книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

Если частота вращения п измеряется в об/с, то имеем: со = п об/с-2я рад/об = 2пп рад/с; со = 2яп. (37а)

В общем случае вращения твердого тела может ока­ заться, что угловые перемещения Лср за отдельные равные промежутки времени А/ будут разными. Это означает, что

Пусть за произвольный промежуток времени А/ вели­ чина угловой скорости со изменилась на Асо. Отношение приращения Асо угловой скорости тела за некоторый проме­ жуток времени к этому промежутку времени А/ называется с р е д н и м у г л о в ы м у с к о р е н и е м тела за промежуток

Среднее угловое ускорение е с р зависит от величины промежутка времени А/. Однако если уменьшать А/, то значение среднего углового ускорения стремится к величине углового ускорения тела е в данный момент времени.

Основную единицу измерения углового ускорения опре­ делим из соотношения:

Обычно единицу измерения радиан на.секунду в квад­ рате (рад/с2 ) указывают только при задании величины угло­ вого ускорения или рядом с конечным результатом, напри­

чиной.

140

Из сказанного можно сделать общий вывод: вращение любого твердого тела можно характеризовать его угловым перемещением ср, угловой скоростью со и угловым ускоре­ нием е. Эти кинематические характеристики являются общими для всех точек вращающегося тела.

§ 51. Траектории, скорости и ускорения точек вращающегося твердого тела

При вращении твердого тела вокруг оси все его точки движутся по окружностям, расположенным в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения х — х (см. рис. 102). Центры этих окружностей расположены на оси вращения.

с течением времени, т. е. происходит равномерное вращение тела. Все его точки за любой промежуток времени совер­ шают одинаковое угловое перемещение. Однако траектории точек будут разными. Точки, лежащие на разных расстоя­ ниях от оси вращения, опишут дуги окружностей разной длины. Зная угловую скорость со тела и расстояние какойнибудь точки тела от оси вращения, найдем скорость этой точки. Величину скорости v точки вращающегося тела, характеризующую быстроту ее движения по дуге окруж­

Пусть за время At точка тела переместится из положе­ ния А в положение Av При этом она пройдет путь AS, равный длине дуги ААХ окружности, а само тело повернется на угол Аф. Величина скорости v точки А равна тому

AS

дуги ААх окружности, имеющей радиус г, определяется

неограниченном уменьшении величины А^ превратится

141

к траектории точки. Траектория любой точки вращающегося тела является окружностью, а касательные к окружности всегда перпендикулярны к радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому скорости всех точек тела направлены

перпендикулярно к радиу­ сам, проведенным к этим

точкам.

Из формулы (39) сле­ дует, что скорости точек вращающегося тела про­ порциональны расстояниям этих точек от оси враще­ ния. Например, для произ­ вольных точек тела А и Б (рис. 103) имеем:

При решении практических задач часто приходится находить скорость точек, лежащих на поверхности вра­ щающегося цилиндрического тела, например заготовки, закрепленной в патроне токарного станка; дисковой фрезы, шкива, шестерни и т. д. Линейная скорость точек, наиболее удаленных от оси вращения, т. е. расположенных на наруж­ ной поверхности тела, получила название о к р у ж н о й с к о р о с т и .

При обработке деталей на металлорежущих станках обычно бывают известны наружный диаметр детали или инструмента и частота вращения, измеряемая в оборотах в минуту. При этих данных величина окружной скорости

142

об/мин, между этими величинами имеется следующее соот­ ношение:

зовании формул, приведенных выше, просты. Однако для быстрого решения практических задач целесообразно вы­ полнить вычисления для конкретных условий заранее. Результаты вычислений наносятся на графиках и чертежах, называемых номограммами. Номограмма позволяет про­ изводить вычислительные операции много раз и при том каждый раз с различными числовыми данными. Один из простейших видов номограмм показан на рис. 104. На этом рисунке приведены графики, выражающие зависимость окружной скорости v от диаметра D вращающегося тела при различных, но постоянных для каждого графика частотах вращения п. Если в формуле (40а) принять п постоянным, то линейная скорость v будет зависеть только от диаметра D. Поэтому график, выражающий зависимость v от D, будет прямой линией. Задаваясь различными зна­ чениями п, получим семейство прямых линий. Численные значения v, D и п определяются конкретными условиями. Например, на рис. 104 показана номограмма, построенная для сверлильного станка. Согласно паспортным данным станка наибольший диаметр сверла равен 30 мм, а возмож-

143

ные частоты вращения шпинделя составляют 47,5; 75; 118; 190; 300; 475; 790 и 1100 об/мин. В соответствии с этими данными и построены зависимости скорости резания v (окружной скорости) от диаметра D сверла для различных постоянных п согласно формуле (40а).

0 • 10 20 30 В[мм1

Рис. 104. Номограмма, выражающая соотношение между величинами линейной скорости V, наруж­ ного диаметра D сверла и частоты вращения п шпинделя для сверлильного станка

З а д а ч а 13. Пользуясь номограммой (см. рис. 104), определить наиболее выгодную частоту вращения шпинделя станка, если требуется просверлить отверстие диаметром 16 мм. Допустимая скорость резания равна 25 м/мин.

