формулой

ляции ß сглаживаемого процесса (ßT-voo) их эффективности становятся одина­ ковыми. Коэффициенты отлаживания при этом определяются приближенной фор­

мулой К э = \ (ß T )~ l .

139