книги из ГПНТБ / Талыпов Г.Б. Сварочные деформации и напряжения

где у — удельный вес материала в кГ/см3; с — удельная теплоем­ кость, т. е. количество тепла, необходимое для повышения тем­ пературы единицы веса материала на 1° С.

Найдем теперь часть теплоты, уходящей из элемента. Для этого познакомимся сначала с некоторыми понятиями.

В нагретом теле в данный момент времени существуют точки, имеющие одну и ту же температуру Т (х, у, z, t). Через эти точки можно провести поверхность, которая называется изотермической поверхностью. Проведя аналогичные поверхности через другие точки того же тела с одинаковыми в тот же момент времени тем­ пературами, получим семейство изотермических поверхностей. Кратчайшим расстоянием между данной изотермической по­ верхностью и бесконечно близкой к ней будет расстояние по нор­ мали. Направление нормали я к изотермической поверхности вместе с тем будет направлением наиболее интенсивного изменения температуры. Если возьмем две соседние изотермические поверх­ ности Т1 и Г 2 , расстояние по нормали между которыми беско­ нечно мало и равно An, то средняя интенсивность изменения тем­ пературы между ними

Т1 — Т2 _ АТ_

Ли An Предел этого отношения, т. е.

построить вектор, направление которого совпадает с направлением нормали к изотермической поверхности в той же точке, а его абсо­ лютная величина равна относительному изменению температуры в том же направлении. За положительное направление этого вектора примем направление роста температуры. Совокупность таких векторов образует поле температурного градиента, которое вполне определяется семейством изотермических поверхностей. Величина —grad Т называется удельным перепадом температуры.

Удобно ввести понятие вектора теплового тока q в данной точке температурного поля, направление которого совпадает с направлением переноса тепла, а абсолютное значение равно интенсивности переноса тепла, т. е. количеству тепла, проходя­ щему в единицу времени через единицу поверхности, выделенную около рассматриваемой точки и нормальную к направлению по­ тока. Перенос тепла или поток тепла всегда происходит из области повышенных температур в область пониженных температур. Поэтому вектор q и вектор grad Т должны иметь прямо противо­ положные направления. Опыт показывает, что интенсивность пере-

носа тепла или плотность теплового потока пропорциональна удель­ ному перепаду температуры, т. е.

где К — коэффициент теплопроводности в калісм -сек -°С. Рассмотрим теперь в той же точке элемент поверхности dS,

нормаль к которой образует угол (3 с направлением градиента Т. Количество тепла, проходящее через этот элемент в направлении нормали к нему представится

dQ = —X (grad Т cos р) dS = —К grad„ Т dS. (1.6)

Но по теореме Гаусса—Остроградского [50] для объема со, огра­ ниченного поверхностью S, имеем

теплопроводности Фурье. Оно связывает изменения температуры в данной точке в зависимости от изменений времени и координат

ство (1.2). Искомая функция обязательно должна удовлетворять этому дифференциальному уравнению. Но этого недостаточно для однозначного определения температурного поля, так как остаются неучтенными начальное распределение температуры, от которого отсчитываются ее изменения в последующие моменты времени, и влияние внешних условий на характер температурного поля, передающееся через граничную поверхность рассматривае­ мого тела. Таким образом, искомая функция должна удовлетворять как дифференциальному уравнению (1.8), так и начальным и гра­ ничным условиям.

Во многих случаях источники тепла внутри тела отсутствуют и тепло подводится к нему извне через его поверхность или часть

времени будет удовлетворять однородному дифференциальному уравнению

и соответствующим начальным и граничным условиям. При не­ прерывном подводе тепла постоянной интенсивности через по­ верхность тела в зависимости от его размеров может наступить момент времени, когда устанавливается неизменное во времени стационарное температурное поле, удовлетворяющее уравнению Лапласа

2. НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ Начальные условия

Для возможности отсчета изменений температуры в точках тела в ту или другую сторону в последующие моменты времени должно быть задано исходное начальное термическое состояние для его каждой точки. Другими словами, должна быть задана непрерывная или разрывная функция координат Т0 (х, у, г), полностью описывающая температурное состояние во всех точках тела в начальный момент времени t = 0, и искомая функция Т (х, у, z, t), являющаяся решением дифференциального уравне­ ния (1.8), должна удовлетворять начальному условию

внешнего термического воздействия через его поверхность. По­ этому из всех решений дифференциального уравнения (1.8) нужно выбрать то, которое удовлетворяет данным условиям на поверхности S, т. е. данным конкретным граничным условиям. Используются следующие формы математического задания гра­ ничных условий.

1. Температура в каждой точке поверхности тела может изме­ няться с течением времени по конкретному заданному закону, т. е. температура поверхности тела будет представлять непрерыв­ ную (или разрывную) функцию координат и времени Ts (х, у, z, t). При этом искомая функция Т (х, у, z, t), являющаяся решением уравнения (1.8), должна удовлетворять граничному условию

2. Известен поток тепла через поверхность тела как непре­ рывная (или разрывная) функция координат точек поверхности и времени qs (х, у, z, t). Тогда функция Т (х, у, z, t) должна удов­ летворять граничному условию:

обмена между окружающей средой и поверхностью тела, в ка­ честве которого для простоты используется закон Ньютона. В соответствии с этим законом количество теплоты dQ, отдаваемое

где k — коэффициент теплоотдачи в кал/см2 -сек-°С. С другой сто­ роны, в соответствии с формулой (1.6), это же количество тепла подводится к элементу поверхности изнутри и определяется ра­ венством

(у,

или иной степени изменяются вместе с изменением температуры. При постановке и решении задач теплопроводности с целью упро­ щения принимают, что указанные характеристики остаются по­ стоянными, равными их начальным значениям или же их средним значениям в рассматриваемом интервале температур. При этих условиях уравнение (1.8) и граничные условия будут линей­ ными и, следовательно, для нахождения общего решения уравне­ ния (1.8) можно применить метод наложения частных решений, получаемых тем или иным методом. Для решения линейной задачи теплопроводности могут быть использованы следующие методы.

