книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

из числа действующих сил. Этот выбор может быть совер­ шенно произвольным, например выделим силы F\ и F2. Сложим все остальные оставшиеся силы F3, Fit и най­ дем их равнодействующую R":

Рис. 40. Равновесие тела под действием произвольного числа параллельных сил:

был подробно разобран выше. Как было установлено, для равновесия тела необходимы вполне определенные соотно­ шения между величинами сил Flt F2 и R" и расстояниями между их линиями действия.

Кроме_условия, требующего, чтобы равнодействующая сил Flt F\ и R" была равна нулю, необходимо, чтобы и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно

60

двух произвольно выбранных осей, проходящих через

Доказательство этого утверждения приводить не будем. Отметим только, что уравнения равновесия (16) и (17) рав­ носильны друг другу.

С помощью полученных уравнений равновесия решаются все задачи о равновесии тела, на которое действует произ­ вольное число параллельных сил. Ниже приведено решение задачи о равновесии тела.

З а д а ч а 2. Балка длиной 10 м закреплена в опорах А к В, расположенных на расстоянии 7 м друг от друга (рис. 41, а). На балку в точке D действует сила F = 5000 Н, направленная вертикально вниз. Сила тяжести Р = 2000 Н приложена в середине балки. Определить силы реакции опор А и В.

61

Намечаем общую схему решения. Балка представляет собой си­ стему, находящуюся в равновесии и нагруженную параллельными силами. Условия равновесия такой системы определяются двумя урав­ нениями, о которых сказано выше, например двумя уравнениями мо­ ментов сил — для двухопорной балки это рационально. Неизвестными являются две силы реакции опор FА и FB (при указанном нагружении опора А имеет одну реакцию). Следовательно, решив уравнения равно­ весия, можно определить неизвестные реакции.

На рис. 41, б показана расчетная схема нагружения балки. Неиз­

= —1570 Н. Знак минус показывает, что ранее выбранное направление действия силы FА (вертикально вверх) не соответствует действительному направлению этой силы. Сила реакции опоры А направлена верти­

Кроме сложения параллельных сил, иногда приходится выполнять разложение одной известной силы на две парал­ лельные ее составляющие. Эта задача, как и разложение силы на составляющие, направленные под углом друг к другу, является неопределенной. В каждом конкретном случае необходимо иметь дополнительные сведения, выте­ кающие из условия задачи. Такими дополнительными дан­ ными могут быть или расстояния линий действия искомых составляющих до линии действия данной силы, или вели-

62

чина одной из составляющих сил и расстояние ее линии действия до линии действия данной силы, или величина одной из составляющих сил и расстояние от линии действия данной силы до линии действия другой искомой составляю­ щей. В любом из перечисленных случаев для определения

FB, а также сила тяжести гру­ за Р . В этой задаче известны

величина силы Р, величина си­ лы FA и расположение линий действия сил FА и FB (по вер­ тикали вдоль стоек). Неизвест­

можном повороте балки вокруг оси, проходящей через точку А , балка

63

Из формулы (15) определяем неизвестное расстояние х линии дей­ ствия силы Р от стойки А (линии действия силы F А ) :

Заметьте, что со стороны балки на стойку А действует сила, рав­ ная величине силы FА, но направленная в противоположную сторону согласно третьему закону Ньютона. Поэтому стойка А оказывается сжатой. На стойку В со стороны балки действует сила той же величины, что и сила FB, и направленная вертикально вверх. Поэтому стойка В оказывается растянутой.

§ 21. Пара сил

При изучении действия на тело параллельных сил мы установили, что равенство нулю равнодействующей силы является недостаточным условием равновесия тела. Если результирующий момент относительно какой-либо оси не равен нулю, то оно не остается в равновесии. Например, так будет всегда, когда на тело действуют две силы одина­ ковой величины, параллельные друг другу и направленные в противоположные стороны.

При нарезании вручную рез_ьбы метчиком к воротку . необходимо приложить две силы F и F', равные по величине, параллельные и направленные в противоположные стороны (рис. 43, а). Завертывая винт с помощью отвертки, дейст­ вуют на него параллельными силами F и F' одинаковой ве­ личины и противоположного направления (рис. 43, б). Между отверткой и шлицем винта всегда имеется небольшой зазор. При повороте отвертки ее края касаются поверхно­ стей шлица так, как это показано на рис. 43, в. В резуль­ тате отвертка действует на винт с параллельными силами F и F', находящимися на некотором расстоянии друг от друга и направленными перпендикулярно к поверхности шлица.

