книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

Итак, масса тела есть его характерное физическое свой­ ство, определяющее соотношение между действующей на это тело силой и сообщаемым ею телу ускорением.

Массу тела можно определить только опытным путём. Для определения массы нужно измерить величину силы F

и величину ускорения а и найти их отношение ~ . Однако

такое определение массы довольно трудоемко и требует большой затраты времени. Поэтому в практической дея­ тельности для определения массы тела применяют способ сравнения масс. Сущность этого способа будет рассмотрена в § 66.

§ 59. Второй закон Ньютона

Выполнив опыты с действием сил на тело, мы установили пропорциональность между величиной силы F, действую­ щей на данное тело, и величиной ускорения а, которое эта сила сообщает данному телу.

Масса тела была найдена как отношение величины силы к величине ускорения а:

Во время опытов было также установлено, что всегда направление ускорения совпадает с направлением дейст­ вующей силы. Масса тела является скалярной величиной. Численное значение массы полностью характеризует инерт­ ность тела. Поэтому формулу (46) можно переписать в более общем виде, учитывая, что сила и ускорение являются век­ торными величинами:

В этом выражении F — равнодействующая всех сил, действующих на данное тело, т — масса тела, а — уско­ рение, получаемое данным телом под действием силы F.

Равенство (47) выражает основной закон движения, ко­ торый называют в т о р ы м з а к о н о м Н ь ю т о н а .

Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на создаваемое этой силой ускорение, причем направ­ ления силы и ускорения совпадают. Второй закон Ньютона

160

является обобщением многочисленных наблюдений движе­ ния различных тел.

Все задачи динамики могут быть объединены в две боль­ шие группы. К первой группе относятся случаи, когда тре­ буется по известным силам найти ускорение тела и опреде­ лить его движение (скорость и перемещение). Ко второй группе относятся случаи, когда по известному ускорению (по известному движению тела) нужно отыскать сумму дей­ ствующих на него сил.

§ 60. Единицы массы. Единицы силы

Второй закон Ньютона мы сумеем применить на прак­ тике только тогда, когда условимся о единицах измерения массы т, силы F и ускорения а. Основной единицей ускоре­ ния а является 1 м/с2 , которая определяется через эталон длины 1 м и эталон времени 1 с. Остается выбрать единицы измерения массы т и силы F. Мы можем условиться о еди­ нице массы т, выбрав за эталон массу определенного тела, и найти единицу силы F в соответствии с формулой (46): F единиц силы = т единиц массы -а единиц ускорения.

Другая возможность заключается в том, что можно вы­ брать эталон силы F и определить единицу массы т в соот­ ветствии с формулой (46):

F единиц силы т единиц массы: а единиц ускорения

При этом желательно не увеличивать число эталонов, тщательно сберегаемых Международным бюро мер и весов.

Высказанные соображения реализуются следующим об­ разом. В настоящее время в науке и технике считается целе­ сообразным выбрать за единицу массы массу' специальной

и обозначают кг в отличие от единицы силы — килограммасилы, обозначаемого кГ (или кгс).

Нужно запомнить, что определения единицы массы 1 кг и единицы силы 1 кГ, которые и называются почти одина­ ково:' килограмм-масса и килограмм-сила, основаны на совершенно различных механических свойствах одного и того же тела (гири-эталона). Единица массы 1 кг опреде­ ляется как мера инертности гири-эталона, т. е. как ее способность получать те или иные ускорения под действием различных сил. Единица силы 1 кГ определяется как сила

притяжения к Земле той же гири-эталона, т. е. как мера взаимодействия Земли и эталона.

Таким образом, теперь в нашем распоряжении для практического использования имеются эталон массы — килограмм (кг), эталон длины — метр (м) и эталон вре­ мени — секунда (с). При таком выборе единиц массы, длины и времени единица силы определяется на основании второго закона Ньютона:

Fединиц силы = т единиц массы-а единиц ускорения. Отсюда видно, что единицей силы служит такая сила,

которая, действуя на тело массой 1 кг, сообщает ему уско­ рение 1 м/с2 . Эту единицу силы называют н ь ю т о н о м (сокращенное обозначение Н):

1 Н = 1 кг • 1 м/с2 = 1 кг • м/с2 .

