Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Талыпов Г.Б. Сварочные деформации и напряжения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

12.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 296 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

При этом соотношения (3.7), если учесть (3.20), дадут:

ауу	=	°уу(х>	У)>
o2Z = li(oxx + oyy) +	2(\ + ii)Gla-a(T-T0));			\ (3.43)
хху	~	хху (*»	У)'і
ххг	~	xyz =	^.

Третье из уравнений равновесия (ЗЛО) удовлетворяется тожде ственно, а первые два принимают вид:

доххдх + д*худу = 0;

дъдхху + двууду = 0. (3.44)

Последнее из уравнений (3.11) обращается в тождество, а в первых двух необходимо положить

ди	.	dv	а,	(3.45)
дх	'	ду	а,

и, следовательно, система уравнений Дюгамеля—Неймана в этом случае будет иметь вид:

Д И	1	де _	2а(1 + \|х)	д	1 Т	_ _ т - , _ г ) .
Д И	1 — 2ц	дх	1 — 2ц	дх			'
	1 — 2ц	дх	1 — 2ц	дх	(		'
AV +	1	де	2 а П + д )	д	,„	„ ч л	} (3.46)
AV +	1 — 2ц	д(/	1 - 2 \| І			— ' о )

где е определено соотношением (3.45). Третье из уравнений (3.24) оказывается следствием двух первых, а второе и третье из урав нений (3.25) обращаются в тождество. Таким образом, из шести уравнений Бельтрами в этом случае остаются три:

	і		1	д*о		'	2а(1 + ц)б д (		Т	т\Л-	\
		1 + 1* дх2				'	Г = £	A t	y	7 0 - » +	I
			+ 2 а О ^ г ( 7 ' - Г о ) = 0;
л «т	і		1	а«а		• 2а (1 + ц)0					(а)
											(а)
						52		0;
			+ 2 « G ~ ( 7 - - r 0 ) =					0;
Л T W	+		1		° + 2 a G l ^ ( 7			' - 7 ,		o ) = 0.
Л T W	+	1	+ ц	д 2	° + 2 a G l ^ ( 7			' - 7 ,		o ) = 0.
	1	1	+ ц	&с	ф
	1

Имея в виду (3.43), получим

а = ахх + а д а - f o e = (1 + |i) (а„ + оуу) +

+2 ( l + j i ) G I a - a ( r - 7 ' 0 ) J .

Подставив последнее в (а), будем иметь:

А	охх	+	-^(ахх	+	ат) + 2 " ( / +	^ °	Л ( Г -	Г0 ) =	0;
A	g w	+	- g -	+	gw ) + 2 а У_	^	° А (Т -	Г0 ) =	0;	(б)

В силу (3.44) третье из этих уравнений удовлетворяется тожде ственно. Складывая первые два, получим:

А (<т« + оуу) + 2а{}+^)°

А(Т-Т0)

= 0.

(3.47)

Если удовлетворено это уравнение, то, как нетрудно убедиться, каждое из первых двух уравнений (б) удовлетворяется в отдель ности в силу уравнений равновесия (3.44).

Уравнение (3.47) вместе с уравнением равновесия (3.44) пред ставляют полную систему уравнений температурной задачи теории упругости в напряжениях при плоской деформации. Та же пол ная система в компонентах перемещения дается уравнениями (3.46).

Получающиеся в результате решения составляющие переме щения или напряжения должны удовлетворять соответствующим условиям на поверхности. В частности, если поверхность тела свободна от усилий, то составляющие напряжения на этой по верхности должны удовлетворять условиям:

aJ	+	xxym	=	0; j
xxyl +		ayym = 0. J			w
Как показывает формула	(3.43),		a a	не зависит от z.	Поэтому

условие а2г = 0 на торцах z = ± -|- цилиндрического тела не

может быть выполнено. Но можно потребовать выполнения этого условия в среднем по поперечному сечению цилиндра

J J	a„dF = 0.
	" я

Из последнего условия будет найден параметр а. Рассмотрим два метода решения задачи.

