книги из ГПНТБ / Коновалов Г.В. Импульсные случайные процессы в электросвязи

Ш) =

2

2 2

е». * .'“».

I, г)

(2.59)

п = —00 /= 1 г = 1

определяется

соотношением

r(fe)

„<*)

(k)

оо

со

г ( к )

п

;

%l

XV

t(*)

B(t, t +

т) =

fl—— оо / —— оо

т !

S

S

2 S К'..

4

2

Ьу, и X

X

и п, I,

г(* —

*пк)!, r ) u i, v,q {1 І-Т —

7 )

•

(2.60)

СО

00

Щт(Хи -«г. я- /) = ^]

V Р ( Г п = р , Y j = o ) ö ( x 1 — p)ö(xll — i>),

w2%(xu х2, /, ѵ) =

у

^ Р (Х /= х , Хѵ = К) ö (хг —х)б(х2 — X),

у.=0 Я,=0

соотношение

(2.60)

приводится

к виду

00

00

co j

00

В Ц ,

t +

x)=

V

222 Р ( х п = 9>

Г / = и)

X

п —~ о о / = — оо Р = 0 о = 0

00

0 0

Р

’J

X

X

х

2

2

р с /= * .

хг=^)

У]

2

2

2

ß«. /. и

^ и * - /+ т ) ’

(2-61>

и=о х=о

;=і

г=і г=і 7 =і

где

в п , і , і .

V, г.

Ч Ц <

t + t) = mx {

, V

l,

—

r)

X

X

«/.

, ( ' +

* - * } ? ’„. ,)}■

(2.62)

Далее,

если

P (Y n=L,

Y j= L) = 1,

P,(%i = m, у„ = т ) = 1

и

соответственно

P(Yr,¥=L,

Y j ф L ) = 0,

Р ( х і ф т . yvtJ?fcm )=0,

из

(2.61)

оо

со

L

L

m

m

B ( t . t

+ T ) =

V

V 2

V У

2

ß„, /,

,,

Л ,(* ,<

+ *)•(2.63)

n = — oo / = — oo ; = i Ü= 1 r = l 7 = 1

Соответствующие (2.61) и (2.63) усредненные по времени корреляционные

функции нетрудно определить аналогично (2.23). Тогда,

в частности,

при

посто­

янном числе групп

в комплексах и импульсов в группах

Т /2

оо

со

L

L

m

m

В* (г) = lim

S

XIS S ß'!- '•i'v'X ч^'t

Т-+СС

Т

r^dL

—Т/2 П——оо / = —сс /=1

ѵ=\

г—1 д= 1

(2.64)

Нетрудно видеть,

что при L = 1

выражения (2.63) и (2.64) соответствуют вы­

ражениям (2.39) и (2.40). Если же

L=ll и т = 1, (2.63) и (2.64) эквивалентны

соответственно ф-лам

(2.22) и (2.23).

В*і(т),

а исходя из соотношения (2.1),

которое применительно к данному классу

процессов можно записать

в виде

(2/Ѵ +

і) Т к

(2.65)

где Т к — средний

период

следования

комплексов

групп импульсов, (2УѴ+1) —

число

комплексов

групп в усеченных

реализациях

процесса и zf fi (со)— спект­

r(Ä)

„(*>

І п

1

4 fe)(co)f =

-N 1=1

r=1

N

N

YW

(к)

v (k)

ч(к)

п

/

*1

0

- 2

2 2 2 2 2 ®г>,

( 2 . 66)

n=—N j= —N 1=1

v=l

r= l

q=\

где спектральная

плотность

каждого

г-го импульса

1-й группы п-го комплекса

следовательности комплексов групп

импульсов:

F (со) =

Ііш

р

р

2

Х

Р (Гл = Р ) £

Ѵ Р(Х і=х,

х„= *) X

лі-*=О( 2N+ \) T K

„n=—N р—0

X—О Я=0

N

N

оо

оо

х

П

/ w

, 9(“)+

2

V

s

2 ^(Г. = Р.

1=1 0=1

n= —N j= —N р=0

u=0

Р

и

Фі

и

А,

(2.67)

Г/ = и) У

У Р (Хі=

X. 1ѵ =

*«)

V

V

А„>м>„іГі,(<о)

L J

LJ

—-

Z_>

>c=0 /.=0

1=1

o=l

ГДе К,іЛ,ѵ,г,Ч^ )

= m ' { Gn \ , M

Gh

•

Заметим, что при Р (Г П=4, Г; =4) = 1, Р(Тп=?И, T j^ = l)= 0

выражение (2.67)

соответствует (2.47).

