книги из ГПНТБ / Талыпов Г.Б. Сварочные деформации и напряжения

Рассмотрим частный случай. Пусть 7\ = Агу + Вх. В этом случае:

т. е. в этом случае полоса совершенно свободна от напряжений. Для деформаций формулы (3.78) дают:

Отбрасывая члены, не влияющие на относительные деформации, получим:

и= ах (Аху + Bi) ;

v= a ( у Лхг/ + Вхг/) - у аЛх*2

Таким образом, в этом случае полоса, оставаясь свободной от напряжений, оказывается искривленной. Ее ось, когда переме­ щения и их производные малы (п. 1, гл. 3), обращается в пара­ болу, а поперечные сечения остаются плоскими.

Глава 4

Т Е М П Е Р А Т У Р Н Ы Е Д Е Ф О Р М А Ц И И И Н А П Р Я Ж Е Н И Я В У П Р У Г О - П Л А С Т И Ч Е С К О Й О Б Л А С Т И

18. ИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ

Области упругих и упруго-пластических деформаций

Рассмотрим сначала упруго-пластические деформации одно­ родного начально изотропного тела, вызываемые в его точках внешними силами, при нормальных температурных условиях. В простейших случаях (растяжение, сжатие, сдвиг) верхней гра­ ницей области чисто упругих деформаций (нижней границей области упруго-пластических деформаций) для материалов, диа­ граммы az, ег и т, у которых имеют площадку текучести, является начальная точка площадки текучести. Для материалов, диаграммы az, е. и т, у которых не имеют площадки текучести, за нижнюю границу области упруго-пластических деформаций условно при­ нимают ту точку диаграммы ог, ег, где пластическая часть отно­ сительного удлинения имеет заданное значение. Обычно за эту границу принимают ту точку диаграммы, где остаточное относи­ тельное удлинение достигает значения es0 = 0,2%. Величина es0 называется техническим допуском на пластическую деформацию на условной границе текучести, и этот допуск удовлетворяет основ­ ным требованиям современной техники. Однако за последние годы появился ряд работ по экспериментальному исследованию границ текучести при весьма малых допусках, например 0,01%. Этот допуск меньше полуширины петли гистерезиса стали и его при­ менение может привести к недоразумениям [117]. Опыт показы­

предел текучести для такого материала при простом растяжении

Независимо от наличия или отсутствия упрочнения в упругопластической области останутся справедливыми уравнения рав­ новесия, уравнения совместности деформаций и граничные усло­ вия, если часть границы указанной области совпадает с соответ­ ствующей частью граничной поверхности тела, а на остальной части ее границы должны быть выполнены условия непрерывности напряжений и деформаций на поверхности раздела упругой и упруго-пластической областей. Для получения полной системы уравнений для упруго-пластической области необходимо уста­ новить закон связи между напряжениями и деформациями в этой области.

Связь между напряжениями и деформациями в упруго-пластической области

Необходимо различать случаи простого и сложного нагружения [44]. Нагружение называется простым, если все составля­ ющие тензора напряжений в процессе нагружения возрастают пропорционально одному и тому же параметру, например вре­ мени. При простом нагр ужении остается справедливой как теория малых упруго-пластических деформаций [44], так и теория те­ чения [49, 129]. При сложном нагружении, когда в пространстве напряжений путь нагружения резко изменяет направление, теория малых упруго-пластических деформаций не дает удовле­ творительных результатов.

Теория малых упруго-пластических деформаций. При простом нагружении начально изотропного материала справедливы сле­ дующие положения.

1. Среднее относительное удлинение, равное относительному изменению объема, пропорционально среднему нормальному на­

2. Направляющие тензоры напряжений и деформаций совпа­ дают, т. е. девиаторы напряжений и деформаций [44, 46, 49] подобны и коаксиальны

где интенсивность касательных напряжении

+ 6(4, + (4.12) интенсивность деформаций сдвига

(4.13)

Равенство (4.11) перепишем в виде

Последнее равенство в проекциях на оси координат даст:

где г|э — подлежащая определению скалярная функция инва­ риантов тензоров напряжений и деформаций. Так как сумма левых трех уравнений (4.15) или (4.17) дает тождество, то для определения шести неизвестных составляющих тензора напря­ жений (или деформаций) вместе с (4.9) имеем всего пять урав­ нений. Недостающее уравнение определяется законом активной

где символ Кронекера

При этом для полных приращений составляющих деформации получим:

Уравнения (4.24) при условии текучести Мизеса

(4.25)

были предложены Рейсом [109]. Эти уравнения обычно называют уравнениями теории течения. Исследования показали [49], что при простом нагружении уравнения теории течения и теории малых упруго-пластических деформаций дают одинаковые ре­ зультаты.

Найдем приращения работы пластической деформации

dAp = oxxde?xx Н Ь txyd-fxy + (4.26)

Подставив сюда значения приращений пластических деформаций по формулам (4.23), получим

т. е. функция к пропорциональна приращению работы пласти­ ческой деформации и не может иметь отрицательное значение.

При развитых пластических деформациях в уравнениях (4.24) составляющими упругой деформации можно пренебречь и при этом получим уравнения теории Сен-Венана—Мизеса:

dexx = Цахх — а);.

(4.29)

dyxy = 2кхху,

которые обычно записываются в скоростях деформаций [46]

dk, ,

(4.30)

су dk

где

Уравнения (4.24) содержат напряжения и их бесконечно малые приращения. Эти уравнения неразрешимы относительно напря­ жений. Поэтому в этом случае не удается составить уравнения равновесия в смещениях, аналогичные уравнениям Ламе. Системы уравнений в напряжениях, аналогичных уравнениям Бельтрами— Митчеля, могут быть составлены, но они кроме производных напряжений по координатам будут содержать производные по координатам от бесконечно малых приращений составляющих напряжения. Для решения этих уравнений могут быть исполь­ зованы только численные методы. Задача значительно упро­ щается, если составляющими упругой деформации можно пре­ небречь по сравнению с составляющими пластической деформации

ииспользовать уравнения (4.29).

19.НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИЕ

ДЕФОРМАЦИИ

Области упругих и упруго-пластических деформаций

Опыты на простое растяжение и сдвиг изотропного металла при повышенных температурах показывают, что предел теку­ чести зависит от температуры os = as (Т). Для малоуглеродистой стали эта зависимость приведена на рис. 20. Отсюда следует, что при заданной повышенной температуре Т деформации при простом растяжении в пределах принятого допуска будут упругими, если °z < a s (Т) и они будут упруго-пластическими при аг 5s 0S (Т). Для случая плоского напряженного состояния, насколько из­ вестно, нет опубликованных работ, посвященных эксперимен­ тальному нахождению границы текучести при заданных значе­ ниях повышенной температуры. Обобщая результаты опытов на простое растяжение в случае плоского напряженного состояния, получим, что деформации в пределах принятого допуска будут упругими, если