книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

Здесь знаки минус перед членами Fx н ап показывают, что векторы Рх и ан направлены в сторону, противоположную вектору Р. Величина силы тяжести равна Р —- mg, а ве­ личина центростремительного ускорения ап = °~ . Подста­ вим эти значения в выражение (52а):

а радиус вращения г — 100 мм. При этих числовых значе­

ление вектора Fx, приняв его направленным вверх. На стержень действует сила — F x (в соответствии с третьим за­ коном Ньютона). Ее величина равна также 3mg и направ­ лена она от оси вращения, т. е. стержень растянут (рис. 116, в).

Теперь рассмотрим другой случай, когда тело находится на вертикальной оси вверху — в точке С2 (показано штри­ хом на-рис. 116, а). У нас нет никаких оснований утвер­ ждать, что тело деформировано точно таким же образом,

в выбранном положительном направлении. Поэтому имеем следующее алгебраическое равенство:

Выполнив преобразования и подставляя численные значения скорости v и радиуса г, принятые выше, получим:

180

Мы получили величину силы упругости F2 в 3 раза мень­

мы можем судить о силе, действующей на вал центробежной машины. Когда груз находится в точке Си стержень растя­ нут силой 3mg. Эта сила передается на горизонтальный вал и изгибает его вниз. При положении груза в точке С2 стер­ жень также оказывается растянутым, а нагрузка на вал машины изгибает его вверх. Таким образом, при движении груза от точки С\ до точки С2 нагрузка на вал изменяется по величине от 3 mg до mg и направлена так, что сначала изгибает вал вниз (в точке Cj), а затем изменяет свое направ­ ление и начинает изгибать вал вверх (в точке С2 ). При дви­ жении груза от точки С2 до точки С\ процессы происходят в обратном порядке. Нагрузка на вал увеличивается от mg до 3mg и направлена так, что в точке С2 изгибает вал вверх, а в точке Сх изгибает вал вниз. Как только груз снова ока­ жется в точке С1 ( все рассмотренные выше процессы начнут повторяться. В течение одного оборота происходит полный цикл изменения нагрузки на вал и по величине, и по на­ правлению. Подсчитаем, как часто будут происходить такие циклы. Найдем угловую скорость со при известных линей-

ной скорости v и радиусе г: ® — v " 60840 1 = Ра Д/, с - За один оборот тело поворачивается на угол ср = 2я рад. Поэтому время одного оборота равно: t = ^ = ^ я» 0,45 с.

Следовательно, весь цикл изменения нагрузки на вал длится 0,45 с. Сила, действующая на вал, воспринимается подшипниками, в которых он вращается. Частое изменение величины и направления сил приводит к неравномерной нагрузке подшипников, что неблагоприятно сказывается на сроке их службы.

§ 71. Об уравновешивании вращающихся масс

Явления, с которыми мы познакомились, разбирая в предыдущем параграфе пример с вращением тела, закрепленного на стержне, будут иметь место во всех случаях, когда центр тяжести тела не лежит на оси вращения.

На рис. 115 показана деталь, вращающаяся вокруг оси О — О. Центр тяжести С детали находится на расстоянии гс от оси. Рассмотрим четыре положения детали, каждое из которых отличается от предыду-

181

щего поворотом на угол, равный 90°. На деталь действуют сила тяжести

величиной Р = mg и центростремительная сила F — m •— = / л г с с о 2 .

гс

Складывая эти силы, как это было сделано в § 70, и перенося их равно­ действующую из центра тяжести С в точку О, найдем главный вектор сил R' и главный момент М0, действующие на связи, для каждого из положений тела (о переносе сил см. § 22).

Рис. 117. Изменение главного вектора силы и главного момента при вращении детали вокруг оси, не проходящей через центр тяжести С тела, для различных (а — г) положений тела

Для положения центра тяжести С на вертикальной оси имеем главный вектор сил, равный R[ (рис. 117, а) и R'3 (рис. 117, в), и глав­ ный момент, равный нулю(УИ0 = 0), так как все силы направлены по одной прямой.

