книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

G—N и P—T, моменты которых равны. Пара сил Р—Т стремится перекатывать тело, а другая пара G — N препят­ ствует этому движению, и момент этой пары сил называется м о м е н т о м т р е н и я к а ч е н и я . Поскольку именно этот момент и характеризует сопротивление перекатыванию (трение качения), то выясним, от каких факторов зависит его величина.

Момент любой пары сил зависит от величины сил и плеча пары. Следовательно, и в нашем случае это справедливо. Но если величина сил G и N зависит лишь от силы тяжести, действующей на цилиндр, то величина плеча пары К в пер­ вую очередь зависит от твердости плоскости. Чем тверже материал, тем меньше деформация и меньше величина К- Величину К называют к о э ф ф и ц и е н т о м т р е н и я к а ч е н и я . В отличие от безразмерного коэффициента трения скольжения / коэффициент трения качения — вели­ чина, имеющая размерность длины.

Трение при качении в большинстве случаев во много раз меньше трения скольжения, поэтому на практике всегда

90

кулярно наклонной плоскости (эта сила будет уравновешиваться реак­ цией плоскости — рис. 70).

2. Определим условия, при которых движение будет равномерным. Очевидно, условие следующее: величина движущей силы равна вели-

чине силы сопротивления, т. е. Fa3 = Fconp. Покажем на схеме силу сопротивления, ею является сила трения скольжения (рис. 71). Таким

образом, Рх = /Чр-

Отсюда получим: G • sin a — f • G • cos а или / = t g a .

Если же / > t g a движение невозможно (самотормозящая плоскость).

91

З а д а ч а 9. Стальной слиток поднимают с помощью клещей (рис. 72). Определить необходимое для этого значение коэффициента трения скольжения между клещами и слитком, если АВ = 4 а и

ВС=а.

1. Намечаем общую схему решения. Слиток может удерживаться клещами лишь в том случае, если на поверхностях, которые мы условно заменяем центрами С и С , возникнут силы трения. Но возникновение сил трения невозможно без сил нормального давления. Следовательно, в этих точках должны существовать эти силы. Поскольку точки С и

Сявляются концами рычагов, усилия в этих точках могут возник­

Рассматриваем равновесие узла О. В точке О сходятся три силы. Это реакции трех связей. Величина и направление одной реакции уже

92

Раздел второй

КИ Н Е М А Т И К А

Глава пятая ВВЕДЕНИЕ В КИНЕМАТИКУ

§ 35. Содержание и основные понятия кинематики

Чтобы обработать заготовку на металлорежущем станке, нужно предварительно настроить станок. В коробке скоро­ стей и в механизмах подачи детали, передающие вращение от электродвигателя, соединяют так, что обеспечиваются вполне определенные перемещения заготовки и инструмента

чающий механическое движение на основании законов

Так как при движении тела различные его точки могут двигаться по-разному, то в кинематике сначала изучается движение более простого объекта, а именно материальной точки.

М а т е р и а л ь н о й т о ч к о й называют такое тело, размерами и формой которого можно пренебречь в данной задаче. Например, изучая движение искусственного спут­ ника Земли, можно пренебречь его линейными размерами по сравнению с теми большими расстояниями, которые он проходит. В этой задаче спутник может рассматриваться как материальная точка. Материальную точку можно представить и как небольшую составную часть тела.

Введение понятия материальной точки вносит значитель­ ное упрощение в исследование движения тел. Для решения задач о движении тела в целом достаточно знать движение одной или двух его точек.

Для описания движения точки нужно найти изменение

заметить только по отношению к другим точкам или телам, которые называют с и с т е м о й о т с ч е т а . Стол про­ дольно-строгального станка перемещается относительно станины. Деталь, закрепленная на столе, неподвижна

94

относительно него и в то же время перемещается вместе с ним. Поэтому говорят, что любое движение или покой (как частный случай движения) являются относительными. Рассматривая движение точки, всегда нужно указать, по отношению к чему, по отношению к какой системе отсчета, происходит движение.