Разделение переменных

Этот метод решения задач теплопроводности подробно описан в обширной литературе по математической физике [14, 112, 113, 122] и специальной литературе [28, 48, 58, 61 ] . Этот метод удобно применять, когда тело ограничено координатными поверхностями и конечно в направлениях изменения температуры.

Метод источников

Более подробное изложение и применение этого метода будут даны в следующей главе. Он применим ко всем задачам теплопро­ водности сплошных сред, у которых теплофизические характе­ ристики не зависят от температуры и задача теплопроводности сводится к линейному дифференциальному уравнению с линей­ ными граничными условиями.

Преобразование Лапласа

Возьмем тело, ограниченное поверхностью 5. Обозначим через М = М (х, у, z) любую точку этого тела и рассмотрим для него линейную задачу нестационарной теплопроводности

00 0 3

где в соотношении (1.24) использовано начальное условие (1.19). Введем обозначение

При таком преобразовании величину р можно считать произ­ вольным фиксированным параметром, а переменная t исключается, начальное условие включается в само преобразованное уравне­ ние (1.26) и, таким образом, количество независимых переменных ' уменьшается на единицу. Определив Т (М, Р) решением уравне­ ния (1.26) при граничном условии (1.27), из интегрального урав­ нения (1.25) можно найти искомую функцию Т (М, t), которая называется оригиналом функции Т (М, р). Для определения ориги­ нала существуют подробные таблицы [35, 36], использование которых упрощает решение задач. Этот метод применим к решению любой линейной задачи теплопроводности, если коэффициенты при искомой функции Т (М, t) в уравнении теплопроводности не зависят от времени, зависят только от координат, а свободные члены могут зависеть от времени и координат.

Приближенные аналитические методы

Из приближенных аналитических методов для решения задач теплопроводности наиболее эффективен метод Л. В. Канторовича [47 ], являющийся обобщением метода Бубнова—Галеркина. В этом случае решение краевой задачи теплопроводности при нулевых начальных условиях находим в виде

где Т (М, I) удовлетворяет граничным условиям при всех зна­ чениях функций at (0, а сами функции at (t) определяются из уравнений

(О

для которых после интегрирования получим систему из п обыкно­ венных дифференциальных уравнений.

Опыты показывают, что при изменении температуры в доста­ точно широких пределах теплофизические характеристики мате­ риала существенно зависят от нее [103—105, 130]. При этом ре­ шение задачи теплопроводности сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения и в общем случае при нелинейных граничных условиях. К решению такого рода краевых задач изло­ женные выше методы не применимы. В таких случаях исполь­ зуются численные методы. Наиболее эффективным из них и при­ способленным к машинному счету является метод конечных раз­ ностей [47]. Общим недостатком численных методов является их применимость только при частных значениях параметров, что вызывает необходимость повторения счета при различных зна­ чениях этих параметров для выяснения их влияния на описывае­ мый процесс. Недостаток численных методов заключается и в том, что последующее решение соответствующей температурной задачи деформируемого тела также должно быть проведено численно.

Глава 2

Т Е М П Е Р А Т У Р Н Ы Е П О Л Я П Р И Э Л Е К Т Р О Д У Г О В О Й С В А Р К Е

4. ИСТОЧНИКИ ТЕПЛА ПРИ СВАРКЕ

Неразъемность соединения сваркой достигается путем рас­ плавления соответствующих кромок свариваемых элементов при помощи сосредоточенного источника тепла, способного обеспечить мгновенный мощный местный нагрев металла. Расплавленные участки кромок свариваемых элементов, образуя общую ванну, при последующем остываний по мере удаления источника обес­ печивают неразъемность соединения на всем остывшем участке позади источника.

Вкачестве таких источников тепла используются.

1.Электрическая дуга прямого действия, горящая между сва­ риваемым изделием и металлическим или угольным электродом. При сварке металлическим электродом расплавляются как кромки свариваемых элементов, так и металл электродного стержня, обра­ зуя общую ванну расплавленного металла. Сварка с помощью элек­ трической дуги прямого действия" с металлическим электродом является наиболее распространенным видом сварки, а дуговая

сварка угольным электродом применяется редко.

2.Электрическая дуга независимого действия, горящая между тугоплавкими электродами в струе водорода, — атомно-водород- ная сварка. Этот вид сварки не нашел широкого применения.

3.Пламя высококалорийных газов, сгорающих в кислород­ ной струе — газовая сварка. Преимущественно применяется кис­ лородно-ацетиленовая сварка для сварки листов малой толщины.

4.Тепло Джоуля, выделяемое при прохождении электричес­ кого тока через местное сопротивление контакта на поверхности изделия, — сварка сопротивлением. Сюда относятся точечный, шовный и стыковой способы сварки.

5.Тепло, возбуждаемое трением.

6. Тепло токов высокой частоты (радиочастотная сварка).

7.Тепло, возбуждаемое квантовым генератором.

8.Тепло, возбуждаемое электронным лучом в вакууме. Вместе с развитием техники найдут широкое применение но­

вейшие способы сварки (радиочастотная сварка, сварка элект­ ронным лучом в вакууме, сварка квантовым генератором), при>