только

такими случайными

последовательно­

Ограничим далее рассмотрение

F

г- р

р

X

X

р=Ѳ р(Ѵ=р>Sр=к>SEESх=0 L 1=1 о=1 г—\ q—1

о, С о, г, q (ш) 4-

2N

р

р

X

X

2Re lim

Е(‘-^тг)ЕЕЕЕ= 1 1

(Cö)

( 2 . 6 8 )

V

1 —

------------

Д, 1, V, r, q

LA \

27V + 1

?=

A=1

1=! o=l T

где

‘д, 1, о,

r, q (co)=m1{G<„fe>i i r (<o)G<%i ,(« )} .

(2.69)

Соотношение (2.68) обобщает для случая комплексов групп импульсов ф-лу

(2.48).

При

постоянстве

числа импульсов в группах и числа групп в комплексах,

г. е. при

P(T=L) = 1,

Р(% = т) = 1 и соответственно

при

Р(T=4=L)=0, Р(%Фт) =

= 0, из

(2.68)

лепко

получить также формулы, обобщающие для случая комп­

лексов

групп импулыоав соотношения

(2.53)

и

(2.58):

г L

L

т

т

2S

F (со) =

/ЕЕЕЕ— 1 Ѵ = 1 r = 1 q— \ О, I . ѵ г Т % Ц

N - + C D

2N +

X

^

( a l ,

r a v, q ~ь ^ Д , l ,

V ,

r, q ° l, r a v, q) m 1 I

г ^

1=1 o = l

r = l

<i=l

^ Xn—A,

o, 17

Sn,

1 ,

r)

S n —A,

o,

(®^n—Д, o, fl) X

—id) (

#<*)

—1<*)

^

X e

П ,

1,

n—Д, o,

(2.71)

где

au T = mx {

gj*»,, r)

,

(2.72)

e/ . r = I ^ M l S j v T .

*A. 1,

V, r, q

lml {

in,'11, r

Д,

o, fl}

fll, /• °o , ? |/ ö l, г ^о, o '

расположения, т. е. от разности

их номеров Д= /г—/.

С учетом принятых ограничений для оценки энергетического

спектра

случайной последовательности групп импульсов

можно-

воспользоваться

соотношением

(2.58), преобразованным к

виду

F { ( ü ) = ~

£

j r ( a raq + Ro,r,qoroq) X

+ 2Re lim V

(1 — - A -■) У

V (ara„ + R&,r,q oroq) x

jv -*n . ^

2N 4 - 1 /

*—

= J

^ xyg{a>x)g{(oy)w2x r q{x, у, А)dxdy,

(2.75)?

о

о

стей

г-го

импульса

п-й группы

и q-го

импульса

j-й группы

(І — п—А).

Учтем также, что согласно (2.73)

mJ e- ‘ * ( « - О ) = е - '.(» - » г г

х

X Шііе

і

—і соАГ

Г е - ій > (г - ? )Г

х

ХѲ4ѵ(со, — со,

со, — со, А,

г, q),

(2.76)

где

04ѵ (<и,

—со,

со,

—со, А, г,

q) — четырехмерная характеристиче­

ская функция случайных 'величин vn, Vj, vn,r, Vj,q.

Тогда

согласно

(2.74) — (2.76)

^(со)

Yi

' Z i W + R o . r . q O r O j K o . r A ^ X

T r

r= 1

9 = 1

2N

г, с/)е' —ісо(г—q)T

•X Ѳ4ѵ (со, — со,

со,

— со, о,

2Re lim V

N-ыя Д—1

2N+

1

^

{ßrClq X

R&,r,q ОУЩ/) Х д ,г ,9 (со) X

r=1 9=1

X в

(со, — со, со,

—і шДГ

—ісо(г—9)Г

(2.77)

— со, А, г, с?) е

*■(<»> =

Х Е

ІК ! +

0Э'Со,л> > “

и^ . , г, > > І Ч М

| 2х

r

Ir—1

т

т

X

| ѲІѴ,Г (со) |2] +

Ф(со) +

V

Yi

araqK<»,r,q (Cö) Ѳ1ѵ,г (cü)X

Г—1 </=1

X

[| Ѳ,Ѵп (ш) |г +

2N

(2.78)

+

2Re у .