Понятие пространства, как убеждает повседневный опыт, сводится к расстоянию. Измеряя в каждом конкретном слу­ чае расстояния и применяя законы и правила геометрии, мы можем судить о том, где находится рассматриваемая точка: в каком месте пространства относительно выбранной системы отсчета. Для измерения расстояний нужно взять единицу длины и сосчитать, сколько этих единиц уклады­ вается на интересующем нас расстоянии. Из курса физики известно, что за основную единицу длины принят метр (сокращенное обозначение м). Применяют также единицы длины, образованные от метра (метрические единицы

Выбор системы отсчета и измерение расстояний еще не позволяют судить о движении точки. Только измерив время,

втечение которого произошло изменение положения точки

впространстве, можно заключить, каким образом проис­ ходило движение. Измерение времени также основано на принципе счета. Чтобы измерить тот или иной промежуток времени, нужно сосчитать число единиц времени с помощью часов. В качестве основной единицы времени применяется

секунда (сокращенное обозначение с). Кроме секунды, в технике и быту используются и другие единицы времени

Таким образом, в механике движение рассматривается как перемещение отдельных материальных точек или тел (систем материальных точек) в пространстве с течением времени.

§ 36. Перемещение точки

При каждом движении точка описывает некоторую линию — т р а е к т о р и ю д в и ж е н и я . Рассмотрим, например, качение колеса по горизонтальной дороге, происходящее без проскальзывания. Будем сначала на-

95

блюдать за точкой Оъ через которую проходит ось враще­ ния колеса (рис. 77). В любой момент времени эта точка находится от земной поверхности на расстоянии, равном радиусу г колеса. Поэтому точка Ог движется по прямой линии, параллельной плоскости дороги. Траектория дви­ жения точки Ох является прямой линией, или, как говорят, точка совершает п р я м о л и н е й н о е д в и ж е н и е .

Чтобы описать движение, нужно знать, как перемеща­ лась точка по траектории с течением времени. Для этого разметим траекторию следующим образом. Выберем на траектории произвольную точку О — начало отсчета — и отмерим от нее вдоль траектории расстояния S до разных

\

Рис. 77. Векторы перемещений при равномерном прямолинейном дви­ жении точки

мест траектории. Теперь у нас имеется система отсчета для измерения расстояний 5, а также часы для измерения вре­ мени t. В начальный момент наблюдения, или, как говорят,

правлении вдоль траектории. Следовательно, для характе­ ристики движения точки можно использовать величину, имеющую длину отрезка S± — S0, соединяющего начальное положение 50 точки с ее положением Sx в интересующий нас момент времени, причем этот отрезок направлен в сто­ рону движения.

Изучая статику, мы выяснили, что величины, характе­ ризующиеся и численным значением, и направлением, называются векторами. Вектор, направленный из началь­ ного положения точки в конечное положение точки на траектории, называется п е р е м е щ е н и е м т о ч к и .

96

Перемещение точки происходит за некоторый промежуток времени.

В случае прямолинейного движения величина вектора перемещения равна пройденному пути Sx — S0 за проме­ жуток времени tx — t0. В следующий промежуток времени 4 — 4 движение точки будет характеризовать вектор пере­

значения разности двух величин применяют символ А (заглавная греческая буква «дельта»). Поэтому промежуток

Рис. 78. Векторы перемещений при криволинейном, движении точки

Таким образом, в общем случае перемещение точки за любой промежуток времени At есть вектор AS.

Рассмотрим теперь движение точки М, расположенной на ободе колеса (рис. 78). При качении колеса точка М описывает относительно земной поверхности кривую линию

начальное и конечное положения точки на траектории. За

ном движении. При криволинейном движении длина пути, пройденного точкой вдоль траектории, отличается от длины вектора перемещения. Например, дуга ММХ больше отрез­ ка AS1 ( выражающего величину перемещения ASX. Однако движение точки вполне определено, если мы знаем в каждый промежуток времени А^ перемещение AS.

Глава шестая ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

§ 37. Равномерное движение точки

Пусть точка движется по прямой линии. Так движется каждая точка токарного резца при продольной или попе­ речной подаче, кончик карандаша, перемещающегося вдоль линейки. П р и р а в н о м е р н о м прямолинейном дви­ жении перемещения AS точки за равные промежутки вре­ мени всегда одинаковы. Выполнение этого условия озна­ чает, что на траектории движения места, последовательно занимаемые точкой, расположены равномерно, т. е. на равном расстоянии друг от друга.

Проведенные наблюдения за движущейся точкой и коли­ чественная оценка движения — измерения расстояний и времени — позволяют определить скорость точки. Выбираем

а направление перемещения показывает направление новой полученной величины v. Из этих рассуждений следует, что

скорость v является вектором.

По определениюравномерного прямолинейного движе­ ния перемещения AS точки всегда одинаковы за произволь­ ные 'промежутки времени At. Поэтому скорость v согласно выражению (25) будет постоянной. С течением времени скорость v точки не изменяется ни по величине, ни по на­ правлению. -

Для измерения скорости применяют единицу скорости. В соответствии с формулой (25а) всегда должно выпол­ няться соотношение:

98