книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

ствуют силы, приложенные к его концам и составляющие пару, направленную по часовой стрелке. Вороток будет неподвижным или поворачиваться равномерно, т. е. он

будет находиться в равновесии, только в том случае, если действие пары по часовой

стрелке компенсируется действием пары против ча­ совой стрелки. Как было установлено, для равнове­ сия тела, способного вра­ щаться вокруг некоторой оси, необходимо, чтобы алгебраическая сумма мо­ ментов всех сил, действую­ щих на тело, была равна

показано, что момент любой пары равен алгебраической сумме моментов сил, составляющих пару. Поэтому в об­ щем случае для равновесия тела, на которое действует произвольное число пар, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов всех пар равнялась нулю.

§ 22. Действие на тело сил, произвольно расположенных в плоскости

Мы познакомились с условиями равновесия тела, когда на него действуют силы, направленные вдоль одной прямой (§ 12); силы, линии действия которых пересекаются в одной точке (§ 13 и 14), и силы параллельные друг другу (§ 19). Все рассмотренные случаи являются частными. В технике встречаются такие задачи о равновесии тел, когда на них одновременно действует несколько сил, произвольно рас­ положенных в плоскости. Линии их действия направлены под углом друг к другу и не пересекаются в одной точке. Конечно, некоторые из сил могут быть параллельными друг другу или пересекаться в одной точке.

На рис. 50, а показана затяжка ключом болта резьбо­ вого соединения. Между ключом и болтом всегда имеется незначительный зазор. При повороте ключа произойдет контакт с болтом в местах А и Б его боковых граней (рис. 50, б). В результате на ключ действуют следующие силы: сила Рг со стороны руки (рис. 50, в), направленная

70

перпендикулярно к рукоятке; силы F\ и F3co стороны болта, параллельные друг другу и перпендикулярные к поверх­ ностям зева ключа; силы трения Ft и Рь, препятствующие проскальзыванию поверхностей зева ключа относительно боковых граней болта, направленные вдоль поверхностей зева и параллельные друг другу.

Из приведенного примера видно, что силы, действующие на тело, могут быть разнообразными.

Рис. 50. Силы, действующие на ключ при затягивании болта:

а — схема затягивания, б — определение точек приложения сил, в — схема действия сил

Нельзя ли заменить действие большого числа сил на тело таким образом, чтобы число сил уменьшилось, а их суммарное действие на тело осталось прежним?

Для ответа на заданный вопрос рассмотрим сначала подробнозадачу о действии силы на балку (рис. 51). Пусть сила F приложена к концу балки, а нам нужно выяснить, какое действие она оказывает на стену, в которой защемлена балка (рис. 51, а). Очевидно, что не нарушая действия силы F на абсолютно твердое тело, можно добавить к этой силе любуюуравновешенную систему сил. Добавим в точке О силы F и F' одинаковой величины и противоположного направления. От этого равновесие твердого тела не нару­ шится. Действие одной силы F, приложенной в точке А, в точности равно действию трех сил: силы F, приложенной

71

в точке А; силы F, приложенной в точке О, и силы F', также приложенной в точке О (рис. 51, б). Заметьте, что сила F, линия действия которой проходит через точку А, и сила F', линия действия которой проходит через точку О, образуют пару сил. Действие на тело пары сил характеризуется мо­

ментом пары М. Величина момента пары равна М0 = — F -I, где / — плечо пары (рис. 51, б, в). Вместо действия трех сил, а значит и дей­ ствия одной силы, приложенной в точке А, мы можем рассматри­ вать действие на тело одной силы F, приложенной в точке О, и пары сил, момент которой равен М0 = —F •/.

72

В)

Рис. 52. Упрощение системы сил, действующей на тело:

о — исходная система сил, б — схема определения главного вектора

системы сил, в — схема результирующего действия

щий начало первого вектора Fx с концом последнего век­

R' = 2Ft.

Понятие главного вектора сил, действующих на тело, отличается от понятия равнодействующей тех же сил.

