книги из ГПНТБ / Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие

значения работ в уравнение (68а):

Конечная скорость тела равна:

-,/" fee2 „,

§ 90. Энергия вращающегося твердого тела

Для определения энергии твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, можно поступить точно так же, как и при определении энергии тела, движущегося посту­ пательно. Только исходным уравнением будет уравнение динамики для вращательного движения тела (см. § 75 и 77):

Произведение Л4д в ф равно работе ^4ДВ движущего вращаю­ щего момента. Так как направления момента движущих сил М д в и углового перемещения ф совпадают, то эта работа всегда положительна Л д в = Млв ф.

Произведение Мс ф равно работе Л с момента сил сопро­ тивления. Направление действия вращающего момента Мс противоположно угловому перемещению ф, поэтому работа Л с всегда отрицательна Л с = —Мс ф. Из последних трех равенств имеем:

Л д в - ( — Лс ) = /еф, Л я в + Л с = Уеф.

В том случае, когда действующие моменты Мдв и Мс не изменяются с течением времени, угловое ускорение е тела остается постоянным.

Из кинематики известно, что при постоянном угловом ускорении тело вращается или равноускоренно, или равнозамедленно. Угловое перемещение ср определяется через угловую скорость со,, в начальный момент времени, угловую скорость со в момент времени, когда тело повернется на угол ф, и постоянное ускорение е при помощи выражения,

220

полученного в § 52:

ф : 2е '

Из формул, приведенных выше, находим:

Теперь рассмотрим величину - ~ в этом выражении.

Мы знаем, что для изучения движений твердого тела его представляют как сумму большого количества малых эле­ ментов и к каждому элементу применяют закономерности, полученные для движения материальных точек (см. § 74). Каждый малый элемент вращающегося твердого тела имеет массу mi и линейную скорость vt = г;со, где со — угловая скорость, общая для всех точек тела.

Кинетическая энергия малого элемента равна:

Если мы сложим величины кинетических энергий всех малых элементов, то получим кинетическую энергию вра­ щающегося тела:

co2m,r? со2

Ек = 2 EKi = I — ? 1 — = -g- • 2 т-Д.

Здесь величина со2 вынесена за знак суммы как общий множитель. Величина 2 т г г | нам уже известна. Она равна моменту инерции тела J = 2/П;Л?. Поэтому величина кине­ тической энергии вращающегося твердого тела' равна

Таким образом, в выражении (69) в правой части на-

/со2

ходится разность кинетической энергии —^— в момент вре­ мени, когда тело под действием вращающего момента по­ вернется на угол ф, и кинетической энергии тела •—1 в на­ чальный момент времени. Следовательно, суммарная ра­ бота, совершаемая над любым вращающимся твердым телом, равна изменению кинетической энергии тела. Этот вывод полностью совпадает с выводом, полученным в § 89 для тела, движущегося поступательно,

221

Работа движущего вращающего момента равна сумме изменения кинетической энергии вращающегося тела и ра­ боты момента сил сопротивления.

Этот результат имеет весьма важное прикладное зна­ чение, так как вращательные движения тел наиболее рас­ пространены в технике. Рассмотрим следующую задачу.

З а д а ч а 26. Двигатель внутреннего сгорания приводит во вра­ щение компрессор. Частота вращения вала двигателя равна 1000 об/мин. Момент инерции всех вращающихся частей равен 0,2 кг-м 2 . Внезапно кратковременно уменьшилась нагрузка на компрессор (например, упало давление воздуха). Это привело к тому, что в течение небольшого промежутка времени вал успел повернуться на 15 оборотов, а вра­ щающий момент двигателя был больше момента сил сопротивления, действующего со стороны компрессора, на 5 Н • м. Необходимо опреде­ лить изменение угловой скорости вала двигателя, которое при этом произойдет.

Для решения задачи воспользуемся выражением (69а). Найдем все величины, которые можно подсчитать по условиям задачи. Раз­

сделать, установив на валу двигателя маховое колесо. Отличительной особенностью этого колеса является массивный обод. Сосредоточение массы вблизи наружного диаметра увеличивает момент инерции махо­ вого колеса (см. § 76). Определим увеличение угловой скорости вала

222

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что угло­ вая скорость вала двигателя увеличивается значительно меньше при большой величине момента инерции вращаю­ щихся частей. Это объясняется тем, что большая часть ра­ боты «избытка» движущего вращающего момента над мо­ ментом сил сопротивления увеличила кинетическую энер­ гию дополнительно установленного махового колеса. Однако чрезмерное увеличение момента инерции махового колеса нежелательно, так как его размеры и масса возрастают, а вы­ игрыш от уменьшения изменения угловой скорости вала становится не так существенным.

Например, увеличим момент инерции вращающихся частей в 10 раз по сравнению с первоначальным значением: J" = 10У = 10-0,2 = = 2 кг-м2 . Тогда

со'

Таким образом, при J' — 5J мы получили — = 1 , 0 4 и при J" = со0

со"

= 10У =1,02. Момент инерции увеличился значительно, а откло-

пение угловой скорости от начального значения со0, хотя и уменьши­ лось, но не так существенно.