Для решения достаточно нанести на поле чертежа точку с коорди­ натами D = 16 мм и v = 25 м/мин. Найденная точка А располагается наиболее близко к лучу номограммы, соответствующему частоте вра­ щения шпинделя п = 475 об/мин. Поэтому станок нужно настроить именно на эту частоту вращения.

При любом вращательном движении тела вектор линей­ ной скорости v его точек непрерывно изменяется. Поэтому точки вращающегося тела всегда движутся с ускорением. Для определения ускорения мы можем применить все рассуждения и выводы, относящиеся к криволинейному движению точки.

Ускорение точки вращающегося тела, как и ускорение всякого криволинейного движения, может быть представ-

144

ленов виде суммы касательного ускорения аг и нормального ускорения ан.

Для определения величины касательного (тангенциаль­ ного) ускорения подсчитаем величину изменения скорости

при уменьшении промежутка времени стремятся соответ­ ственно к величине касательного ускорения с т и углового уско­ рения е (см. § 46 и 50). Поэтому справедливо следующее равен­ ство:

Величина касательного уско­ рения точки твердого тела, вра­ щающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению расстоя­ ния данной точки от оси вра­ щения на угловое ускорение тела.

Для определения величины нормального ускорения подста­ вим в формулу (34) значение линейной скорости v = га>:

ускорения а1 точки вращающегося тела совпадает с направ­ лением вектора ее скорости при ускоренном вращении тела (рис. 105, а) и противоположно направлению скорости при замедленном вращении (рис. 105, б).

Вектор нормального (центростремительного) ускорения точки вращающегося тела всегда направлен по радиусу

145

окружности, представляющей траекторию точки, к центру этой окружности (рис. 105).

Вектор ускорения а равен сумме составляющих векторов ат и в„, т. е. а — ат + ан и является диагональю прямо­ угольника, построенного на этих векторах. Величина уско­ рения равна:

а = Уа- + аЪ = У(гг)2 + (rco2)2 = г V&2 + со4 .

Острый угол а между направлением вектора ускорения а точки вращающегося тела и направлением радиуса нахо­ дится из формулы

,ат е.

1§ а = а н = о з -

§52. Основные случаи вращения тела вокруг

неподвижной оси

Определив общие кинематические характеристики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: угловую скорость со и угловое ускорение е, а также установив их связи с ли­ нейными скоростями v и ускорениями а отдельных точек тела, остановимся на двух случаях, наиболее часто встре­

ным вращением тела называется его вращательное движение с постоянной угловой скоростью со. По определению угловой скорости имеем:

Уравнение (43) называется уравнением равномерного вращения тела.

146

Можно начать отсчет времени с того момента, когда мы начинаем рассматривать процесс вращения тела. Это озна­ чает, что принимается условие t0 = 0. Тогда уравнение (43) примет вид:

наем отсчет угловых перемещений от начальной точки, лежащей в неподвижной плоскости, то уравнение еще

Равнопеременным (равноускоренным или равнозамедленным) вращением тела называется такое его вращательное дви­ жение, при котором за равные, произвольно взятые проме­ жутки времени угловая скорость тела изменяется на одну и ту же величину. Отсюда следует, что угловое ускорение е тела, т. е. величина, характеризующая быстроту изменения его угловой скорости, постоянно. В этом случае величина

Из выражения для е получим после преобразований:

Для определения углового перемещения ср вращаю­ щегося тела поступим следующим образом. Предположим, что отсчет времени ведется с момента, когда угловая ско­ рость равнялась со0, при этом t0 = 0. Через время t угловая скорость станет равной о>. При равноускоренном вращении величина средней угловой скорости за промежуток вре­

В заключение приведем еще одну формулу для угло­ вого перемещения. Исключая из уравнений (44а) и (45а) время t, получим:

С равнопеременным вращением тел обычно встречаются при изучении процессов пуска в ход и остановки машин.

§ 53. 0 плоскопараллельном движении твердого тела

В предыдущих параграфах мы рассмотрели частные случаи плоскопараллельного движения твердого тела — поступательное и вращательное. При поступательном дви-

148

жении все точки тела движутся одинаково. Определив движение какой-нибудь одной точки, т. е. найдя ее переме­ щение, скорость и ускорение, мы тем самым можем судить о движении тела в целом. При вращении тела вокруг не­ подвижной оси различные его точки перемещаются поразному. Однако мы сумели отыскать для этого случая кинематические характеристики: угловые перемещение, ско­ рость и ускорение, общие для всего тела. В общем случае

Рис. 106. Любое плоское перемещение тела можно различными спосо­ бами (а — г) представить как сумму поступательного и вращательного перемещений

для определения плоскопараллельного движения достаточно знать движение двух точек тела, находящихся в одной плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости. Другими словами, движение отрезка, соединяющего две точки сечения тела, вполне определяет плоскопараллельное движение тела.

Если мы определим перемещение этого отрезка, то вместе с тем найдем перемещение всех точек твердого тела.

как результат двух перемещений: поступательного, при

149