Первый метод

Плоскую температурную задачу теории упругости можно свести [59] к решению уравнения Пуассона и бигармонического уравнения. Как известно, решение обычной плоской за дачи теории упругости при отсутствии объемных сил сводится

к нахождению функций напряжений Эри <р, через которую напряжения определяются по формулам:

д2ф ,

	° х х	~	ду* '		"ху	дхду
В	плоской	температурной		задаче можно			ввести	функцию
U =	(фх — Тг),		предполагая,	что имеют		место	равенства:
			_	дЮ .	Хху			(3.48)
	° х х	~	ду* ' А У У ~	дх2 '		дх ду

Если	подставить		последние в	уравнение		равновесия		(3.44), то

они будут удовлетворены тождественно, а уравнение (3.47) при мет вид

Л Д Фх - А А А + 2 а ( 1 + ^ G А (Т-Т0) = 0.

Отсюда вытекает, что если функция Т1 удовлетворяет уравнению Пуассона

А Тх	=	2 a (	1 1 + [ ^ ) G (Т - Т0),	(3.49)
то функция фх должна	быть		бигармонической
		А Афі = 0.		(3.50)
Если найдены функции	7\ и ф ь как решения уравнений			(3.49)
и (3.50), то напряжения		определяются по формулам (3.48). Эти

напряжения должны удовлетворять условиям на поверхности (в). Перемещения определяются интегрированием уравнений Коши.

Из соотношений

(3.42), используя

(3.20) и (3.43), для деформаций

получим:

1£-

= ^G

[ А * Х

^ ° Х Х +

°УУ)

А ^

° +

2« (1 + ti) G (Т—

Т0)];

ду

[ауу

I* (<УХХ +

Оуу) -

2a\iG - f 2a (1 +

ц) G (Т -

Т0)\; (Г)

ди

*ху

дх

~Т~~ду~'

Интегрирование

первых

двух

уравнений

дает:

" =

~~Ь 1[а*х

— Р (°хх

+ °УУ)

~~ 2аР°

2a (1 +

ц) G (Т -T0)]dx

h(y);

(3.51)

v =

4G\ {ауу ~ V- (G*X

+ А ^ "~ 2 A ^ G

2а(1 +• |І) G ( Г - 7 0 ) ] d y + /,(*)•

Подставив (3.51) в третье из уравнений (г) и интегрируя, получим

/і (У) =	Ау + В\
/2 (х) =	-Ах + С,

где А, В, С — произвольные постоянные интегрирования. Отсюда следует, что члены /х (у) и /2 (х) учитывают лишь жесткое смеще ние всего тела и на относительные деформации не влияют. Таким образом, для определения деформации можно использовать фор мулы (3.51) без членов fx (у) и /2 (*)•

Если

введем

потенциалВторой метод

перемещений,

не зависящий

от z:

F (х, у) термоупругих

dFя и

ЯРdF

dFяс

(3.52)

дх

ду

дг

то система

(3.46)

будет приведена

к одному

уравнению

dx2

ду* -

1 — ц

1 *>•

(3.53)

случае,

когда

имеем

стационарное

температурное

поле и

Т — Т0

= Т (х, у)

удовлетворяет

уравнению

д2Т

= 0,

dx2

dy2

т. е. является гармонической функцией,

из (3.53)

получим, что

функция

F (х, у) должна

удовлетворять

уравнению

AAF

= 0,

(3.54)

или, что то же, уравнению

d*F + 2

diF

d*F

= 0.

дх*

дх2

ду2

ду*

т. е. она должна

быть

бигармонической

функцией. При этом

относительные деформации определятся

по формулам:

- _ d2F .

d2F

= 0;

ехх—

дХ2 >

дг2

(3.55)

d2F

= 0;

v„2

= 2

d2F

= 0.

Хху •

дх ду '

^кг ~

dxdz

ду dz

Из

(3.52)

и (3.55)

следует,

что плоскости, перпендикулярные

к оси z,

сохраняют

свои

начальные

положения.