Из сказанного выше также следует, что издавна при­ меняемая в технике единица силы 1 кГ требует введения другой единицы массы, отличной от 1 кг и равной на осно­ вании второго закона Ньютона:

1 кГ _ j кГ • с2

мм

с2

Между различными единицами силы и массы сущест­ вуют следующие соотношения, доказательство которых мы несколько отложим (см. ниже § 66):

1 Н = 0,102 кГ; 1 кГ = 9,81 Н; 1 кг = 0 , 1 0 2 ^ - а ;

§ 61. Системы единиц

Законы механики обычно представляют в виде формул. Выполняя в соответствии с этими формулами математические действия над числен­ ными значениями силы, массы, ускорения, всегда нужно помнить о том, в каких мерах, в каких единицах выражено соответствующее численное, значение. Или, как говорят, нужно всегда придерживаться

одной системы единиц. Например, используя формулу а = - — - , мы

должны измерять силу в Н и массу в кг или силу в кГ и массу в кГ - с2 /м, чтобы получить ускорение а в м/с2 . Конечно, грубой ошибкой будет, если измерять силу F в кГ и массу т в кг. Этим мы произвольно нару­ шаем физический смысл закона механики, выраженного в виде фор­ мулы. В практической деятельности поступают следующим образом. В настоящее время в науке и технике вводится Международная система единиц — СИ. Ее обозначение СИ составлено из начальных букв Sisteme International — система Международная. Она представляет

162

основу для практических измерений всех физических величин, встре­ чающихся в различных отраслях науки и техники. В системе СИ в ка­ честве основных механических единиц выбраны: единица массы 1 кило­ грамм (кг), единица длины 1 метр (м) и единица времени 1 секунда (с). Причем для каждой из них существуют специальные эталоны. Все остальные механические единицы, например: единицы скорости, уско­

в которой в качестве основных единиц выбраны: единица силы 1 кГ,

Глава десятая ОСНОВЫ МЕХАНИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

§ 62. Динамика материальной точки

Начнем рассмотрение практических приложений общих законов движения с изучения движения наиболее простого объекта— материальной точки. Напомним, что материальной точкой называется такое материальное тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной за­ дачи. В дальнейшем мы будем принимать за материальную точку не только тело очень маленьких размеров, но и иногда тело конечных размеров. Например, при поступательном движении тела все его точки движутся одинаково. В этом случае для определения движения тела достаточно знать движение какой-либо одной его точки, в частности центра тяжести тела.

При криволинейном движении тела оно может быть при­ нято за материальную точку только в тех случаях, когда нужно найти лишь движение центра тяжести тела. Напри­ мер, случаи движения искусственного спутника Земли по орбите, детали на повороте подвесного транспортера, само­ движущихся экипажей по закругленному пути и т. п.

В настоящей главе мы будем говорить о телах только как о материальных точках.

§ 63. Импульс тела

Попробуйте метнуть спортивный диск и диск точно та­ ких же размеров, но выполненный из дерева. Заставить двигаться спортивный снаряд значительно труднее. Для того чтобы вывести менее массивный диск из состояния покоя и придать ему такую же конечную скорость, как и спортивному диску, тоже выведенному из состояния покоя, бросок должен быть либо менее сильным, либо менее дли­ тельным. Взаимодействие любых движущихся тел харак­ теризуется как величиной силы, так и временем ее^действия.

Приложим к телу массой т постоянную силу F. Как мы

В левой части формулы (48) находится разность импульсов (количеств движения) тела mv в конце и mv0 в начале про­

164

ность импульса тела в СИ: [mv] = [кг-м/с], а импульса силы: [F-Atj = [Н-с]. При этом очевидно, что [Н-с] = = [кг-м/с]. Знание скорости позволяет судить о том, как быстро и в каком направлении движется тело. Это только кинематическая характеристика движения. Знание им­ пульса тела (количества движения) определяет произведе­ ние силы на промежуток времени, в течение которого дей­ ствовала сила, и, кроме того, указывает направление дви­ жения. Импульс тела представляет динамическую харак­ теристику движения тела, т. е. связан с причинами, вызы­ вающими изменение его движения.

