книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

В случае равномерного движения вдоль прямой вместо векторов перемещения и скорости можно рассматривать алгебраические значения величин перемещения и скорости. Величины Д5 и v считают положительными, если направ­ ление движения совпадает с выбранным положительным направлением прямой. При движении в противоположную сторону AS и у считают отрицательными.

§ 38. Графики пути и скорости равномерного движения

Чтобы полностью охарактеризовать прямолинейное рав­ номерное движение точки, достаточно воспользоваться уравнениями (26) и (26а) предыдущего параграфа. Однако этот способ не является единственным. Например, удобно использовать графические изображения.

На рис. 79, а показан график, выражающий зависимость скорости от времени для стола продольно-строгального станка. По горизонтальной оси графика (оси абсцисс) отложено время t, а по вертикальной (оси ординат) — вели­ чина скорости v. Любые величины t и v представляются в виде отрезков, отложенных по соответствующим осям.

масштаб \iv скорости : vр. х = Мч>" OA.

Масштаб скорости \iv показывает, сколько единиц ско­ рости содержится в единице деления оси ординат. На прак­ тике графики обычно строят на бумаге с миллиметровой сеткой. График должен быть удобным для работы и хра­ нения. Поэтому, как правило, максимальные отрезки имеют длину порядка десятков и сотен миллиметров. Исходя из перечисленных соображений, за единицу деления осей координат целесообразно принять 1 мм. Размерность масштаба скорости получим, разделив размерность скорости

ММ

м

мин

И Т. Д .

L ММ

100

Для рассматриваемого примера принято OA = 15 мм и

м

Теперь легко определить действительную величину скорости рабочего хода vp- х = \iv-OA = 2-15 = 30 м/мин.

•б)

Рис. 79. Графики зависимости скорости v от времени t (а) и пути S от времени t (б) для стола продольно-строгального станка

По горизонтальной оси графика (см. рис. 79, а) отложены отрезки, пропорциональные времени /. Чтобы определить

Размерность масштаба времени найдем, разделив еди­ ницу времени на единицу деления оси абсцисс, например = [с/мм]. Для рассматриваемого примера принято

101

изменяет свое направление движения и перемещается в про­ тивоположную сторону. Это означает, что направление скорости холостого хода будет противоположно направле­ нию скорости рабочего хода. Пусть величина скорости холостого хода равна vx_х = 40 м/мин. На графике скорости для характеристики холостого хода нужно отложить отрезок

5,^2 = — = ? = 20 мм

в сторону отрицательных значений скорости (вниз от оси абсцисс).

В интервале /2 < t < t2 скорость vx_х не изменяется. Стол станка движется равномерно и прямолинейно. Затем холостой ход опять сменяется рабочим, и цикл повторяется.

Большое удобство графического изображения состоит в том, что оно позволяет сразу видеть, когда движение совершается быстро и когда медленно. Чем больше скорость, тем больше соответствующая ордината на графике, выра­

построенного графика. С его помощью можно определить путь, проходимый столом станка за любой промежуток времени. Выберем произвольный промежуток времени,

102

Произведение масштабов скорости \iv и времени \х( обозначим [i's = u^-u./ и назовем полученную величину Us масштабом перемещения или масштабом пути. Теперь перемещение AS представим в виде AS = \i's-f.

Из этого уравнения следует, что величина перемещения пропорциональна площади /, выделенной на графике ско­ рости. Коэффициент пропорциональности равен масштабу пути и,,.

м

с Для этого достаточно перевести минуты в се-

мм

мм

кунды: щ, = 2 — = 2. J JL

мм_ 60 мм

Теперь можно определить величину пути, пройденного столом станка при рабочем ходе за время, равное 1 с:

ASi = us • / = 0,00333 -150 = 0,5 м.

Аналогично вычислим величину пути, пройденного за любой промежуток времени. Например, за время рабочего хода будет пройдено расстояние: А5 = ц'3 •/ = \i's • OA • ОБх = = 0,00333-15-40 - 2 м.

При равномерном движении площадь, ограниченная графиком зависимости скорости от времени, а значит, и путь изменяются со временем. При скорости рабочего хода

Теперь можно построить новый график, выражающий зависимость пройденного пути 5 от времени t. Как мы уже знаем, для построения графика нужно выбрать масштабы

103

по осям координат. Зададимся масштабом времени \it — = 0,1 с/мм и масштабом пути \xs = 0,1 м/мм. Обратите

внимание на то, что сейчас строится новый график и для • его построения выбираются новые удобные масштабы. Величину масштаба времени ц{ выберем равной величине масштаба времени, принятой при построении графика 1 скорости. Это облегчит сравнение графиков скорости и пути. Масштаб пути \is = 0,1 м/мм представляет новую

пропорциональна соответствующей площади под графиком скорости.

Переведем значения t и S, указанные в таблице, в длины отрезков по осям абсцисс и ординат, применив выбранные

масштабы: величина абсциссы равна — мм и величина

ординаты — мм. Полученные значения запишем в таблицу:

По этим данным строим график, выражающий зависи­ мость пройденного пути S от времени /. На рис. 79, б изоб­ ражена указанная зависимость для скорости рабочего хода станка wp х = 30 м/мин. Кружками показаны точки, соот­ ветствующие данным таблицы. Все точки находятся на одной прямой ОВх. Конструкция продольно-строгального станка выполнена так, что в момент времени tx происходит изменение направления движения. Расстояния, отсчиты­ ваемые от начального положения стола, начинают умень­ шаться. Поэтому график пути для холостого хода, осуще­ ствляющегося с постоянной скоростью vx_х = 40 м/мин, будет изображаться прямой Bj.B2 . Когда закончится один цикл перемещения стола, результирующее перемещение окажется равным нулю. Стол станка возвратится в исход­ ное положение. На графике пути это соответствует времени 4, когда ордината точки Вг равна нулю. Затем цикл работы станка повторяется, повторяется и график пути с измене­ нием времени. Прямая В2В3 соответствует новому рабочему ходу и т. д.