Для соответствующих

напряжений соотношения

(3.28)

дадут:

ахх

—

d2F .

-2G

d2F

oyy

дх2

ozz =

-2aG±±±(T-T0);

(3.56)

d2F .

"^хг — "^уг — 0-

—

х ду >

Таким образом, если, найдена функция F как решение урав нения (3.53), то соответствующие смещения, деформации и на-

пряжения определяются по формулам (3.52), (3.55), (3.56). Полу ченное решение справедливо тогда, когда на боковой поверхности тела заданы компоненты напряжения ax°J, Oy°J, rx°J, которые совпадают со значениями напряжений (3.56) на этой поверхности. В общем случае значения напряжений на поверхности тела могут


не совпадать с их заданными значениями				охх, a{yJ,	хху.	Напри
мер,	на практике чаще всего встречаются			задачи,	когда	боковая
поверхность тела		свободна	от внешних усилий,		т. е.	— О,
:(0)	— 0, хх°у = 0	всюду на	этой поверхности. В		таких	случаях
"УУ

оказывается необходимым найти такое решение уравнений теории

упругости,	которое	на	торцовых плоскостях	тела удовлетворяет
-»	->•		->
условиям w = О, тхг		=	%уг = О, на боковой	поверхности напря

жения равны по величине и обратны по знаку тем, которые опре деляются формулами (3.56) на этой поверхности. Это обычная задача теории упругости и в данном случае она решается при помощи функции напряжений Эри, которая удовлетворяет диф ференциальному уравнению

д4ф 1 9 <5*Ф

дх2 ду* ^ ду*

и позволяет определить компоненты напряжения по формулам:

лд2<? •

х х ~	ду2	'	"да	~дх2~] 0 2 2	"	дх2	ду*
т-ху —	дхду	'	^хг	— ^уг —	Є г г —	Е	2 2 V- (ахх + О ] = о.

Если функция ф найдена, то напряжения, удовлетворяющие заданным условиям на боковой поверхности, определяются по формулам:

а.						ду<
О,		ayy	+			д*
				уу —		д х	°yy=l^((i>-2GFY>
уу							г	2G7		);
a2Z	=	аи - f azz		=		д*	( - C P +		7		(3.57)
					Л
Хху — Хху +			Хху —		д х д у
= И		+	о )	-	2aGftwp — 2GF) =Т ).
	кх		т				±±£ (Т -			0

Для определения соответствующих деформаций используем фор мулы (3.7), из которых следует что

о = охх + ауу +

аа^Ц^±Л[е-За(Т-Т0)]

или

Подставив последнее выражение в формулы (3.7) и разрешая

относительно ехх,		еуу,	получим:
&хх		1	(^х-т^о)			+	а(Т-Т0);
&хх	— 2G		(°хх	-1 + ц
еуу ~		1	(°уу			а ) + а ( Г - 7 - 0 ) ;
еуу ~		2G				а ) + а ( Г - 7 - 0 ) ;
егг	=	2G					( r - 7 ' o ) :
		~2G~ ( ° - - T T V e ) + a					( r - 7 ' o ) :
		Уху	тху .			Хуг •
		Уху	~~'	G '		Хуг •
Используя теперь (3.57) и имея					в виду, что
О" — QXx		~\~ Ъуу +		аг 2 =	(1 +• р,) Д		ф — 4G Д	F;
		AF =			-\±^-a(T-T0),
получим:							d*F
е**=4ії							d*F
е**=4ії			( - \| ^ - - ^ Л ( Р ) +				дх* '
				- 4 Г ( ^ Л Ф ) ;				(3.58)

