книги из ГПНТБ / Талыпов Г.Б. Сварочные деформации и напряжения
.pdfВ любой момент t *f= О температура самого источника (R |
— 0) |
, |
з |
отлична от нуля и с течением времени уменьшается по закону Г " т . оставаясь выше температур других точек тела.
Вместе с удалением от источника температура понижается по
закону нормального распределения е ш . Изотермическими по верхностями являются сферы с центром в источнике и темпера турное поле в данный момент времени зависит лишь от радиуса.
Температура в любой точке вне источника сначала возрастает, а затем убывает. Момент достижения максимального значения температуры в данной точке найдется из условия
дТ
0t = ° .
которое дает
R2 max 6а
п, следовательно,
Тmax = /2 |
\ 3/2 |
су у~£-пе) |
R3 |
Чем ближе рассматриваемая точка к источнику, тем выше 7г а а х . Отметим, что при изучении температурного поля сварки изде лий значительной толщины используется модель полубесконеч ного теплопроводящего тела и температурное поле (2.3) мгновен
ного точечного источника.
Линейный источник мгновенного действия
В линейный элемент теплопроводящего тела, имеющий форму бесконечно длинной призмы с бесконечно малым основанием dxdy, в начальный момент времени t = 0 внесем тепло, распределенное равномерно по длине этой призмы с интенсивностью Qj в кал/см. Температурное поле, получающееся от действия мгновенного линейного источника, в силу линейности задачи можно получить наложением температурных полей бесконечного числа мгновенных точечных источников, распределенных вдоль оси z, совпадающей с осью призмы, и вносящих в элемент длиной dz тепло
|
dQ = Qi dz. |
При этом для |
температуры любой точки тела в соответствии |
с формулой (2.3) |
получим |
к ' J cy(4natfj2
или
|
|
T(r,t) |
= |
^ - r j j - |
со |
|
х'+у'+г' |
dz |
= |
|
|
е |
|
ш |
|||||
|
|
|
_ Qie |
Aat |
га |
2 2 |
dz. |
|
(2 4) |
|
|
|
,., |
Г е |
4й< |
|
|||
|
|
|
|
|
— CO |
|
|
|
|
Введя |
новую |
переменную |
|
|
|
|
|
|
|
будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
г2 |
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
е~Ш |
йг = УШ |
|
е-ч'Лі- |
|
||
|
|
—со |
|
|
-—со |
|
|
|
|
Но известно |
[102],J |
что |
|
|
J |
|
|
|
|
При этом формула (2.4) примет |
вид |
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"К |
|
|
— суа; г2 |
= х2 |
+ |
у2. |
|
|
|
Этот результат позволяет сделать следующие выводы:
а) температурное поле мгновенного линейного источника в дан
ный момент времени зависит |
лишь от плоского радиуса-вектора |
r = |
VxT+7 |
и его изотермические поверхности — круговые цилиндры, ось которых совпадает с осью источника;
б) максимальная в данной точке температура имеет место в мо мент времени, определяемый из условия
- ^ - = 0
ді '
которое дает
при этом имеем
f |
Qi |
т а х |
ксуег2' |
Если из теплопроводящего тела вырежем пластинку малой толщины h двумя плоскостями, нормальными к оси г, и в его элемент hdxdy в начальный момент времени внесем тепло Q в кал, то при условии, что боковые поверхности этой пластины непро ницаемы для тепла, мгновенный линейный источник тепла с ин тенсивностью
Q1 = -J- кал/см
создает плоское температурное поле (2.4). Оно используется для изучения температурного поля, возникающего при сварке тонких листов.