Для положений центра тяжести С на горизонтальной оси имеем величину главного вектора сил R'a и главный момент М0 (рис. 117, б),

RI и—Л40 _(рис. 117_, г). Величины главных моментов равны моментам пар сил F2 и F'2, Fi и F\. Силы, равные главному вектору сил, передаются на подшипники, в которых вращается деталь. Например, если деталь закреплена в патроне токарного станка, то подшипники шпинделя станка будут воспринимать силы, изменяющиеся по величине и напра­ влению в течение коротких промежутков времени. Такие условия ра­ боты значительно снижают срок службы подшипников (см. § 70).

Момент пары сил, равный величине главного момента М0, также изменяется по величине и направлению. Например, при расположении

182

центра тяжести момента С на горизонтальной оси справа от точки О (см. рис. 117, б) момент пары сил направлен против часовой стрелки. Если же точка С находится слева от точки О (см. рис. 117, г), то момент пары сил направлен по часовой стрелке. Это приводит к тому, что связи, обеспечивающие вращение детали (например, зубчатые колеса, ремни, цепи и т. п.), дополнительно нагружаются. Переменные по величине и

Рис. 118. Статическая балансировка детали

массу т, на ось вращения О (рис. 118). Добавим в точке А, лежащей на прямой ОС и удаленной от оси вращения О на расстоянии гА, дополни­ тельную массу тд так, чтобы выполнялось равенство тлгА = тгс. Практически это осуществляют добавлением к телу дополнительных масс или удалением некоторых масс. При этом величина центростреми­

Направления обеих сил противоположны друг другу. Следовательно, обе центростремительные силы f и f , взаимно уравновешены. Одно­ временно и моменты пар М д и М0 также уравновешивают друг друга, потому что они равны по величине и противоположны по направлению.

Следует отметить, что вращающиеся детали, даже если они по своей конструкции являются симметричными относительно оси (диски, зубчатые колеса, валы, шкивы и т. п.), вследствие некоторой неточ­ ности изготовления и в силу возможной неоднородности материала всегда имеют, центр тяжести, расположенный не на оси вращения.

Статическую балансировку деталей производят следующим обра­ зом. Деталь устанавливают на две параллельные и горизонтально рас­ положенные призматические линейки. Если деталь не имеет двух одинаковых цилиндрических поверхностей, которыми она может быть установлена на линейки, то ее укрепляют на тщательно изготовленной

183

цилиндрической оправке и затем оправку с деталью устанавливают на линейках (см. рис. 118). Под влиянием момента силы относительно

детали на линейках. Если после легкого толчка деталь останавливается в произвольном положении, то это означает, что ее центр тяжести рас­ полагается на геометрической оси вращения и соблюдается условие равновесия: т гА = тгс.

Вместо того чтобы добавлять массы в месте А, можно удалить не­ которую массу в месте, расположенном по ту же сторону от оси, что и центр тяжести С. Удаление материала производят сверлением отвер­ стий, фрезерованием или обтачиванием слоя материала.

Указанный способ балансировки применяют при индивидуальном производстве или ремонтных работах. При серийном и массовом про­ изводстве балансировку производят на специальных балансировочных станках.

Статической балансировкой ограничиваются, когда деталь по длине имеет небольшие размеры. Для деталей большой длины, например ро­ торов турбин, валов высокооборотных двигателей, барабанов и т. п., производят динамическую балансировку на специальных балансиро­ вочных машинах.

Через какой промежуток времени расстояние между телами станет равным 11 м?

Запишем условие задачи в краткой форме:

Так как по условию задачи известна разность расстояний, прой­ денных телами, то можно определить интересующую нас величину про­

Для равноускоренного движения с начальной скоростью, равной нулю, пути, пройденные телами, вычисляются по формулам:

По условию задачи S2 — Sl = S,

184

Таким образом,

Отсюда находим искомый промежуток времени t:

Определите скорость движения тела через 3 с, если в начальный мо­ мент времени тело было неподвижно. Укажите направление, в котором движется тело.

