книги из ГПНТБ / Талыпов Г.Б. Сварочные деформации и напряжения

и нужно рассматривать не уравнения равновесия, а уравнения

где p —масса единицы объема тела. Но Дюгамелем [140] было показано, что изменение температуры во времени во многих слу­ чаях происходит с достаточно малой скоростью и влиянием инер­ ционных членов можно пренебречь, рассматривая движение как последовательность состояний равновесия (гипотеза Дюгамеля). Новые исследования [33, 34, 138] показали, что влияние инер­ ционных членов оказывается существенным только в массивных телах [33, 34], а в других случаях незначительно. Поэтому будем пренебрегать влиянием ускорений. Тогда при отсутствии объемных сил уравнения равновесия будут иметь вид:

При упругих деформациях справедливы соотношения (3.7), которые дадут:

Аналогично можно получить еще два уравнения. Используя опе­ ратор Лапласа

эти уравнения можно написать в виде:

Последние впервые были получены почти одновременно Ней­ маном и Дюгамелем и называются уравнениями Дугамеля— Неймана. Они отличаются от обычных уравнений теории упру­ гости, например от уравнений Ляме, наличием членов, пропорцио­ нальных градиентам температуры. Таким образом, учет влияния неравномерного нагрева сводится к учету дополнительных массо­ вых сил, пропорциональных градиентам температуры.

где I, m, n — направляющие косинусы нормали v к поверхности тела в данной ее точке. Те же уравнения, если использовать (3.7), запишутся в виде:

( T V + *E-)'+(-S-+-S> +

Сравнивая уравнения (3.11) и (3.13) с соответствующими уравне­ ниями теории упругости, видим, что температурная задача теории

Уравнения (3.15), (3.16) являются обычными в теории упругости при наличии поверхностных сил с компонентами:

Функция F определяется по теореме Пуассона для объемного потенциала как решение уравнения (3.14)

,(3.17)

интегрирование проводится по всему объему со тела и dco = db, dr\ dt,.

13. УРАВНЕНИЕ БЕЛЬТРАМИ-МИТЧЕЛЯ

Кроме уравнений равновесия и условий на поверхности должньї быть выполнены уравнения совместности деформаций (3.5). Последние, выписанные через компоненты напряжения, назы­ ваются уравнениями Бельтрами—Митчеля. Выведем эти уравне­ ния с учетом температурных членов в предположении, что дефор­ мации остаются упругими. Для этого продифференцируем первое из уравнений (3.11) по х:

и выразим все входящие сюда члены через компоненты напряже­ ния. Из соотношений (3.7) имеем:

Аналогично получим еще два уравнения. Имея в виду (3.20) и последние три из соотношений (3.7), эти уравнения приведем к виду:

Кроме трех уравнений равновесия и условий на поверхности компоненты напряжения должны удовлетворять шести уравне­ ниям Бельтрами (3.24) и (3.25).

14. ПОТЕНЦИАЛ ТЕРМОУПРУГИХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Предположим, что компоненты перемещения определяются как частные производные по соответствующим координатам не­ которой функции, т. е.

При этом, имея в виду, что

A F; е= AF,

систему (3.11) можно привести к одному уравнению (3.14):

(3.27)

т. е. искомая функция F должна удовлетворять уравнению Пуас­ сона и называется потенциалом термоупругих перемещений. Если функция F найдена как решение уравнения Пуассона, то компоненты перемещения определяются по формулам (3.26), а для деформации и напряжений получим:

Так как на функцию F не наложено никаких других ограничений, то получающиеся таким образом напряжения в общем случае не будут удовлетворять условиям на поверхности.

15. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕРМОУПРУГОСТИ

Общий интеграл уравнений Дюгамеля—Неймана

Решение обратной задачи термоупругости не вызывает особых трудностей: когда заданы напряжения или деформации, она сво­ дится лишь к интегрированию уравнений Коши. Решение прямой задачи термоупругости приводится к интегрированию сложной системы дифференциальных уравнений в напряжениях или в пере­ мещениях. В первом из двух последних случаев необходимо найти шесть неизвестных функций ахх, . . ., ххг из трех дифференциаль­ ных уравнений равновесия (3.10) и шести дифференциальных уравнений Бельтрами (3.24), (3.25), удовлетворяющих простым алгебраическим условиям на поверхности (3.12). Во втором из этих случаев необходимо найти три неизвестные функции и, v, w решением трех дифференциальных уравнений Дюгамеля— Неймана (3.11), удовлетворяющих граничным условиям в пере­ мещениях (3.15). Общий интеграл этих трех уравнений можно

здесь Wly Ws — любые непрерывные, включительно до своих третьих производных, решения уравнений:

должны удовлетворять граничным условиям (3.13). Эти условия, связывающие функции Ф, с заданными напряжениями на поверх­ ности тела, значительно сложнее алгебраических равенств (3.12). Поэтому в некоторых случаях интегрирование уравнений (3.10), (3.24), (3.25) может оказаться проще, чем разыскание трех функ­ ций Ф,-, удовлетворяющих условиям (3.13). Нахождение трех гармонических функций Ф£ , удовлетворяющих уравнениям (3.13), остается основной трудностью на пути получения полного решения общей прямой задачи теории упругости. Учет влияния объемных сил требует нахождения частных решений уравнений (3.31), а учет влияния температуры — нахождения частного решения урав­ нения (3.35).

Полуобратный метод Сен-Венана

При этом методе часть решения рассматриваемой задачи задается (угадывается), а другая часть определяется так, чтобы была удовлетворена система основных уравнений термоупругости. Та часть решения, которая задается (угадывается), должна соот­ ветствовать рассматриваемой задаче и не должна быть в проти­ воречии с основными уравнениями термоупругости [8, 91 ] .

Потенциал термоупругих перемещений

Для получения частных решений статических, квазистатиче­ ских и динамических задач термоупругости можно использовать введенный в п. 15 потенциал термоупругих перемещений. Един-

ственным ограничением, наложенным на этот потенциал F, яв­ ляется то, что эта функция F — частное решение уравнения Пуассона (3.27). Поэтому найденные через эту функцию F напря­ жения не обязательно должны удовлетворять заданным условиям на поверхности тела. Если полученное решение не удовлетворяет заданным условиям на поверхности, то приходится решать до­ полнительную задачу (см. ниже п. 16, 17). Изложение и приме­ нение метода потенциала термоупругих перемещений можно найти в работах [67, 92].

Энергетические методы

Для решения практических задач термоупругости часто исполь­ зуют следующие энергетические методы.

Принцип Даламбера. В соответствии с этим принципом работа, совершенная внешними силами и силами инерции на возможном перемещении тела из некоторого мгновенного состояния, равна изменению энергии деформации, т. е.

и зависит от последовательности приложения нагрузки и измене­ ния температуры и не всегда идентична работе деформации. В случае статических и квазистатических задач принцип Далам­ бера переходит в принцип виртуальных перемещений

в случае, когда внешние силы имеют потенциал, вариация инте­ грала по времени от разности суммарного потенциала внутрен­

В случае, когда имеем статические и - квазистатические задачи этот принцип переходит в принцип минимума потенциальной энергии

Принцип виртуальных изменений напряженного состояния.

В соответствии с этим принципом при всяких виртуальных изме-