Плоский источник мгновенного действия
Возьмем бесконечное теплопроводящее тело и в его элемент, представляющий бесконечный плоский слой толщиной dx, вы рождающийся в пределе в плоскость yz, в начальный момент внесем тепло, равномерно распределенное по его площади с ин тенсивностью Q2 в калісм2. Температурное поле, вызываемое этим плоским источником, можно найти суммированием полей мгновенных точечных источников, распределенных по всей пло скости yz. Полагая
|
|
dQ = Q2 dy dz |
|
||
и используя |
(2.3), |
получим |
|
|
|
оэ |
со |
|
х2+у2+г2 |
|
X2 |
Т = \ |
Г |
Q^dydz е |
ш |
= |
( 2 6 ) |
J |
J cv(Anatfl% |
|
|
cy(inat)1'2 |
|
—со —oo
Таким образом, температурное поле мгновенного плоского источ ника зависит лишь от расстояния \х \ до плоскости yz источника и изотермическими поверхностями являются плоскости, парал лельные плоскости yz. Например, если возьмем теплопроводящее тело в форме бесконечно длинной прямоугольной призмы с пло щадью поперечного сечения F, боковые грани которой непро
ницаемы для тепла и в элемент его объема Fdx |
в начальный момент |
внесем тепло с интенсивностью Q2 в кал/см2, |
то температура в лю |
бом его поперечном сечении | % | будет постоянна и определится по формуле (2.6). При этом наибольшая температура в любом
сечении \х \ будет |
иметь место в момент времени |
|
t 1 г + г т а х — ~%Г |
и для нее получим |
|
Т т а х = = су(2яе)1'2 |
|*Г |
6. ИСТОЧНИКИ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ Точечный источник непрерывного действия
Возьмем бесконечно большое теплопроводящее тело и в его точке о, с которой совместим начало координат, в момент t = О поместим точечный источник интенсивности q, действующий не
прерывно в промежутке времени 0 |
т «g t |
Обозначим его ин |
тенсивность в промежуточный момент т через |
q (т). Температур |
|
ное поле точечного источника непрерывного действия можно полу чить наложением полей элементарных мгновенных источников, заполняющих интервал (0, t). Действительно, температурное поле
мгновенного точечного |
источника |
с |
теплосодержанием dQ |
= |
= q (т) &%, помещенного |
в точке п |
в |
момент т, определится |
по |
формуле (2.3), если туда вместо t подставить время действия этого источника (t — т). Суммируя температурные поля всех таких эле
ментарных |
источников, |
вносимых в точку о за период от т = О |
||
до т = t, |
получим температурное поле |
точечного источника не |
||
прерывного действия: |
|
|
||
|
T(R |
t)= |
1 Т ) d X |
* 4 а « - т ) |
|
|
|
JF сму Г4[-яаІГЯ(it(t — тт ) ] 3 / |
2 |
Для источника |
постоянной интенсивности будем иметь: |
|||
|
T(RJ) |
= |
Я-щ- [ |
(2.7) |
Введя новую переменную |
|
|||
где при изменении т в пределах от 0 до t переменная г\ изменяется в интервале
—— ^ ТІ <: оо,
Aat 1
получим
со
Л1
Aat
|
R2 |
|
Вместо того чтобы интегрировать от |
до оо, можем интегриро- |
|
D2 |
|
|
вать от -^j до нуля, а затем от 0 до оо. При этом получим |
||
/ |
_51 |
\ |
/ со _ |
Ш _ \ |
Первый |
из этих несобственных |
интегралов равен У"я, а второй |
равен |
, |
D |
где функция Ф называется интегралом вероятности Гаусса [102], который может быть представлен также в виде сходящегося бес конечного ряда
|
|
R |
\2А+1 |
|
ф / ^ 1 _ ) = _ 2 _ е |
™ V " ^ 4 а |
< ) |
(2 10) |
|
( j A 4 ^ j |
Уя |
( 2 * + 1)1 |
^ l l U ' |
|
Таким образом, окончательно |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
(2.11) |
Этот результат позволяет сделать следующие |
выводы: |
|||
а) температура в самом источнике бесконечна |
и вместе с уда |
|||
лением от него быстро падает в начальный момент процесса на
грева; |
|
|
|
|
б) |
вместе с возрастанием |
времени |
действия источника кри |
|
вые |
Т (R) становятся более |
пологими, |
приближаясь |
в пределе |
при t = оо к гиперболе |
|
|
|
|
и, следовательно, температурное поле |
при длительном |
действии |
||
источника постоянной интенсивности стремится к предельному стационарному состоянию.
Температурное поле точечного источника в бесконечном теплопроводящем теле можно использовать для изучения температур ного поля, возникающего при сварке толстых пластин. При до статочно большой толщине пластины ее можно рассматривать как полубесконечное теплопроводящее тело. Совместим коорди натную плоскость хоу с граничной плоскостью полубесконеч ного теплопроводящего тела, которую будем считать теплонепро ницаемой.
Если в начале координат поместим точечный источник с ин тенсивностью q, то температурное поле, вызываемое этим источ ником в этом полубесконечном теле, можно рассматривать как часть температурного поля в бесконечном теплопроводящем теле при условии, что не будут нарушены условия на граничной пло скости. Для этого достаточно полубесконечное тело продолжить в направлении z < 0 и в соответствующей точке о плоскости г = = —0 поместить источник такой же интенсивности q. Тогда гра ничные условия не будут нарушены и температурное поле в полу
бесконечном теле с точечным источником с |
интенсивностью q |
на теплонепроницаемой граничной плоскости |
г = 0 будет яв |
ляться частью температурного поля в бесконечном теле с точеч ным источником удвоенной мощности 2q в ПЛОСКОСТИ 2 = 0.
