книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи

В случае неограниченной длительности импульсов, когда k-я реализация случайной последовательности импульсов имеет вид

СО

l W (t)= У tnk){ t - t {nk)),

п=я— 0 0

а относительно функций %{k)(t) известно только, что они ограниче­

ны и стремятся к нулю при |-/|-ч-оо, целесообразнее .'представлять в виде ряда не отдельные импульсы &-й реализации процесса, а достаточно длинные отрезки каждой реализации, на интервале разложения (—Г/2, Г/2) совпадающие с соответствующей реализа­

усеченную k-ю реализацию этого процесса можно представить ря­ дом Фурье на интервале усечения (—Г/2, Г/2) [127], т. е.

150

комплексными величинами, так как функции b , T(k ) ( t ) различны при разных к в соответствии со сменной реализацией рассматриваемо­

Т-*со Т-+со

В соответствии с соотношениями (4.4), (4.5) и (4.8) результат нелинейного преобразования импульсного случайного процесса мо­ жет быть представлен в виде детерминированных функций време­ ни и некоторого числа случайных параметров, определяемых ко­ эффициентами разложения преобразуемого процесса в функцио­ нальный ряд. Для каждой конкретной реализации преобразуемо­ го импульсного случайного процесса набор коэффициентов разло­ жения представляет собой набор детерминированных величин.

Представление импульсного случайного процесса в виде ряда упрощает решения как общей задачи определения функции рас­ пределения вероятностей нелинейных безынерционных преобразо­ ваний, так и частных задач вычисления моментных функций и энер­ гетических характеристик таких преобразований.

Следует заметить, что определение спектрально-корреляционных характеристик нелинейных преобразований случайных процессов задача, как правило, более сложная, чем определение функций раопределения.

В заключение этого параграфа отметим, что в практике проек­ тирования и исследования систем обмена информацией возникают задачи анализа нелинейных преобразований не всего импульсного процесса в целом, а только отдельных параметров импульсов (ам­ плитуды, длительности, временного положения и т. п.). С учетом возможности разделения операторов таких преобразований на не­ линейные безынерционные и инерционные линейные задача ис­ следования статистических характеристик импульсных случайных процессов на выходе таких преобразователей еще более упро­ щается.

Отмеченные особенности исследования нелинейных преобразо­ ваний импульсных случайных процессов подробнее будут рассмот­ рены в последующих разделах этой и других глав.

4.2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИМПУЛЬСНОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА НА ВЫХОДЕ НЕЛИНЕЙНОГО ЭЛЕМЕНТА

Преобразование амплитуды и формы импульсов. Рассмотрим результаты воздействия импульсного случайного процесса, k-я реа­ лизация которого имеет вид

151

на безынерционный нелинейный элемент с характеристикой у — =\f(x). Вероятностные характеристики |(7) заданы функциями рас­ пределения вероятностей случайных параметров In, хп и tn, а от­ носительно функции f(x) положим, что она ограничена и непрерыв­ на со всеми своими производными для каждого значения х, т. е. при любом значении х = Хо представима рядом Тейлора:

/(*) = / Ы Iх ■<■») Іт (х)\*-*,+ -і- (X— *>) /|!| W l~«. +

Значение аргумента f(x), при котором строится ряд (4.11), в электросвязи называемое рабочей точкой, выбирается, исходя из требуемого режима работы нелинейного элемента (выпрямление, детектирование, усиление, ограничение и т. л.) в соответствии со статистическими характеристиками преобразуемого процесса.

Коэффициенты разложения Ьр в ряд (4.11) при заданных ха­ рактеристике преобразования y=f(x) и положении рабочей точки постоянны. Очевидно, что разным характеристикам f(x) соответ­ ствуют разные наборы коэффициентов {Ьр}, р = 0, 1 , 2 , ... даже при одном и том же значении аргумента хо, и, наоборот, при за­ данной характеристике нелинейного элемента y=f(x) величины f(-^(x)/x0 и, соответственно Ьр, определяются выбором рабочей точ­

На рис. 4.5 изображен график функции (4.13) для нескольких зна­ чений параметра о. Как известно [53, 76], функция (4.13) непре­ рывна вместе со всеми своими производными на интервале —о о < < х < о о . Ряд Тейлора для этой функции имеет вид f(x) =

152

—оэ

характеристики

- a \ 2

S'bp(x—xo)p,где коэффициенты fr — j L .

и ершима ют разные значения ів разных точках оси абсцисс OM. рис. 4.5):

Очевидно, что положение рабочей точки влияет также на ха­ рактер аппроксимации іf(x), а значит и на характер преобразова­ ний (рис. 4.5).

По отношению к преобразуемому сигналу \ ( t ) рабочая точка обычно выбирается так, чтобы отклонения §(£) от х0 имели как можно меньшую вероятность, т. е.

Р { [ | ( 0 — *о] = е) = min

Этому условию, как известно, удовлетворяет математическое ожидание случайной функции ті{І^(і)}. Практически, рабочая

4) Предположение о непрерывности y = f ( x ) и всех ее производных в любой точке оси X не онижает общности дальнейшего анализа, так как полученные при этом результаты могут быть распространены и на функции, имеющие конеч­ ное число разрывов [112]. Разрыв непрерывности функции f ( x ) или ее произ­

водных при этом могут быть устранены путем введения обобщенных функ­ ций |[:127].