104

Выше мы видели, что по графику зависимости скорости от времени можно судить о величине скорости и ее направ­ лении в любой момент времени, а также о пройденном пути. Теперь рассмотрим построенный график зависимости прой­ денного пути от времени. Можно ли по этому графику установить величину скорости? Для ответа на заданный вопрос рассмотрим наклон графика пути, его «крутизну». Выберем на графике (см. рис. 79, б) две произвольные точки.

отрезков и физические величины связаны между собой посредством масштабов:

Величины этих двух отрезков определяют наклон гра­ фика или его крутизну. Любой наклон графика по отно­ шению к выбранным осям координат количественно можно характеризовать или углом, или одной из тригонометри­ ческих функций угла. В нашем случае отношение двух отрезков Д3Д2 к ДХД3 есть тангенс угла а± наклона (см. рис. 79, б):

ДзДъMills = tgai.

Выполним преобразования с учетом соотношений, приве­ денных выше:

В общем случае для любой задачи, в которой точка или тело движутся равномерно, величина скорости v пропор­ циональна тангенсу угла ее наклона графика, выражаю-

105

щего зависимость перемещения AS от времени t, к оси абсцисс:

v = - tea .

Иногда сокращенно говорят так: величина скорости пропорциональна наклону или «крутизне» графика пути.

Коэффициент пропорциональности равен отношению Ь?_

масштабов пути и времени.

Для рассматриваемого примера определим по рис. 79, б

В заключение напомним, что графики пути и скорости являются наглядным выражением аналитической зависи­ мости — уравнения равномерного движения. Все задачи, связанные с равномерным движением, могут быть решены или аналитически, или графически. Предпочтение нужно отдать тому способу, который в данных конкретных усло­ виях проще и нагляднее.

§ 39. Неравномерное движение точки

Выше был рассмотрен самый простой случай движения, когда скорость для любого момента времени оставалась постоянной. Теперь обратимся к более сложному случаю, когда скорость может изменяться со временем. Пусть вектор скорости изменяется только по величине, а направление его сохраняется. Условие постоянства направления вектора скорости означает, что точка движется прямолинейно. Траектория точки и в этом случае будет прямой линией.

Однако, зная траекторию, мы ничего не можем сказать о том, быстро или медленно проходила точка отдельные участки траектории, останавливалась она или нет, и т. д.

Величина средней скорости имеет тот смысл, что если бы точка двигалась равномерно со скоростью 0с р , то перемеще­ ние AS за промежуток времени будет тем же самым, что

106

и при действительном движении точки с переменной ско­ ростью. При неравномерном движении скорость точки будет разной в каждом месте траектории и в каждый момент времени. Однако, если выбрать промежуток времени А/ очень маленьким, то можно считать, что в данный момент

Одним из самых простых примеров' неравномерного прямолинейного движения является свободное падение тела малых размеров, которое можно рассматривать как мате­ риальную точку. Пусть выполнены измерения расстояний S, пройденных точкой, начавшей движение из состояния покоя, и времени /. Численные значения S и / приведены ниже:

уменьшать промежутки времени. За промежуток времени от / = 0,5 с до t = 1 с, т. е. Л/2 = 0,5 с, перемещение равно

= 7,355 м/с.

Аналогично подсчитаем vcp и для остальных интервалов времени:

от / = 0,9 с до / = 1 c:A/ s = 0,l с; AS3 = 4,9033-

107

мится отношение -г— при неограниченном уменьшении At.

§ 40. Ускорение в направлении траектории

При неравномерном движении точки ее скорость непре­ рывно изменяется. Величина, по которой судят об измене­ нии скорости, называется у с к о р е н и е м . Пусть в момент

с направлением вектора изменения скорости. В слунае прямолинейного движения векторы v и Av направлены вдоль прямолинейной траектории. Вектор ускорения в на­ правлении траектории обычно отмечают индексом «т», т. е.

108

величину а с р , мы заметим, что вектор -ду будет изменяться

все меньше и меньше и, в конце концов, изменение пере­ станет обнаруживаться. Другими словами, при неограничен­ ном уменьшении промежутка времени At отношение

стремится к некоторой определенной векторной величине, которую называют м г н о в е н н ы м у с к о р е н и е м . Мгновенное ускорение с7т — это вектор, величина которого равна отношению изменения скорости к бесконечно малому

Таким образом, ускорение характеризует быстроту изме­ нения скорости движения точки. В свою очередь, скорость характеризует быстроту изменения перемещения точки с течением времени.

Мгновенное ускорение в момент времени t представляет собой среднее ускорение в том же направлении за очень короткий промежуток времени, включающий момент вре­ мени t. Если ускорение не изменяется со временем, то сред­ нее и мгновенное ускорения равны друг другу в любой

противоположны друг другу, то скорость точки непрерывно уменьшается. Происходит р а в н о з а м е д л е н н о е дви­ жение.

Для равнопеременного движения величины среднего и мгновенного ускорения равны в любой момент времени.

109