Линейный источник непрерывного действия
Аналогично предыдущему, температурное поле линейного источника непрерывного действия с интенсивностью <7х (т) в мо мент времени t можно найти суммированием температурных полей мгновенных линейных источников, заполняющих весь промежуток времени (0, t). При этом в соответствии с формулой (2.5) получим:
о
В случае линейного источника постоянной интенсивности qx будем иметь:
о
Если ввести новую переменную
г2 4а (* — т)'
то (2.12) примет вид
4а t
Имея в виду, что
и
J J i r d u = |
Ei(u) |
—со
в конечном виде не берется [102], называется интегрально пока зательной функцией, в нашем случае получим
ш
В соответствии с этим (2.13) примет вид
Т ^ |
= щ [ - Е ^ - Ш |
- |
<2Л4> |
Если иметь в виду, |
что |
|
|
|
п |
|
|
£ Д - и ) = е - « ^ ( - 1 ) * 1 І = Ж |
+ Я„, |
(2.15) |
|
где
\Rn\< .77|«+lC0S_2- |
||
|
|
n l |
1 |
1 |
2 |
U = |
|
|(/|е'ф; |
Ф2 |
|
< я 2 , |
то ясно, что при длительном действии линейного источника по стоянной мощности q1 температура на конечных расстояниях стре мится к бесконечно большим значениям, а температурное поле
стремится |
к плоскорадиальному |
полю линейного источника |
||||
и |
удовлетворяет |
уравнению Лапласа для |
двумерной области |
|||
с |
осевой |
симметрией |
|
|
|
|
Решением |
этого |
уравнения |
будет |
|
|
|
|
|
|
T(r,oo) |
= C--£-lnr, |
(2.17) |
|
которое и определяет предельное температурное состояние. |
||||||
|
Температурное поле линейного |
источника |
используется для |
|||
изучения температурных полей, возникающих при сварке тонких пластин. Если из теплопроводящего тела вырезать пластину малой толщины h двумя плоскостями, нормальными к оси z, и в его эле
мент hdxdy в момент t = 0 ввести Q калорий тепла, то |
источник |
с интенсивностью |
|
* - Ф - - ї " & |
< 2 1 8 > |
создаст температурное поле по (2.14) при условии, что граничные h
плоскости z = ± ~y пластины непроницаемы для тепла.
Плоский источник непрерывного действия
Если плоский источник с интенсивностью q% действует непре рывно в течение промежутка времени (0, і), то создаваемое им температурное поле, аналогично предыдущему, можно найти сум мированием температурных полей плоских источников мгновен ного действия с интенсивностью q2 (т), заполняющих весь проме жуток (0, t). В соответствии с (2.6) будем иметь
Т (х, t) = f — ^ { x |
) d x |
е~ |
|
(2.19) |
|
|
J су уіла |
(t — т) |
|
|
|
В случае источника |
постоянной |
мощности |
получим |
|
|
|
( |
|
_ |
Xs |
|
Т (х, t) = |
Ц=^ \ (t — х)-УЧ |
Аа (t~x) dx, |
(2.20) |
||
су У4па $
т. е. температурное поле плоского источника непрерывного дей ствия с постоянной интенсивностью в пределе при t —> оо стре мится к стационарному линейному полю, удовлетворяющему урав нению Лапласа для одномерной задачи
5 |
- |
= 0, |
(2.21) |
решением которого будет |
|
|
|
Т{х,оо) |
= |
С-\-\х\. |
(2.22) |
Температурное поле, создаваемое плоским источником непрерыв ного действия, используется при изучении температурных полей, возникающих при сварке встык тонких стержней и узких полос.
7. ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ПОЛЯ ПОДВИЖНЫХ ИСТОЧНИКОВ НЕПРЕРЫВНОГО ДЕЙСТВИЯ
Полубесконечное тело
Пусть источник постоянной мощности q перемещается с по стоянной скоростью v вдоль некоторой прямой. В начальный мо мент t = 0 источник находится в некоторой точке о0, с которой
Рис. 1
совместим начало неподвижной системы координат (х0, yQ, z0). Возьмем, кроме того, подвижную систему координат хуг, начало о
которой совмещено |
с |
источником и будет |
перемещаться вместе |
с ним вдоль оси х0 |
с постоянной скоростью |
v (рис. 1). |
|
Координаты любой |
неподвижной точки |
А теплопроводящего |
|
тела в неподвижной и подвижной системах будут связаны соотно шениями:
t
х0 = х -J- j vdx;
(2.23)
Уо
z0 - z.