В соответствии со вторым законом Ньютона F = та, где F — равнодействующая всех сил, действующих на тело, и а — ускорение тела. Сначала найдем величину вектора равнодействующей силы. Так как обе силы согласно условию задачи направлены под прямым

Тело движется равноускоренно в направлении вектора равнодей­ ствующей силы F. Для равноускоренного движения с начальной ско­

на тележку, которая может двигаться по горизонтальному рельсовому пути. Масса системы равна 500 кг. Определите силу тяги двигателя, если тележка на пути 100 м набрала скорость 80 м/с. Тележка двига­

смещен относительно оси вращения на 5 мм. Обрабатывается цилиндри­ ческая поверхность диаметром 100 мм при скорости резания 200 м/мин. Определите силу, действующую на шпиндель станка. Груз какой массы нужно расположить на радиусе 400 мм, чтобы уравновесить действие

185

На шпиндель станка действует центробежная сила, тоже равная 1,11 кН. Для уравновешивания этой силы на планшайбе станка нужно по­ местить массу /яд в точке, лежащей на диаметре, проходящем через ось вращения и центр тяжести детали, со стороны, противоположной рас­

положению центра тяжести:

§73. Упражнения и вопросы для повторения

1.На материальную точку, движущуюся по инерции, начинает действовать сила постоянной величины, направленная в сторону, про­

тивоположную перемещению. Опишите дальнейшее движение точки.

2.На материальную точку, движущуюся по инерции, начинают действовать две силы, равные по величине и направленные в противо­ положные стороны. Изменится ли движение точки?

3.Приведите примеры явлений, в которых проявляется инертность

тел.

4.Почему опасно выходить на ходу из автомашины? В каком на­ правлении вы можете упасть?

6. Изменение скорости тела составляет 2,5 м/с в течение проме­ жутка времени, равного 1 с. Это изменение движения вызвала постоян­ ная сила. Затем точно такая же сила подействовала на другое тело и вызвала изменение его скорости на 3,5 м/с в течение 0,5 с. Найдите отношение масс обоих тел. Какое из двух тел имеет большую массу?

7. Сила, величина которой равна 50 Н, может сообщить массе тх ускорение 10 м/с2 , а массе т 2 ускорение 30 м/с2 . Какое ускорение под действием той же силы получат обе массы, если их соединить вместе?

8. На тело, имеющее массу 20 кг, действуют две силы, величина каждой из которых равна 50 Н. Найдите величину и направление ускорения тела для следующих трех случаев: силы действуют в одном направлении, в противоположных направлениях, под углом 90° друг к другу.

9. Автомобиль начинает движение из состояния покоя по горизон­ тальной дороге. Разгоняясь равноускоренно, он прошел расстояние 100 м за 10 с. Масса автомобиля равна 800 кг, а сила тяги — 1,8 кН. Чему равна сила сопротивления?

10. Лыжник, имеющий массу 70 кг, движется по ровной поверх­ ности с постоянной скоростью 12 м/с. Попадая неожиданно в сугроб, лыжник останавливается за 1,2 с. Определите среднюю силу тормо­ жения.

186

биль действует на мост, когда он проходит через его середину, если радиус кривизны середины моста равен 50 м.

13.Пассажиры самолетов не испытывают неприятных ощущений, если их вес не увеличивается более чем вдвое. Какое максимальное ускорение в горизонтальном полете допустимо при этом ограничении?

14.К концу нити длиной 1,2 м привязан шарик, имеющий массу

0,1 кг. Другой конец нити закреплен на оси. Между осью и шариком к нити прикреплены два таких же шарика на расстоянии 0,4 и 0,8 м от оси. Вся система вращается в горизонтальной плоскости, причем внешний шарик движется со скоростью 6 м/с. Найдите натяжение каждого из участков нити. Где произойдет обрыв нити, если постепенно ускорять вращение?

15. С какой скоростью должен выполнять летчик петлю Нестерова радиусом 1 км, если в верхней точке петли он не испытывает реакции ни от сидения, ни от привязной системы?

16.В чем различие между центростремительной и центробежной

силами?

17.Почему иногда «заносит» конькобежца на повороте дорожки?