73

Величина главного вектора сил равна величине равнодей­ ствующей, одинаковы и их направления, но линии их дей­ ствия различны, так как точка О, в которую переносили силы, была выбрана произвольно. Можно было бы выбрать вместо точки О другую точку и линия действия главного вектора сил изменилась бы, пройдя через эту новую точку. Только в том случае, когда все действующие силы сходятся в одной точке, вектор равнодействующей и главный вектор сил совпадут и линия их действия будет одной и той же. Величина и направление главного вектора R' не зависят от расположения точки, в которую переносятся силы. От рас­ положения этой точки зависит лишь линия действия глав­ ного вектора сил.

Теперь рассмотрим все присоединенные пары с момен­ тами Мх, М2, М3 и М4 . В § 21 было установлено, что момент пары равен сумме моментов сил, составляющих пару, отно­ сительно выбранной оси.Все силы F[, F2, F3 и F'b входящие в состав присоединенных пар, проходят через точку О. Поэтому моменты указанных сил равны нулю. Следова­ тельно, моменты присоединенных пар равны соответствую­

главным моментом данной системы сил относительно вы­ бранной оси:

M0 = 2Mi.

Индекс о в обозначении главного момента М0 показы­ вает, что силы переносятся в точку О (рис. 52, в). Эту точку обязательно нужно указать, так как численное значение и знак главного момента зависят от расположения точки. С изменением ее положения изменяются расстояния йг от точки до линий действия сил Fu а значит, и моменты сил Mi,

как говорят, от приведения системы сил к одной точке, можно сформулировать так.

Действие на тело системы сил, произвольно расположен­ ных в плоскости, всегда можно заменить действием одной силы, равной главному вектору этой системы и приложенной

74

не главного момента, но противоположного знака. Если будут соблюдены указанные условия, то действие силы F, приложенной в точке А, полностью компенсирует дей­ ствие всех остальных сил. Перенося силу F из точки А

75

в точку О, получим силу, уравновешивающую все ос­ тальные силы, сходящиеся в одной точке и равные глав­ ному вектору сил, а также пару, уравновешивающую все присоединенные пары и равные главному моменту(рис. 53, б).

всех приложенных к телу сил, перенесенных в одну точку О, равна нулю.

Если построить многоугольник сил, сходящихся в точ­ ке О, то он окажется замкнутым. Это условие может быть выражно и в аналитической форме, наиболее удобной для решения задач.

В § 16 было доказано, что векторное равенство R' = 0

но той же оси. Поэтому равенство нулю главного момента

Для равновесия тела, находящегося под действием сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и доста­ точно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на две выбранные оси х и у равнялись нулю и алгебраическая сумма

76

Уравнения (19) называют общими уравнениями равнове­ сия тела и применяют при решении разнообразных задач.

Следует заметить, что не обязательно каждую задачу о равновесии тела решать с помощью двух уравнений проек­ ций и одного уравнения моментов. При равновесии тела рассматривается сумма моментов относительно оси, про­ ходящей через точку О, которая выбирается произвольно. Поэтому вполне допустимо вместо одного или обоих урав­ нений проекций сил применить одно или два уравнения моментов сил относительно оси, проходящих через какиенибудь две другие точки. Выбирая три точки Л, Б и С, не лежащие на одной прямой, получим уравнение равнове­ сия тела в виде трех уравнений моментов сил относительно осей, проходящих через эти точки:

Для равновесия тела, находящегося под действием сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и доста­ точно, чтобы порознь равнялись нулю суммы моментов всех сил относительно каждой из осей, проходящих через три про­ извольно выбранные точки, но не лежащие на одной прямой.

Выбирая какие-нибудь две точки Л и В и одну ось проек­ ций, не перпендикулярную к прямой АВ, получим уравне­ ние равновесия еще в одной форме:

Системы уравнений (19), (20) и (21) равносильны друг другу. При решении задач используются те уравнения, которые оказываются более простыми и удобными в кон­ кретном случае.