Мгновенное положение источника в неподвижной системе в проме жуточный момент т определится координатами:
x'o = vx; г/о = 0; z0 = 0. |
(2.24) |
Если граничная плоскость хоу полубесконечного тела непрони цаема для тепла, то в соответствии с предыдущим элемент тепла 2qdx, внесенный точечным источником в момент т, к моменту t изменит температуру в точке А в неподвижной системе координат на величину
dT(x0,y0,z0,t-x)= |
2 q d x |
|
су [Ana (t — x)]' |
«1 _
е«««-г) (2.25)
где R\ = (Bo')2 + yl + Zo — квадрат расстояния между мгновен ным положением источника и рассматриваемой неподвижной точкой А.
На основе принципа независимости действий отдельных теп ловых импульсов температурное поле к концу действия источника будет найдено суммированием полей мгновенных источников (2.25)
t |
|
Т {х0, г/0, г0 , t) = \dT (х0, у0, г0 , t — т). |
(2.26) |
о |
|
Величина (Во'), входящая в (2.25) и (2.26), может быть выражена как в неподвижной, так и в подвижной системах координат. В по
движной системе |
имеем |
|
|
|
|
|
|
||||
в силу чего |
(Во') |
= |
х + гп' = х + |
v (t — т), |
(2.27) |
||||||
Я? = Я» -f- 2vx(t — т) + |
v\t — т)2 , |
(2.28) |
|||||||||
где |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
R2 |
= х2 |
+ у2 + z2. |
|
|
|||
При этом соотношение (2.26) примет вид |
|
|
|||||||||
T(R,X,t) |
= |
|
|
|
[ |
d T |
Є |
4 а « - т ) |
_ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
V |
|
7 |
с у ( 4 я а ) 3 / 2 |
J (t — xf2 |
|
(2.29) |
|||||
|
|
ПІ* |
|
* |
|
|
|
R2 |
v* (< - т) |
||
_ |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2?Є а |
|
f |
dT |
3/2 |
4а (Л-т) |
4а |
|
||||
|
су (4яа) 3 |
/ 2 |
J |
(< — х |
|
|
|
|
|||
Введя новую переменную
1 = t — т
и затем опуская значок—над і, получим
о
28
Из последнего соотношения в силу положительности подынтег ральной функции при t > 0 ясно, что вместе с возрастанием про должительности действия источника температура во всех точках полубесконечного тела непрерывно возрастает. Как было выяс нено ранее (п. 3), при длительном действии неподвижного источ ника постоянной интенсивности температурное поле стремится к предельному установившемуся состоянию. В случае источника постоянной интенсивности, движущегося прямолинейно и рав номерно, с течением времени температурное поле приближается к установившемуся квазистационарному состоянию, при котором температуры элементов подвижного поля, связанного с источни ком, в последующем остаются неизменными. Вместе с тем ясно, что температуры неподвижных точек тела изменяются с течением времени. Температурное поле непрерывно действующего подвиж ного точечного источника, перемещающегося с постоянной ско ростью v вдоль оси х граничной плоскости ху полубесконечного тела, с учетом теплоотдачи, отнесенное к подвижной системе коор динат [103], можно представить в виде
п
Т(х, y,z,t) = \e
о
v |
x |
"2( |
|
2 |
0 |
~ i a dT(x,y, z, т), |
(2.31) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
dT(x,y,z,x) |
= |
, ? * [ |
т е |
4 |
" { і |
л |
-^-Упах[\-Ф{и))е-Л, |
|
|
су |
(4яат) |
' |
|
v |
|
J |
|
где k — коэффициент теплоотдачи: |
|
|
|
|||||
|
|
u = |
-Z= |
+ -%-Vat. |
|
(2.32) |
||
|
|
|
2 |
V ал |
|
^ |
v |
' |
Интеграл в правой части равенства (2.31) не выражается |
через |
|||||||
табулированные функции и это затрудняет исследование темпера турного поля.
Возьмем тонкую |
|
Тонкая пластинка |
||
|
бесконечную пластинку толщиной h, огра |
|||
ниченную плоскостями |
z = |
0, z = h. |
Пусть в начальный момент |
|
t = 0 линейный источник |
находится |
в начале о0 неподвижной |
||
системы координат и с этого момента перемещается в направлении оси х 0 с постоянной скоростью v. Примем сначала, что граничные плоскости непроницаемы для тепла. Мгновенное положение источ ника в момент т в неподвижной системе координат определится соотношениями (2.24).
Температура в некоторой точке (х0, у о) в момент t, вызванная элементом тепла qt dx, введенным в момент т, определится соот ношением
2
dT (х0, уо, t-x)= |
ь2ц-х) |
е " |
> |
(2-3 3 > |