Для прямолинейного движения тела формулу (48) мож­ но написать в алгебраическом виде:

так как в этом случае направления векторов скоростей и силы совпадают.

§ 64. Закон сохранения импульса (количества движения)

В динамике очень часто встречаются задачи, в которых необходимо рассмотреть одновременно (в течение одного и того же промежутка времени t — t0) движение нескольких тел. Таковы, например, задачи о полете диска и перемеще­ нии спортсмена после выполнения броска; о движении молотка и гвоздя после удара и многие другие.

даряющихся или отталкивающихся тел и т. п. Система тел — это группа нескольких взаимодействующих тел. Силы, дей­ ствующие со стороны одних тел системы на другие, называ­ ются в н у т р е н н и м и с и л а м и системы. В Солнеч­ ной системе это силы всемирного тяготения (силы, дейст­ вующие на расстоянии), в системах соударяющихся или отталкивающихся тел — силы упругости (силы, действую­ щие при соприкосновении). Кроме этих сил, на тело, принадлежащее системе, могут действовать еще силы со стороны тел, не принадлежащих выделенной группе. Эти силы называются в н е ш н и м и по отношению к рассмат­ риваемой системе. Например, на Солнечную систему дейст­ вуют звезды, входящие в Галактику. На забиваемый гвоздь действуют силы сопротивления деревянного бруска (силы упругости волокон дерева, которые раздвигаются и раз­ рушаются гвоздем).

165

Однако в ряде случаев при решении задач всеми внеш­ ними силами можно пренебречь. Так, при изучении движе­ ния соударяющихся или отталкивающихся шаров, катя­ щихся по плите, силы притяжения к Земле уравновешены силами упругости со стороны плиты для каждого шара в отдельности. В этих случаях внешние силы не могут повлиять на движение шаров и их можно не учитывать.

Рассмотрим систему, состоящую только из двух тел. Этого достаточно, чтобы понять физическую сущность яв­ лений при движении системы тел, на которую не действуют внешние силы.

Пусть в момент времени t0 происходит движение тела массой тх со скоростью v10 и второго тела массой т2 со ско­ ростью v20. Затем в течение времени t — t0 первое тело подействовало на второе с силой Рх^2 и, в свою очередь, второе тело подействовало на первое с силой F2-+i (согласно третьему закону Ньютона). Например, столкнулись катя­ щиеся шары, молоток ударил по гвоздю и т. д. В результате действия внутренних сил скорости тел некоторым образом изменятся и станут равными vx для первого и 82 для второго тела.

Воспользуемся формулой (48) для каждого тела в от­ дельности:

для первого тела m{vi — m{v1Q = F2-+i • (t —10 ),

для второго тела m2v2 — m2v20 = Л-*2• (t —10).

Согласно третьему закону Ньютона силы Fx^2 и F2^x равны по величине и противоположны по направлению, т. е. /\_>2 = — ^ 2 - 1 • Учитывая это равенство, сложим оба выражения для изменения импульса (количества движе­ ния) тел:

mi У ! — m I U I O - f т21)2 — m2v20 == 0. Отсюда получим:

В левой части этого выражения находится сумма импульсов (количеств движения) первого и второго тела до начала действия внутренних сил, а в правой части — сумма импуль­ сов тех же тел после окончания действия внутренних сил. Следовательно, при отсутствии внешних сил сумма им­ пульсов (количеств движения) тел, составляющих систему, не изменяется в результате взаимодействия тел системы.

166

Другими словами, Внутренние силы не изменяют суммар­ ный импульс (количество движения) системы. Этот закон

Полученный результат совершенно не зависит от того, как взаимодействовали тела системы: кратковременно или долго, при соприкосновении или на расстоянии. Можно доказать, что он справедлив для любого количества тел,

ния) тел, о которой говорится в законе сохранения импульса, нужно понимать сумму векторов, т. е. геометрическую сумму (см. § 13).

Если тела, составляющие систему, перемещаются по одной прямой, то и векторы импульсов (количеств движе­ ния) этих тел находятся на одной прямой. В этом частном случае закон сохранения импульса примет следующий вид:

т. е. действия над векторами здесь могут быть заменены действиями над алгебраическими величинами.