Следует отметить, что можно написать сколько угодно уравнений равновесия, взяв для этого самые разнообразные оси проекций сил или оси, относительно которых опреде­ ляются моменты сил (ведь они выбираются произвольно).

77

Однако независимыми из составленных уравнений будут только три уравнения для общего случая расположения действующих на тело сил или два уравнения для частных случаев: параллельных сил или сил, линии действия кото­ рых пересекаются в одной точке. Все остальные уравнения всегда можно свести к этим трем или двум (в частных слу­ чаях) независимым уравнениям, выполнив соответствующие математические преобразования. Другими словами, не удается найти какие-либо новые уравнения, которые бы после упрощений отличались от уравнений (19), (20) или (21).

Пользуясь методами статики абсолютно твердого тела, можно решить только такие задачи, в которых число неиз­ вестных не превышает числа независимых уравнений. Эти задачи называют статически определимыми.

§ 24. Замечания к решению задач о равновесии тела под действием сил, произвольно расположенных

в плоскости

При решении задач о равновесии тела целесообразно придержи­ ваться определенного порядка. Прежде всего необходимо хорошо изу­ чить условия задачи и уяснить, что именно является неизвестным. Это позволит сформулировать цель, которая должна быть достигнута в ре­ зультате решения задачи. Затем нужно сокращенно записать условия задачи, выбрав соответствующие обозначения заданных величин и сделав ясный схематический чертеж или рисунок. После этого пооче­ редно выделяют тела, равновесие которых необходимо рассматривать в данной задаче, освобождая их от связей и заменяя действие связей соответствующими силами реакций. На чертеже или рисунке схема­ тично наносят все векторы внешних сил, включая силы реакций связей, действующих на тело. Как правило, силы реакций связей бывают неизвестны. В большинстве задач требуется определить их величины и направления.

тела в геометрической или аналитической форме, изученные выше. Наиболее удобно использовать условия равновесия тела в аналитиче­ ской форме. При этом можно рекомендовать следующие приемы, облег­ чающие решение.

Оси проекций сил выберем взаимно перпендикулярными, а одну из осей расположим перпендикулярно к линии действия одной из неиз­ вестных сил. В этом случае проекция указанной силы исключается из соответствующего уравнения равновесия и решение уравнений упро­ щается.

Ось, относительно которой вычисляются моменты действующих сил, выгоднее проводить через точку, лежащую на линии действия неизвестной силы, а еще лучше через точку пересечения линий дейст­ вия двух неизвестных сил. При этом момент каждой неизвестной силы будет равен нулю вследствие равенства нулю плеча силы и эта неизвест­ ная сила исключается из уравнения моментов.

78

Условия равновесия тела, выраженные в аналитической форме, выбирают в виде одной системы уравнений из числа трех возможных систем, приведенных в § 23. Выбирают те уравнения, которые позво­ ляют наиболее просто решить данную задачу.

§25. Задачи с решениями

За д а ч а 4. Нажимное устройство машины (рис. 54) состоит из

Нажимное устройство представляет собой два ры­ чага, соединенные общей тя­ гой, являющейся для каж­ дого из них стержневой связью. Для решения задачи необходимо рассмотреть рав­ новесие рычага АС, затем тяги CD, рычага DP и пол­ зуна L . На рис. 55 выделен каждый элемент нажимного устройства. Все связи, огра­ ничивающие движение, заме­ нены силами реакций связей.

Условие равновесия ры­ чага АС запишем в виде суммы моментов сил относи­ тельно оси, проходящей че­ рез точку В:

в равновесии только в том случае, если на него со стороны рычага DP будет действовать сила, равная по величине Fc = 300 Н, направлен­ ная вертикально вниз. В свою очередь, стержень CD действует на ры­ чаг DP с силой, равной Fc = 300 Н и направленной вертикально вверх, т. е. FD = 300 Н.

Условие равновесия рычага DP запишем в виде суммы моментов сил относительно оси, проходящей через точку Е:

79