Перемещения найдутся путем интегрирования дифференциальных

уравнений	Коши:
	JEJL — />	•	J L		— *	•	_L _ v		/ Q r:q\
	~~ х х	'	ду		~	ду	^~ дх ~Ух"'		{ 1 >
Рассмотрим	частный	случай. Если принять
					Ф = 2GF
как функцию напряжений Эри, то соотношения (3.57) дают:
			Охх	=	Оуу =	ТХу =	0,
o2 Z	= - 2 ( l - n ) G			A f = - 2 ( l +				ji)Ga(r — Т 0 ) ;
=	( 2 0 - ^ - 2 ( 1 0 A f ) + ^ - = ( l - ^ ) A f =
			= ( 1 + [ х ) « ( Г - 7 ' 0 ) ;
		e w = ( l + \| i ) a ( 7 ' - 7 ' e ) ;
			Єгг	=	0;	УХу =	0.
Таким образом, напряжения ахх,						ауу,	хху	в этом случае	равны

нулю везде, а в точках торцовых сечений возникают напряжения сжатия о„.

17.ПЛОСКОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Вусловиях плоского напряженного состояния будет нахо диться тонкая пластинка под действием сил в ее серединной плоскости при условии, что ее поверхность свободна от внешних сил и распределение температуры не зависит от направления, нормального к ее серединной плоскости. Поместим координатную плоскость хоу в серединной плоскости пластины, а ось г направим

по нормали к этой плоскости. При принятых условиях а 2 = 0 и, используя выражения (3.7),

= 2G

dw .

огг

дг

е = ег

из условия

0^ =

О получим:

е„

(^ХХ

Єуу),

(3.60)

1 - І *

еуу)-

(3.61)

При этом для компонентов напряжения (3.7) будем иметь:

I***

0 +

<* (Г -

Т0

)1;

- І *

(3.62)

И*** -

1 - І *

(1 +

f*)« ( Г - ^в)];

Уравнениями

равновесия

' в

в силу

будут:

"yz •

дохх

_j_ дтХу

_ Q.

ду

(3.63)

дх

да,га

дг/

Подставив в эти уравнения выражения компонентов напряжения

(3.62), получим уравнения			Дюгамеля—Неймана:
Д "	+	1 + p.	д	( ди	_ j _ до
Д "	+	1 — [л	дх	дх	^	ду)
_ 2	- \| ± і і а - ^ ( Г - Т 0 ) = 0;
		1 - І *					(3.64)
		1 + 1*		du		до	(3.64)
		1 + 1*		du		до
		1 — ц	д(/	дх	+	ду )

Компоненты перемещения, полученные решением этой системы, должны удовлетворять граничным условиям. Аналогично изло женному в предыдущем параграфе система уравнений Бельтрами в этом случае сведется к одному уравнению

А (Рхх + аУу) + 2а (1 + fi) G А (Т - Т0) = 0.

(3.65)

Последнее вместе с уравнениями равновесия (3.63) определяет составляющие напряжения, которые должны удовлетворять усло

виям на поверхности:
/,	л і	( 3 - 6 6 >

если поверхность пластины свободна от внешних сил. Для реше ния конкретных задач здесь также можно использовать два метода:

Предположим,	что	Первый метод				функция
		существует		такая		функция
		U = ф 1 —			7\,
что имеют место	равенства:
_J4J_.		_ _	J W .			_	d*U	n f i 7 ,
Qxx~	д у і »	"да—	дх2	'	тху—		д х д у •	(О.ОІ)

При этом уравнения	равновесия будут удовлетворены тожде
ственно, а уравнение	(3.65) примет	вид
А Афі — А ІА 7\ — Еа		(Т — Т0)] = 0.	(3.68)

Отсюда имеем, что если функция 7\ удовлетворяет уравнению Пуассона

Д 7 \ = Еа	(Т - Т0),	(3.69)
то функция ф! должна быть бигармонической
ААФі	= 0.	(3.70)

Как только найдены функции 7\ и фх решением уравнений (3.69), (3.70), напряжения определятся по формулам (3.67). Эти напря жения должны удовлетворять условиям на поверхности (3.66). По формулам (3.62) для деформаций имеем:

дх = е** = 4 " \*хх — VByy + £ а (Г —	Т	)];
d U	0

•^f = eyy=lS	{°УУ — Vахх +				Еа(Т—	Т0)];	(3.71)
dv	,	ди	_	хху
дх	^	ду	~	G	'

Перемещения найдутся интегрированием уравнений Коши (3.71).