§ 65. Сила тяжести. Вес тела

естественно, так как на поверхности Земли, и в околоземном простран­ стве практически во всех задачах, связанных с равновесием тел, со

Многочисленные опыты, проведенные со свободно падающими те­ лами, привели к выводу о том, что величина ускорения, с которым

двумя факторами: вращением Земли вокруг оси и отклонением формы Земли от точного шара (Земля несколько сплюснута в направлении полюсов). Для всех технических расчетов всегда принимают среднее значение ускорения свободного падения, равное g = 9,81 м/с2 .

На основании многочисленных опытов и второго закона Ньютона был сделан вывод: сила тяжести Р равна массе тела т, умноженной на

167

ускорение свободного падения g:

Р= trig.

Вслучае неподвижного тела сила тяжести всегда уравновешивается силами упругости, действующими на него со стороны подставки или подвеса.

Сила, с которой тело, находящееся под действием силы тяжести, действует на подставку или подвес, называется весом тела.

Известно, что любые тела, находящиеся в кабине космического корабля, движущегося по орбите вокруг Земли, не действуют ни на подвесы, ни на подставки. Как говорят, тела стали «невесомыми». Однако силы притяжения к Земле, силы тяжести на них действуют попрежнему.

Таким образом, всегда нужно четко различать две силы: силу тяжести и силу веса. Сила тяжести равна Р = mg и приложена к са­ мому телу, притягиваемому Землей. Сила веса приложена к подвесу или подставке, а не к телу и по величине может отличаться от силы тяжести. Если на тело, находящееся в равновесии, действуют только сила тяжести и сила со стороны подвеса или подставки, то их вели­ чины равны. Если же тело движется по вертикали или криволинейно с ускорением относительно Земли, то вес тела оказывается зависящим от величины ускорения.

§ 66. Масса и вес. Измерение массы и веса

В § 58 был указан способ определения массы тела. Этот способ требует проведения тщательных опытов и связан

сбольшими затратами времени. Поэтому на практике при­ меняют способ сравнения масс. Сущность его заключается

вследующем.

Впредыдущем параграфе мы установили, что сила тя­ жести пропорциональна массе тела, на которое она дейст­ вует: Р — mg. Если тело неподвижно, то величины веса тела и силы тяжести равны. Следовательно, веса покоящихся тел прямо пропорциональны их массам. Поэтому для двух тел

смассами тх и т2и весами Рх и Р2 справедливо равенство:

Это соотношение используют на практике для определения массы. Если выполнить измерения с целью сравнения весов тел, то тем самым мы сравним их массы. Для этого приме­ няют рычажные весы различных конструкций. Основной деталью рычажных весов является равноплечий рычаг, опи­ рающийся на стойку через призму. Две чашки также под­ вешены на призмах, укрепленных на каждом конце рычага. На одну чашку помещают тело, массу которого нужно опре­ делить, а на другую кладут известные массы, пока чашки

168

не уравновесятся. В качестве известных масс используют наборы эталонных масс, так называемые разновесы (см.

как и любую другую силу, с помощью динамометра. Под­ вешивая тело к динамометру, мы определяем силу притя­ жения тела к Земле, равную весу тела. В этом случае дина­ мометр называют пружинными весами. Однако мы знаем,

в другом месте Земли, мы не получим полного соответствия с условиями градуировки пружинных весов. В этом заклю­ чается принципиальное отличие способов сравнения сил тяжести, а значит и масс, при помощи рычажных весов и при помощи динамометров — пружинных весов.

Теперь мы можем уточнить сведения о единицах для измерения силы. В § 3 было указано, что применяемой до настоящего времени в технике единицей силы в 1 кГ яв­ ляется сила тяжести, действующая на гирю-эталон из пла­ тинового сплава, хранящуюся в Международном бюро мер и весов. Но эта сила в разных местах Земли различна. Поэ­ тому заранее условились считать равным 1 кГ вес гириэталона на уровне моря на географической широте 45°. В этом месте земной поверхности ускорение свободного па­

1 Н в системе СИ и единицей силы 1 кГ в системе МКГСС. Для технических расчетов обычно принимают 1 Н = 0,102 кГ

всех других местах земной поверхности тело, имеющее массу 1 кг, весит или немного больше, или немного меньше 1 кГ.

169