153

точка х0 совмещается с постоянной составляющей преобразуемого процесса:

Если процесс эргодический, то ^ k)( t ) — rrii{l,(-h'>(t)}, а положение ра­ бочей точки определяемое соотношением (4.14) неизменно во вре­ мени. Для нестационарных или неэргодических процессов вели­ чина х0 также может выбираться равной математическому ожида­ нию нестационарного процесса:

или, в соответствии с (4.14), равной временному среднему неэргодического процесса. В этом случае положение рабочей точки будет разным в различные моменты времени для нестационарного, но эргодического процесса или разным для различных реализаций неэргодического процесса, и х0, выбранном в соответствии с (4.14).

Соответственно изменениям х0 будут меняться и значения про­ изводных функций tf(x) и коэффициенты Ьр, см. ф-лу (4.12), также будут детерминированными или даже случайными функциями вре­ мени.

Если Хо не зависит от времени, ход процесса х0 на выходе не­ линейного элемента определяется множителями вида (х—хо), где Xo=mi{gk)(t)}. Без потери общности примем Хо = 0. Тогда k-ю реа­ лизацию процесса на выходе нелинейного элемента можно пред­ ставить в виде:

Заметим, что если импульсы преобразуемого процесса не пе­ рекрываются, то

0 при п Ф /,

(4.17)

Поэтому ф-лу (4.16) можно переписать в виде

154

или, меняя очередность суммирования по индексам р и п, обозна­ чая

нерционных системах реакция в любой момент времени определя­ ется только значением воздействующего процесса в тот же момент времени t.

Таким образом, импульсный характер воздействия сохраняет­ ся и інѳперѳкірыіваюіщ'иеся иміпульсы на входе остаются также інѳперекрывающимися на выходе.

Импульсы процесса £(7) на выходе нелинейного элемента опи­ сываются взвешенной суммой соответствующих функций вида [u(t)]p, взятых с весовыми коэффициентами Ьр (4.19). Каждый п-к импульс к-к реализации процесса t,(t) можно представить как ре­

Учитывая, что функция u(t), определяющая форму импульса на входе нелинейного элемента, в какой-то момент времени t*

xhk)) принимает максимальное значение, равное единице, из ф-лы (4.19) найдем, что

Вероятностные характеристики амплитуды импульсов процесса на выходе нелинейного элемента в этом случае легко определяют-

155

ся, если известны вероятностные характеристики амплитуды импульсов процесса на входе. Так, моменты случайной величины £„ на основании (4.22) равны:

Видно, что для определения момента г-го порядка случайной величины £„ необходима одномерная функция распределения ве­ роятностей (по меньшей мере моментов до рг-го порядка).

Если известна двумерная функция распределения вероятностей случайных амплитуд п-іго и /-го импульсов процесса £(£), то мо­ жно определить двумерные моменты случайных амплитуд п-го и /-но импульсов процесса £(f) на выходе нелинейного элемента:

(4.28)

Ѵ м 2{ ^>}М 2 {£<*>}

где

(4.29)

р= 0/=0

Таким образом, для определения энергетического спектра ус­ редненной корреляционной функции нелинейного преобразования импульсов случайного процесса необходимо не только среднее зна­ чение, дисперсия и коэффициент корреляции амплитуд импульсов на входе, но и моменты более высоких порядков.

Очевидно, что, зная моменты функции распределения вероят­ ностей случайной амплитуды, можно построить по известным пра­ вилам [53, 81] ряд, сходящийся к самой функции распределения или к характеристической функции.

Рассмотрим теперь способы определения формы импульсов на выходе нелинейного элемента. Как было показано выше, форма

156

импульсов на выходе определяется как взвешенная сумма слагае­ мых вида {u(t)]P. Для нахождения функций [u(t)]p можно предста­ вить u(t) в виде экспоненциального ряда (4.4). Это позволяет представить {u(t)f в виде

Для исследований функций up(t), представленных рядом (4.30), можно использовать преобразование Лапласа [25]. В самом деле, обозначая преобразование Лапласа от f(t) как

F(s) = ] n f ) e - Stdt

о

в соответствии с (4.29) и (4 30), найдем

разования Лапласа [25] позволяют анализировать не только ре­ зультаты воздействия импульсных случайных процессов на безы­ нерционной, но и на многие виды инерционных нелинейных систем [104, 127].

В виде ряда Фурье может быть представлена любая функция f(t), удовлетворяющая на промежутке OsS^s^T условиям Дирих­ ле. Учитывая определение импульсного случайного процесса и ус­ ловие ограниченности характеристики нелинейного элемента f(x), функция v(t) аналогично (4.4) может быть представлена рядом

157

где

Г/2

—Г/2

Для большей наглядности заменим непосредственное определе­ ние величин ЛкР, по ф-ле (4.34) возведением в р-ю степень раз­ ложения (4.5). Тогда

(4.36)

Xexp I і £ /c r coo4

г = 1

Соотношения (4.36) позволяют сделать важный для практики вывод, а именно, в результате нелинейного преобразования в соста­ ве сигнала на выходе появляются новые гармонические составляю­ щие (так называемые комбинационные частоты). Пусть, например, в разложении (4.5) только со, си Съ С - с_ 2 отличны от нуля. Тогда, выбирая рабочую точку х0= с0 и считая, что Сі= с_і, с2= с_г, пред­ ставим (4.5) в виде

и (0 — с0 + 2 Сі cos CÖ0 t 2 c2 cos 2 co01,

а возведение {w(Y)—x0] в квадрат дает

158

Таким образом, уже квадратичное преобразование импульса u(t) привело к появлению новых гармоник Зсо0 и 4(0<ь а также к уве­ личению уровня постоянной составляющей входного сигнала.

В более общем случае, при бесконечном числе слагаемых в (4.5), после нелинейного преобразования мощность перераспределяется, так что общая ширина спектра выходного сигнала увеличивается по

р) и к изменяется дискретно. Поэтому при каждом р величина А кр

/•=1

159