Коленчатый вал двигателя внутреннего сгорания всегда вращается неравномерно вследствие изменения давления газов, образующихся при сгорании топлива, за время каж­ дого рабочего цикла, а также вследствие неодинаковой работы отдельных цилиндров двигателя. Если изменения угловой скорости будут слишком велики, то возникают нежелательные вибрации тех механизмов, которые соеди­ няются с двигателем. В результате уменьшается их дол­ говечность и надежность работы.

Поэтому установка махового колеса всегда желательна в тех случаях, когда необходимо уменьшить изменения угло-

223

вой скорости, происходящие во время работы машин и ме­ ханизмов.

Маховое колесо применяют и в тех случаях, когда в те­ чение небольшого промежутка времени требуется затратить большое количество энергии. Например, в механических прессах, крупных ножницах для разрезания металла и т. п. Время, в течение которого осуществляется нужная нам де­ формация заготовки, обычно мало по сравнению с време­ нем, необходимым для выполнения подготовительных опе­ раций (установки заготовки, выемки изделия и т. п.). Поэтому во время выполнения подготовительных операций двигатель увеличивает угловую скорость махового колеса, и происходит процесс накопления кинетической энергии. Эта энергия расходуется на совершение механической ра­ боты в течение кратковременного рабочего хода. Конечно, можно было бы обойтись и без махового колеса, но в этом случае нужно установить двигатель большой мощности, который значительную часть времени будет работать вхо­ лостую, что невыгодно с экономической точки зрения.

§ 91. Закон сохранения механической энергии

В предыдущих параграфах были рассмотрены виды ме­ ханической энергии: потенциальная энергия — энергия, связанная с поднятием тела над Землей, и энергия, свя­ занная с упругими деформациями; кинетическая энергия —• энергия, связанная с движением тела. Мы также устано­ вили, что при поступательном и при вращательном движе­ нии тела мерой механической энергии является работа, зависящая от величины действующих сил или вращающих моментов и перемещения тела. Так как силы и моменты сил всегда являются результатом взаимодействий тел, то и при рассмотрении механической энергии нужно учитывать энергию всех взаимодействующих тел или, как говорят, системы тел."

Если мы поднимем тело над поверхностью Земли и предо­ ставим его самому себе (освободим от удерживающих его связей), то оно будет падать под действием силы тяжести.

После начала падения тела запас потенциальной энер­ гии системы начинает уменьшаться, а кинетическая энер­ гия системы увеличивается. Можно доказать, что величина кинетической энергии Земли при рассмотрении относитель­ ного движения тела и Земли очень мала, поэтому практи­ чески вся потенциальная энергия системы, состоящей из

224

тела и Земли, превращается в кинетическую энергию рас­ сматриваемого тела. Именно на этом основании условно

в кинетическую энергию тела. На самом деле, всегда нужно рассматривать энергию системы тел и возможные превра­

и потенциальной энергии не изменяется.

Точно также для любой системы тел, взаимодействующих между собой с силами тяготения и силами упругости, всегда оказывается постоянной суммарная потенциальная и кине­ тическая энергия. Например, мы можем бросить тело с не­ которой высоты на пружину, расположенную вертикально. В данном случае имеется система, состоящая из тела, пружины и Земли. Для всех этих тел сумма потенциальной энергии тяготения, потенциальной энергии упругости и кинетической энергии будет оставаться постоянной. При движении количество энергии каждого вида может изме­ няться, энергия может переходить из одного вида в другой и от одного тела к другому, но общий запас механической энергии остается неизменным. В этом и заключается закон сохранения механической энергии: полная энергия системы

потенциальной и кинетической энергии.

Обратите внимание на следующее обстоятельство. В этой формулировке ничего не говорится о внешних силах, дей­ ствующих на рассматриваемую систему тел со стороны дру­ гих систем, а также о силах трения. Предполагается, что внешние силы и силы трения отсутствуют. Однако наши знания об окружающем мире говорят о том, что все движе­ ния на Земле сопровождаются трением. Поэтому закон со­ хранения энергии в механике в более общем случае форму­ лируется так: изменение полной энергии системы при пе­ реходе из одного состояния в другое равно работе, совер­ шенной при этом внешними силами и силами трения.

Например, при падении тела с большой высоты его ско­ рость вследствие действия возрастающих сил сопротивле­ ния воздуха становится постоянной. Парашютист, совер-

шающий затяжной прыжок, достигнув скорости .примерно 60 м/с, продолжает падать равномерно. В этом случае кинетическая энергия перестает изменяться, а потенциаль­ ная энергия поднятия над Землей продолжает уменьшаться. За счет убыли потенциальной энергии совершается работа против сил сопротивления воздуха.

В пружинном аккумуляторе (см. § 89, задача 25) потен­ циальная энергия пружины расходуется не только на уве­ личение кинетической энергии тела, но и на совершение работы против сил трения.

После выключения электродвигателя станка кинетиче­ ская энергия вращающихся частей расходуется на совер­ шение работы против сил трения.