( і -------—

)

Ѳ

( с о ) Ѳ

~

Щ

е_ “°ЛГг

2/Ѵ+1

/

‘V

Іѵп -д

'

где

ф(со) = £

^

{стла<,7?о>г,9^о1г,9(со)Ѳ4ѵ(со,

— со,

со,

— со, о, г,

q) X

г= 1

9 = 1

П q

Х е -іо)(л-9)г + ага?[/С0 г„(с о )Ѳ4 ѵ (со,

— со,

со,

— со, 0,

г,

q) —

-К..Г,,(t0) I01vn

I2Ѳ1ѵ.гИ

Ѳ1 ѵ,?(®)]е-ІМ(Г-'7)Г}+

2Re lim

2N

( 1 —

+

V

2<Ѵ+

1

X

ЛГ-оо f“1, \

Д —

I

X V £ { ° Га‘?^Д,г,Дд,г,9Ы

Ѳ4ѵ(0)- —

®. — И. Л> Ф X

r = l

9=1

—і соДГ

—ім(г—q)T

araq[Kh,r,q(co)04v(co,— со, со,— со, Д,r,q) —

Х е

1 е

+

— Кв>Гі,(ю) Ѳіѵ„(<о) ѲѴ д М

X

X Ѳіѵ,г(®)Ѳі,,9 (со)

f

(2.79>

Ѳіѵп(со), Ѳіѵп_д(оо), Ѳ1ѵг(со), Ѳ1ѵ?

(со) — одномерные характеристи­

ческие функции величин Ѵ „,

Ѵ „ - Д

,

Vn , r

и Vn ,q -

Для случайных последовательностей групп импульсов, у кото­

рых ѵи=Ѵгг-д =0, соотношения

(2.78)

и (2.79)

упрощаются,

в ре­

зультате чего

СО) =

f

г=1

X

r=1<7 = 1

Х | ѳ і ѵ , г ( ® ) | 2 ] + Ф ( ® ) +

У « W W . ^ M X

— 'un(r—q)T

(2.80)

Х Ѳ,Ѵ (®)Ѳіѵ,9(®)е

S

где

ф(со) =

2

У

Ѳ2 Ѵ . Г , > ’ -

®.°) е - іи(г- " )Г +

r = l

<7=1

тфЧ

+ araq[K0 r„(со) Ѳ2ѵ г^(cö,

—со, 0) — /Ce r>?(со) Ѳ|ѵ r(со) Ѳ1ѵ і?(со)] X

2N

X r i . M r ) + 2R e f a ^ ( , - S q r ) S S

X

Д=1

r = 1 <7=1

Х К д>, . , ( ® ) Ѳ 2ѵ>г>, ( ( о ,

-

со,

Д ) е _ і и Д Г г е “ ІМ(^

)Г +

+

а^<?[^д,г,9 (со) Ѳ2ѵ г„(со,

— со, А)

К*,г,<7(со) X

s ,

0

/ i n ------- Г Т і

- і

МДГ

г

—-iü)(r

q)T л

(2.81)

Х

Ѳ 1ѵ г (со) Ѳ 1Ѵ (,(со)]

е

е

) ,

оо оо

Ко.г.А®)

= I

f ^(cox)g(co«/)Ki2ir r 9(x, t/,

0)dxdj/,

(2.82>

0

6

Коо.г.Л®) = j

xg{(äx)wiT r{x) dx J y g {© y) wlX q (y)dy,

(2.83)

о

0

o;lTr(x), шІТ

(t/) и соответственно одномерные функции распреде­

ления ДЛИТеЛЬНОСТИ Г-ГО И С?-Г0 ИМПуЛЬСОВ 02v,r,q

(ö, —со, А) —

стей случайных величин ѵп, г и Ѵп-д , q.

учтено, что1)

При преобразовании (2.78)

в t(2.80)

lim 1 +

2N

е-і »лг

(2.84)

2Re V]

( і -------—

М —► 00

LA

\

2N + 1

Л=1

Обратим

внимание на то, что последний член<в правой части (2.80)

ров

импульсов

не зависят от их номера, т. е., когда ar = aq = a,

оо

К,

?(<*>) =

j' xg (со х) WH(х) dx

=

КооИ,

1ѵ

О

І Ѵ , < 5 Г

N = Ѳ1ѵ(ю),

. »

дискретную

часть

энергетического

спектра

можно преобра­

зовать так:

s (0 — 2л к

r=l

q=l

2 g —m ( r —q)T

4я

(2-85)