Две параллельные силы, совместно действующие на тело, равные по величине и противоположные по направлению, называются парой сил или просто парой.

Складывая два равных по величине, параллельных и про­ тивоположно направленных вектора сил, находим, что их равнодействующая равна нулю. Однако тело, на которое действуют эти силы, не находится в равновесии. Следова­ тельно, пара сил не имеет равнодействующей и не может быть уравновешена одной силой.

Опыт показывает, что пара сил, действуя на твердое тело, стремится повернуть его. Действие пары сил на тело

64

зависит как от величины силы, так и от расстояния между линиями их действия. Расстояние между линиями действия сил, измеренное по перпендикуляру к ним, называют п л е ­

Численное значение момента пары сил равно произве­ дению величины одной из сил пары на ее плечо. Обозначая

величину момента пары буквой М, величину силы — F,

аплечо — буквой а, получим:

М= F • а.

Для измерения величины момента пары сил применяют те же единицы, что и для измерения момента силы: ньютон-

стремится вращать тело. Это обстоятельство будем харак­ теризовать знаком момента пары.

Момент пары, как и момент силы, считается положи­ тельным, если пара стремится вращать тело в направлении,

противоположном ходу стрелки часов, и отрицательным, если пара стремится повернуть тело по ходу стрелки часов. Например, пары сил, показанные на рис. 44, б, имеют поло­

{Г

6)

Заметим, что под действием пары вращение тела, не огра­ ниченного связями, происходит вокруг оси, перпендикуляр­ ной к плоскости действия пары и проходящей через центр тяжести тела (см. ниже § 27). На рис. 45 показана деталь, лежащая на плите, установленной горизонтально. Сопри­ касающиеся поверхности выполнены гладкими, так что влияние трения незначительно. Прикрепим к детали две нити, натянем их параллельно друг другу и подвесим на каждой из них одинаковые грузики (рис. 45, а). Это устрой­ ство позволяет подействовать на деталь двумя силами, оди­ наковыми по величине и противоположными по направле­ нию, т. е. парой сил. Одновременно отпуская оба грузика и посмотрев на деталь сверху, можно заметить, что поворот осуществляется именно вокруг точки С, т. е. вокруг оси,

66

Подсчитаем момент пары и моменты сил, действующие на тело.

Момент пары равен произведению величины силы F на плечо АВ, т. е. М = F-АВ.

I

Рис. 47. Перенос пары сил в плоскости:

а — перенос сил по линии действия, б — перенос сил по концентри­ ческим окружностям

Моменты сил F и F' относительно оси О:

M0 = F-OB; M'0 = — F'-OA.

Сложим последние два равенства:

Отсюда видно, что алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любой оси, перпендику­ лярной к плоскости действия пары, равна алгебраической величине момента пары сил.

Силы, составляющие пару, можно переносить вдоль ли­ ний их действия (рис. 47, а). При этом момент пары не из­ меняется. Не изменяется также момент пары, если перено­ сить силы по концентрическим окружностям (рис. 47, б).

68

Это следует из формулы (18), в которой при указанном пере­ носе сил сохраняются величины плеч.

практике. Например, поворачивая обеими руками рулевое колесо при управлении автомобилем, действуют на него парой сил. При этом можно

н ы м и.

Например, нарезая вручную резьбу плашкой, нужно преодолеть определенный момент сил резания. Вороток, в котором закреплена плашка, можно держать и за его концы и несколько ближе к оси. В обоих случаях преодоле­ ваемый момент, а значит и момент прикладываемой пары сил, будет одним и тем же. Однако во втором случае к во­ ротку нужно приложить большие силы.

Рассмотренный пример позволяет' сделать и другой весьма важный вывод, касающийся условия равновесия тела, на которое действуют пары сил. На режущие кромки плашки во время нарезания резьбы действуют силы, со­ ставляющие пары сил, направленные против часовой стрелки (рис. 49). На вороток, в котором закреплена плашка, дей-

69