Глава одиннадцатая ОСНОВЫ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 74. Твердое тело как система материальных точек

В задачах, рассмотренных выше, размеры и форма дви­ жущихся тел не играли существенной роли. Мы изучали силы, действующие на тело, находили зависимость между силами и ускорением тела, принимая его за материальную точку. В технике встречается ряд случаев, когда это ока­ зывается недостаточным, так как именно размеры и формы тел определяют характер интересующего нас движения. Например, оказываются весьма важными для надежной ра­ боты двигателя внутреннего сгорания размеры и форма коленчатого вала, шатунов и поршней. То же самое отно­ сится к деталям часовых механизмов, всевозможных меха­ нических регуляторов, приборов и т. д. В дальнейшем бу­ дем рассматривать недеформируемые тела, или, как гово­ рят, абсолютно твердые тела.

Для того чтобы можно было воспользоваться уже из­ вестными закономерностями движения, полученными для материальной точки, мы можем мысленно разделить рас­ сматриваемое тело на такие отдельные элементы, чтобы раз­ меры и форма каждого из них не играли роли в движении элементов. Например, при рассмотрении вращения ротора турбины размеры элементов должны быть намного меньше наружного диаметра ротора, скажем доли миллиметра по

187

сравнению с дециметрами и метрами. Таким образом, за­ дачу об изучении движения твердого тела в механике за­ меняют задачей об изучении движения большого числа материальных точек, т. е. задачей, которую мы уже решили. При этом, чтобы найти движение твердого тела, нам не нужно знать внутренние силы, действующие между эле­ ментами, составляющими тело. Согласно третьему закону Ньютона все они взаимно уравновешиваются.

При поступательном движении твердого тела все его точки движутся одинаково (см. § 49). Поэтому все практи­ ческие задачи об определении движения поступательно перемещающегося тела можно решить методами-, рассмот­ ренными выше.

При вращательном движении тела отдельные его точки движутся по-разному, поэтому необходимо получить новые зависимости для данного случая.

§ 75. Основные уравнения динамики для вращательного движения твердого тела

Рассмотрим вращательное движение твердого тела. Мы знаем, что это движение характеризуется тем, что остаются неподвижными все точки тела, лежащие на прямой, назы­ ваемой осью вращения. Примеры вращательного движения были приведены в §50 и 51. Теперь мы должны установить, какие физические величины характе­ ризуют вращение твердого тела, и выяснить' зависимость между

ними.

Одной из величии, опреде­ ляющих вращение тела, являет­ ся момент силы. Напомним, что величиной момента силы относи­ тельно какой-либо оси называет­ ся произведение величины силы

на длину перпендикуляра, опущенного из точки О, через которую проходитесь, на линию действия силы (см. § 17).

Представим вектор внешней силы F в виде суммы век­ торов FT и Ри, проходящих через точку А и направленных вдоль касательной Т и нормали Я: F = FT + Fn (рис. 119). Найдем величину моментов сил FT и Ри относительно оси вращения. Момент силы /*\ относительно оси вращения

188

в соответствии с определением момента силы равен:

Кроме внешней силы F, на тело действуют силы упруго­ сти со стороны связей (реакции связей) в тех местах, где рас­ положены подшипники. Подшипники фиксируют ось враще­ ния в пространстве. Они позволяют телу свободно вра­ щаться, но не допускают никаких поступательных перемеще­ ний тела. Величины моментов сил реакций связей равны нулю, так как их линии действия проходят через ось враще­ ния. Таким образом, момент относительно оси вращения создает только составляющая F T внешней силы F .

Теперь разобьем все твердое тело на отдельные малые элементы и применим к каждому элементу второй закон Ньютона. В общем случае на каждый элемент действуют внешняя сила Ft и внутренние силы ft со стороны других элементов тела, поэтому

FiJrfi = m i - a i ,

где mi масса И Й ; — ускорение каждого элемента.

Изучая динамику материальной точки при криволиней­ ном движении, мы установили, что второй закон Ньютона можно написать отдельно для касательных и нормальных

Так как линии действия нормальных составляющих сил проходят через ось вращения, то величины моментов этих сил равны нулю. Поэтому будем рассматривать для каждого элемента только первое равенство для касательных сил. Умножим обе части равенства на расстояние г,- от оси враще­ ния до выделенного элемента, т. е. на радиус окружности, по которой он перемещается:

Всего таких равенств будет /, по числу малых элементов, на которые мы разбили тело. Сложим все равенства:

Предположим, что на тело действует только одна внешняя сила F, приложенная к малому элементу, расположенному

189