Второй метод

Введем потенциал термоупругих перемещений для рассматри

ваемого случая:			dF		= dF		(3.72)
	и -		dF	V	= dF		(3.72)
			дх		ду
Подставив последние в первое из уравнений (3.64), получим
	^	д	А „	Л	і +1* „	3	Т0) = 0
		дх			1 — ц	v	Т0) = 0
						v
или
дх	" ж	v*	> г/	-	d j B
Интегрируя последнее,		имеем
	= а (1 +		и) (Г -		Г„) +	/х (г/).	(а)
Аналогичная операция		со вторым из уравнений					(3.64) даст
AF	= а (1 +		ц) (7 -		Г 0 ) +	/, (*).	(б)
AF	= а (1 +		ц) (7 -		Г 0 ) +	/, (*).

Сравнивая (а) с (б), получим

/і 00 = /2 (*) = о

и, следовательно, функция F должна удовлетворять уравнению Пуассона

A F = а (1 + ц) (Т — Т 0 ) .

(3.73)

Если функция F найдена как решение уравнения (3.73), то де формации определяются по формулам:

d2F	-	d2F
дх2		ду2

Уху — 2	d2F	,	(3.74)
	д х д у
е„= Л / 7 = а ( 1 + ц ) ( Г - Г 0			) ,

а для напряжений формулы (3.62) дадут:

= — 2G		d*F	'
		ду*	'
= — 2G d2F			'
*УУ—	~ ~	дх2	'	(3.75)
				(3.75)
хху	— ш д	х д у »

5 Я = о.

Так как на функцию F не наложено граничных условий, то в общем случае компоненты напряжения (3.75) не будут удовлетворять заданным условиям на поверхности. Например, если поверхность

пластины свободна от усилий, а формулы (3.75) для компонентов напряжения в точках поверхности дают значения:

"(О)	-<0)	"(О)
vxx >	'уу >	*ху >

то для той же пластины приходится решать обычную задачу теории упругости при заданных на поверхности компонентах напряжения:

— а ( 0 )		-<о>		"(О)	'
Эта задача решается	Vxx >	>уу>		*хуХ	'
Эта задача решается	при помощи функции напряжений <р, удов
летворяющей уравнению		Л Ф = О,
	Л	Л Ф = О,
через которую компоненты напряжения				определяются по форму
лам:
-* _ а2ф	-* _ а2ф		^		д2<р	(3.76)
ду*			%х«~		дхду	(3.76)
ду*			%х«~		дхду

При этом искомые составляющие напряжения определяются по формулам:

+ <Ъ* =

д2

*хх

-дут (Ф — 2GF);

ауу

+ от

д2

(Ф —

2GF);

(3.77)

"уу

а для

-ад •

fo-2GF),

получим:

деформаций

- е

л-е

_ 1 / ^гФ _ ц

^2Ф \

d2F

кхх

— ехх

*хх—

\ д у

дхг

-Г

дх2

(3.78)

-е

л . *

_ _ L / _ E ! 5 L _ „ ^ L W

d*F

в соответствии*уу — Vyyс-Т

—

уд х 2

Суу.60)

д у 2

)

д у ;

е* = — -j^j (ехх + еуу) - — Л

(4т

Ф — F )

Если, в частности,

примем

то

получим:

Ф - 2GF,

d2jF

— Тед —

°zz —

лас —

т і 2 0

2 ,0 ^

+ £

дх2

1 + Ц д ^ = а ( Г - Г 0 ) ;

'-да

a(T — T0),

уху

т. е. в этом случае имеет место нестесненное всестороннее темпе ратурное расширение. Рассмотрим пример.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 296 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