Из приведенных примеров видно, что потенциальная и кинетическая энергия системы тел может уменьшаться, если в системе действуют силы трения. Убыль энергии идет на совершение работы против сил трения и не исчезает бесследно, а переходит в другие виды энергии (тепловую, химическую и т. д.).

Энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она может превращаться из одного вида в другой. Всегда общее количество энергии всех видов, включая и механическую и все другие виды энергии, остается постоянным. В этом за­ ключается всеобщность закона сохранения энергии.

Закон сохранения механической энергии, который мы рассмотрели выше, является лишь частным случаем. Меха­ ническую энергию всегда можно подсчитать, пользуясь основными законами движения тел. *

§ 92. Механический коэффициент полезного действия

Любой механизм совершает работу за счет энергии, ко­ торую он получает от двигателя. Двигатели осуществляют превращение энергии какого-то определенного вида в ме­ ханическую энергию. Например, в электродвигателе про­ исходит превращение электромагнитной энергии в механи­ ческую энергию; в двигателе внутреннего сгорания внут­ ренняя энергия газов, образовавшихся при сгорании топ­ лива, также превращается в механическую энергию.

Механическая энергия, получаемая от двигателя, пере­ дается от него потребителю энергии. Потребителем энергии являются те машины и механизмы, которые мы строим для выполнения полезной работы. На станках производится обработка деталей, подъемные краны поднимают и переме-

226

щают грузы, компрессор сжимает воздух, насос обеспечи­ вает подачу жидкости под давлением. Однако не вся меха­ ническая энергия, получаемая от двигателя, расходуется на совершение полезной работы. В любом механизме, в лю­ бой машине действуют силы трения, на преодоление которых нужно затратить часть энергии, потребляемой механизмом. Эта энергия превращается во внутреннюю энергию деталей механизма, идет на их нагревание и не может быть превра­ щена в полезную работу. Работа, совершенная за счет этой энергии против сил трения, для потребителя является бес­ полезной и потерянной. Заметим, что и в самом двигателе процесс преобразования энергии также сопровождается потерями. Например, внутренняя энергия газов в двига­ теле внутреннего сгорания расходуется не только на со­ вершение механической работы, но и на бесполезное нагре­ вание деталей двигателя. В электродвигателе электрический ток нагревает те проводники, по которым он проходит. Кроме того, часть механической энергии, полученной в дви­ гателе, расходуется в нем самом на работу против сил тре­ ния (например, потери энергии на трение в подшипниковых узлах). Для того чтобы показать, насколько эффективно происходит превращение энергии из одного вида в другойили насколько хорошо используется подводимая энергия для совершения полезной работы, в технике используют

Так как мерой количества механической энергии яв­ ляется работа, то справедливо также и следующее определе­

Определения к. п. д., приведенные выше, являются рав­ ноправными, так как все они говорят о том, какую долю из

телю. Если обозначить коэффициент полезного действия ц

Обозначим все потери мощности в механизме Л^П 0 Т ерь. Согласно закону сохранения энергии мощность Nlt подве­ денная к механизму, равна сумме полезной N2 и потерянной ^потерь мощностей:

Так как потери мощности неизбежны в любом механизме, то и к. п. д. всегда меньше единицы.

Все механизмы и машины стремятся сделать такими, чтобы бесполезные потери энергии в нем были возможно меньше. Для этого стараются уменьшить силы трения и другие вредные влияния. В наиболее совершенных механиз­ мах и машинах удается уменьшить потери энергии на­ столько, что они составляют всего несколько процентов от величины затрачиваемой энергии. Например, наибольший коэффициент полезного действия электродвигателей пере-

228

менного тока средней мощности равен ц = 0,93 ~f- 0,95, крупных гидротурбин г\ — 0,91 -г- 0,94.

К. п. д. является переменной величиной для каждого механизма и машины. Он зависит от величины сил, разви­ ваемых при работе, и от скоростей движения отдельных деталей. Представьте себе, что мы пустили в ход электро­ двигатель, не соединенный с потребителем энергии. В этом случае из сети потребляется электрическая энергия, кото­ рая расходуется только на совершение работы против со­ противления внутри самого двигателя. Полезной работы при этом не совершается. Следовательно, к. п. д. электро­ двигателя в данных условиях равен нулю. При работе

Рис. 130. Схема гидравлического привода металлорежу­ щего станка

электродвигателя, соединенного с потребителями энергии, всегда найдутся такие условия, при которых механическая энергия будет использоваться наилучшим образом и к. п. д. достигнет наибольшего значения. Если заставить работать электродвигатель в других условиях, отличающихся от наиболее благоприятных, то величина к. п. д. будет меньше по сравнению с максимально возможным значением.

В технике, как правило, используют агрегаты, т. е. устройства, состоящие из нескольких соединенных друг с другом механизмов и машин. Например, на рис. 130 по­ казана схема гидравлического оборудования, применяю­ щегося в некоторых типах станков для осуществления пере­ мещения стола, режущего инструмента и т. д. Электродви­ гатель потребляет из сети электрическую мощность Л^э и преобразует ее в механическую мощность Nlt которая рас­ ходуется на приведение в действие насоса. При этом к. п. д.

229