^ -а ^ ^ М ІѲ іѵ М І2^

Т'Г

г—1 q=1

К——оо

Учитывая, что

^

е—ІШ{r—q)T

_

S in 2(/W (О Т/2)

( 2.86)

r = I

q— 1

sin2 ((В Г/2)

’

sin“

б (to­ 2л к

(2.87)

.0)7'

-

S

rn' sm“

p==—oo

получим

^д(0) = 4^

а 2^ (0 ))|Ѳ 1ѵИ

2

J б

со

2яр m

Р——оо

= ^ - Ä . W i e „ N ‘ j

« ( » - ^ )

(2.88)

ствительно,

как это видно, в

частности, из (2.80) и

(2.88), для

того чтобы

дискретная часть

энергетическаго спектра

отсутство­

го спектра

случайной

последовательности отдельных

импульсов..

Для этого положим в

(2.80)

т = 1 и 7> = 7. Тогда

F(b>) = j r

{(а2 + о2) К„ (со) -

а2Кк (со) | Ѳ,ѵ (со) |2+ф (со)+

+

a2Kx (со)IѲ1ѵ(со)|2

£ б ( с о - ^ ) } ,

(2.89)

где

^(cö) =

2Re lim V { о2 ЯДКД (со) Ѳ2ѵ (со, -со, А) е_і “дг +

+

а2[Кд (о) Ѳ2ѵ(со, - а , А) — Кл (со) | Ѳ1ѵ(о>)|2] е“ 10,лг} ,

(2.90)

a =

о г = Ѵ Щ & > ) ,

R A ~

1

n ”,

-----

; (2.91)

СО

ОС.

Ка (со)

= т1 { т<*> т^ід g (ют^>) я (м т^ д) } =

j*

j xyg(ш x) X

6

о

X Я(со y)w2x {x, у , A) dxdy,

(2.92)

/Co(co)

и /Соо(со)— соответственно

значения

/Сд (со)

при

Д= 0 и

А= сю,

/ — іо . ( v<*>

Ѳ1ѵ(со)= m ij/

- !4 Ä)

(2.93)

®2ѵ (ш’

— ш’

= mi |е

I

L

т

ЕЕ ( аг, г +

°/, /-)Ко, I,

I, г, г (ш) аг, г

I,

Гіг (со) х

1=1 г= 1 L

L'

L

т т

Х I Ѳ 1ѵ,

I,

r(“ ) I

2тс;SSES at,

raV, q K oo, l,

V, r, ?(m) X

/=1 v=l r—1q=1

X Ѳ1Ѵі u r (ö>) Ѳ1ѵ> 0> q (Cü)

e—iw(/—v)Tr

e- i(0 (r—q) T

X

oo

2я k

X £

ö(co

(2.94)

X 2

X

X

X [( al,

г аѵ, q“Ь R A, I, V, г,

q°7, г °ѵ, q) R A, l, о, г, q(w) X

Z=1 0=1 r = 1

<?=1

X Ѳ2ѵ, l. V, r, q(©-

—

A) - az, r «о, ,

Z, о, г, „ (©) Ѳ1ѵ, I, г И

X

X Ѳ1ѵ> 0>q (со)]

е- т < r-q) т^

(2.95>

00

00

к&,

I, О, Г, q(©) =

J j

(© *) g (“ l') W2T, z, О, Г, «7(x- У’ &)dxdy.

(2.96).

о

0

Соответственно для случая последовательностей комплексов групп импуль­

сов могут быть обобщены

и соотношения (2.74),

(2.79).

Непрерывная и дискретная части энергетического спектра при

случайных

изменениях

амплитуды, временного положения

и дли­

случае

КА>г>,(©) =

т2 |£((ÖT0) | 2,

Ѳ2ѵ r q (ю)=Ѳ,ѴіГ (со) = Ѳ1ѵ ^ (со) = t,

в результате чего соотношение для

энергетического спектра

(2.80)

может быть преобразовано к виду

F{<i))= -уг- т21g(cöt0)|2 | Л а2 +

г|>5(м) + ~

-X

■r=l

m m

00

2n к

-іш (r—q)T

(2.97)

х r=lS qS= 1

e

53

6 (»

T

a r ü q

ГДе

TJ1£(CÖ) =

2

erOqR0,r,qZ

^

+

r=l

<7=1

2N

ry=q

r — ia (r —q)T.

+ 2Rel m. 53 ( ‘ -

ш т т ) 53

5 3 0' ^

- ' e“ ' " re~

(2 98)

Д=1

r = l

q=1

(Z.MO).